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习题课1解答与提示.doc习题课1解答与提示.doc -- 3 元

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1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1.假设数列{}na无上界,求证存在子列}{jna,使得当j时,jna单调增加趋向于正无穷大.解{}na无上界,所以存在111Man令}2,2max{12naM,则由于{}na无上界,故存在22Man按此方法得到{}na的一个子列}{jna,满足},2max{11jaMajjnjn.显然jna单调增加趋向于正无穷大.2.若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列}{nx,使得Axnnsuplim.证明设Absup.1b不是A的上界,所以存在Ax1,使得bxb11.令}21,min{12xb,则2b不是A的上界,所以存在Ax2,使得bxb22.即220xb.由此得到22||bx.再令}21,min{223xb,则3b不是A的上界,所以存在Ax3,使得bxb33.即330xb.由此得到33||bx.以此类推,可以得到A中一个无穷点列}{nx,以及趋向于零的一个数列}{n,使得,2,1||nbxnn.于是Abxnnsuplim.3.若数列{}na中既无最小值,也无最大值,问{}na是否收敛,请证明你的结论。答案发散.证明(1)若数列{}na无界,则发散.(2)若数列{}na有界,令}sup{naM,}inf{nam.显然mM.由上题,在{}na中存在两个子列}{nx和}{ny,分别收敛于{}na的上确界M和下确界m.于是数列{}na存在两个子列收敛于不同的极限,从而发散.二、夹逼定理和单调收敛定理1.1111lim222nnnnn2提示nnnnnnnnn2222211112.设,baCf,0xf,}|max{bxaxfM.求证Mxxfnbann1dlim.证明若0xf,则结论显然成立.因此不妨设xf不恒等于零.假设Mf,并且不妨设ba.此时有nnMn12nnnnxxf1d11nbanxxf1dnnbanabMxM11d(其中}11|min{nxnxfMn)当n时,MMn,121nn,11nab.于是由夹逼定理得到Mxxfnbann1dlim.3.用单调收敛定理说明2141211explimnn存在,131211explimnn不存在.4.设数列{}na满足10na,并且4111nnaa,2,1n.求证21limnna。提示利用单调收敛定理证明{}na收敛①{}na有界是显然的②当10x时有不等式411xx,所以4110nnaa。于是由题设推出14111nnnnaaaa.由此得到1nnaa.从而{}na单调增加.由单调收敛定理推出存在nnaAlim。在不等式4111nnaa左端取极限得到411AA,进一步推出得到411AA,21A.三、综合题1.设有函数xf.如果满足f,则称是函数xf的一个不动点.求xf的不动点(如果存在)的一个简单方法是适当地取一个初始点0x,构造迭代点列,2,11nxfxnn.如果点列}{nx收敛于,那么在一定条件下就是xf的不动点.假设是xf的一个不动点.xf在点的某个邻域中存在连续的导数xf,1||f.求证如果在的附近取一个初始点0x,则迭代点列,2,11nxfxnn收3敛于.提示1||f并且xf连续,推出在点的某个邻域中恒有qxf||.(其中q是某个小于1的正数)||||||||111nnnnnxqxtffxfx2.假设xf在,0有界,处处可导.求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列}{nx,使得0nxf.提示在区间2,21nn上应用拉格朗日中值定理.3.设数列}{na有界,满足02lim2nnnaa.求证0limnna.解反证.若0limnna不成立,则存在正数00,以及}{na的一个子列}{jna.满足0||jna.不妨设,2,10jajn.另一方面,根据02lim2nnnaa与极限保号性推出p存在自然数N,当Nn时,2|2|02nnaa,于是对于充分大的j,有0022322||jjnnaa.于是得到一个子列}{2jna,满足0223||jna.同样的方法又得到子列}{4jna,满足0425||jna....最后推出}{na无界.兴趣题1.(选自R.柯朗H.罗宾什么是数学)设A和B是平面上的两个互不相交的区域(平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分),用连续函数的介值定理解释①存在直线l,将区域A分成面积相等的两个区域②存在直线l,将区域A和B同时分成面积相等的两个区域③存在两条相互垂直的直线1l和2l,将区域A分成面积相等的四个区域。2.构造函数xf分别满足下列条件①xf仅在一个点连续②xf在所有无理点连续,在所有有理点间断③在所有整数点连续,在其他点均为第二类间断.提示②考察为无理点,既约分数xqpxqxf0,1④考察为无理点,为有理点xxxxg0,sin.3.在3R中满足条件1||||||limnnnnnzyx的,,zyx组成的集合是什么
编号:201311172237038536    大小:290.00KB    格式:DOC    上传时间:2013-11-17
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