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文档简介

导数题型归纳及解析请同学们高度重视首先,关于二次不等式恒成立的主要解法1、分离变量;2、变更主元;3、根分布;4、判别式法5、二次函数区间最值求法(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归基础(即教材)。一、基础题型函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决第一步令得到两个根;0XF第二步画两图或列表;第三步由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种第一种分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,0,0)第二种变更主元(即关于某字母的一次函数)(已知谁的范围就把谁作为主元);(请同学们参看2010省统测2)例1设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数YFXFXF为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸GX0GY函数”,已知实数M是常数,43216XMXF(1)若在区间上为“凸函数”,求M的取值范围;YFX0,3(2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸2FX,AB函数”,求的最大值BA解由函数得43216XMXF32XMFX2GX(1)在区间上为“凸函数”,YFX0,3则在区间0,3上恒成立2M解法一从二次函数的区间最值入手等价于MAX0G03029G解法二分离变量法当时,恒成立,0X230GXM当时,恒成立3等价于的最大值()恒成立,23XMX03X而()是增函数,则H0MAX2H22当时在区间上都为“凸函数”MFX,AB则等价于当时恒成立230GMX变更主元法再等价于在恒成立(视为关于M的一次函数最值2FMX2问题)203012FXXBA例2设函数,1032312RXAXF()求函数F(X)的单调区间和极值;()若对任意的不等式恒成立,求A的取值范围,1FXA(二次函数区间最值的例子)解()2243FXAXXA01A令得的单调递增区间为(A,3A),0XFXF223AAFXA3A令得的单调递减区间为(,A)和(3A,),0XFXF当XA时,极小值当X3A时,极大值B43BAXF()由|A,得对任意的恒成立XF,2,1X2243A则等价于这个二次函数的对称轴GMAINGGX2XA(放缩法)01,A2即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题单调增函数的最GX值问题。上是增函数(9分)22431,XAA、MIN4G于是,对任意,不等式恒成立,2,1AX等价于24,4115GAA、又,10A154A点评重视二次函数区间最值求法对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种构造函数求最值题型特征恒成立恒成立;从而转化为第一、XGF0XGFXH二种题型例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为,32FXA1,PB32610TGXTT()求的值;,AB()当时,求的值域;14XFX()当时,不等式恒成立,求实数T的取值范围。,GX1,2A解(),解得/23FXAX/13FBA32AB()由()知,在上单调递增,在上单调递减,在上F,00,2,4单调递减又14,0,24,16FFFF的值域是X16()令231,4THFXGXX思路1要使恒成立,只需,即分离变量0H26TX思路2二次函数区间最值二、题型一已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1转化为在给定区间上恒成立,回归基础题型0XFF或解法2利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(M,N)上是减函数”与“函数的单调减区间是(A,B)”,要弄清楚两句话的区别前者是后者的子集例4已知,函数RAXAXXF14213()如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;FGF()如果函数是上的单调函数,求的取值范围X,A解14412AXF()是偶函数,此时,XXF3123412XF令,解得0XF32X及随X变化情况的列表如下F,222,23232,XF00F递增极大值递减极小值递增可知的极大值为,的极小值为FX342FFX342F()函数是上的单调函数,F,,在给定区间R上恒成立判别式法21104FXAX则解得24A,02A综上,的取值范围是例5、已知函数32110FXX(I)求的单调区间;(II)若在0,1上单调递增,求A的取值范围。子集思想FX解析(I)211AXX1、20,0,AF当时恒成立当且仅当时取“”号,单调递增。1X,FX在2、1212,FAX当时由得且单调增区间A单调增区间,(II)当则是上述增区间的子集0,1,FX在上单调递增0,11、时,单调递增符合题意A在2、,0,AA综上,A的取值范围是0,1。三、题型二根的个数问题A11FX题1函数FX与GX(或与X轴)的交点即方程根的个数问题解题步骤第一步画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步解不等式(组)即可;例2、已知函数,且在区间上为增231XKXFKXG31F,2函数(1)求实数的取值范围;K(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围XFGK解(1)由题意在区间上为增函数,XK12F,2在区间上恒成立(分离变量法)012XKXF,即恒成立,又,故的取值范围为K2K1K1K(2)设,3132XXGXFH12KKX令得或由(1)知,0HX1当时,在R上递增,显然不合题意K02HXH当时,随的变化情况如下表1X,KK1,K,1XH00极大值极小值31263K21K由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有021KXFG0XH三个不同的实根,故需,即031263K0212KK,解得0212K综上,所求的取值范围为31K根的个数知道,部分根可求或已知。例3、已知函数32FXAXC(1)若1X是的极值点且F的图像过原点,求FX的极值;(2)若2GBXD,在(1)的条件下,是否存在实数B,使得函数X的图像与函数F的图像恒有含1X的三个不同交点若存在,求出实数B的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网解(1)FX的图像过原点,则,0FC23FXA又X是的极值点,则31AA220FXX1F、237FXF、(2)设函数GX的图像与函数FX的图像恒存在含1X的三个不同交点,等价于有含的三个根,即F112FGDB整理得3221XXB即恒有含的三个不等实根01X231FX(计算难点来了)有含的根,32110HXBXB1X则必可分解为,故用添项配凑法因式分解,HX0、3X221X2210BB221XX十字相乘法分解10BX212XX恒有含的三个不等实根32110XBXB等价于有两个不等于1的不等实根。221140BB,1,3,题2切线的条数问题以切点为未知数的方程的根的个数0X例1、已知函数在点处取得极小值4,使其导数32FXABC0的的取值范围为,求(1)的解析式;(2)若过点0FX,FX可作曲线的三条切线,求实数的取值范围,PMYFXM(1)由题意得2331,0ABXCAXA在上;在上;在上,10FX1,0F3FX因此在处取得极小值F4,4ABC32FABC2760FABC由联立得,169C3269FXX(2)设切点Q,,TF,YFTT23231969YTXTT21T过2TXTT,M323196M20GTT令,26T求得,方程有三个根。1,TG需02G3129064M16故;因此所求实数的范围为16M,题3已知在给定区间上的极值点个数则有导函数0的根的个数FX解法根分布或判别式法例1、解函数的定义域为()当M4时,FXX3X210X,R1372X27X10,令,解得或F0FX5,令,解得025可知函数FX的单调递增区间为和(5,),单调递减区间为,22,5()X2M3XM6,F要使函数YFX在(1,)有两个极值点,X2M3XM60的根在(1,)F1根分布问题则,解得M3234601MF例1、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令231XAXF0,ARXFX4F(X)(XR)有且仅有3个极值点,求A的取值范围G解(1)12AX当时,令解得,令解得,0A0F0X、0XF01XA所以的递增区间为,递减区间为XF,A,当时,同理可得的递增区间为,递减区间为XF1A、,10,A(2)有且仅有3个极值点4321GXX0有3个根,则或,23A0X210AX2方程有两个非零实根,所以210XA24,A或2而当或时可证函数有且仅有3个极值点2YGX其它例题1、(最值问题与主元变更法的例子)已知定义在上的函数R32FXAXB在区间上的最大值是5,最小值是11)(0A2,1()求函数的解析式;FX()若时,恒成立,求实数的取值范围,T0TXF)X解()322,3434FXABFA令0,得1240,1X因为,所以可得下表0X,00,1F0X极大因此必为最大值,因此,0F50)(FB2165,12FAFF即,162AA3X)(),等价于,XXF4320TXF)042T令,则问题就是在上恒成立时,求实数的TGG1,TX取值范围,为此只需,即,01(G0532X解得,所以所求实数的取值范围是0,10X2、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数32FXAXBC若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线10,1平行,求的解析式;30XYXF当在取得极大值且在取得极小值时,设点0,112X所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为13的2,1MBA两部分,求直线L的方程解由,函数在时有极值,2FXAXBFX10B1F1C又在处的切线与直线平行,X,30XY故03FB2A21XX7分解法一由及在取得极大值且在2FXAXBFX0,1取得极小值,12X即令,则0FF0248ABMXY21XBYA故点所在平面区域S为如图ABC,2BX2046XYM易得,0A,1B2,C0,1D30,2E2ABCS同时DE为ABC的中位线,3EABS四边形所求一条直线L的方程为0X另一种情况设不垂直于X轴的直线L也将S分为面积比为13的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,YK0K1S四边形DEGF由得点F的横坐标为20X21X由得点G的横坐标为46YKX64GK即OEFDSS四边形DEGF131221K2650K解得或舍去故这时直线方程为12K58KYX综上,所求直线方程为或0X12YX12分解法二由及在取得极大值且在2FXAXBFX0,1取得极小值,12X即令,则0FF0248ABMXY21XBYA故点所在平面区域S为如图ABC,12AYBX06XY易得,0A,1B2,C0,1D30,2E2ABCS同时DE为ABC的中位线,所求一条直线L的方程13DEABES四边形为0X另一种情况由于直线BO方程为,设直线BO与AC交于H,12YX由得直线L与AC交点为120YX1,2H,ABCS12DECS2HABOH所求直线方程为或0X12YX3、(根的个数问题)已知函数的图象如图32FABC3ABXDA0所示。()求的值;CD、()若函数的图象在点处的切线方程为FX2,F,求函数FX的解析式;3XY10()若方程有三个不同的根,求实数A5,8A的取值范围。解由题知2FX3ABXC3A2()由图可知函数FX的图像过点0,3,且01F得32CDABCD()依题意3且F25F解得A1,B614865AB所以FXX36X29X3()依题意FXAX3BX23A2BX3A03AX22BX3A2B由0B9AXF5F若方程FX8A有三个不同的根,当且仅当满足F58AF1由得25A38A7A3A31所以当A3时,方程FX8A有三个不同的根。12分14、(根的个数问题)已知函数321R(1)若函数在处取得极值,且,求的值及的FX12,X12XAFX单调区间;(2)若,讨论曲线与的交点个12AFX2516GXAX数解(1)21FXAX21,XA2211244XX2分0A22FXX令得1,或令得0FXX的单调递增区间为,单调递减区间为5分,1,1,(2)由题得FXG32256XAXAX即32106A令6分112XX

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