2012中北大学大学生数学建模竞赛a题原油开采与运输管道

2012中北大学大学生数学建模竞赛A题原油开采与运输管道摘要本题总的来看属于由约束条件求最优解的问题，由于没有繁琐的信息，题中给出的数据资料都能够用上，所以本题不需要整理数据，解题思路很明了。首先，由于炼油厂已经有四口自备油井，所以需要把这四口油井20122016年的产油量预测出来，根据20032011年数据可以用灰色预测模型其次对灰色预测模型进行检验，运用指数平滑法建立预测模型，根据时间序列的类型确定的大致取值范围，然后用试算法找出最小误差的值进行预测，得出结果与灰色预测得出结果相差不大，说明灰色预测结果有效。由于本题求的是计划总开支，计划就是指打井和铺设管道，这就需要通过满足约束条件来确定打几口井，打哪几口井，怎么铺设管道，我们需要根据题设条件，建立目标函数，既使整个计划总开支最小，同时，根据题中条件，建立相应的约束求出如何打井的方案，即建立01规划模型，运用LINGO软件，求出最优解。以第一种理解方案，只需新建1、3、6号油井即可。以第二种理解方案，当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150或160万吨原油时，完全可以不铺设管道，而只用打新油井即可满足。此时打的新油井为1、2、3、4、5、6、7号新油井。当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得170万吨、180万吨、190万吨原油时，我们都需要铺设管道，只是打井的数量和编号不同当要获得170万吨原油时，打新油井的编号是3号和6号，此时，管道最大供油量是Q1011081159329万吨，总费用最小值为149万元。当要获得180万吨原油时，打新油井的编号是2号和3号，此时，管道最大供油量是Q1011081159329万吨，总费用最小值为151万元。当要获得190万吨原油时，打新油井的编号是1、3、6号，此时，管道最大供油量是Q1011081159329万吨，总费用最小值154万元关键字灰色预测约束条件最优化MATLABLINGO软件问题重述某炼油厂有四口自备油井，为了满足炼油厂的需要，炼油厂一方面计划再打一些油井，另一方面从外部购买部分原油。该炼油厂现有的四口油井经过多年使用后，年产油量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产油量粗略统计数字。表1现有各油井在近几年的产油量（万吨）根据专家研究和预测，拟计划打的8口油井基本情况如下表2打井费用（万元）和当年产油量（万吨）炼油厂与附近一个油田的输油管道距离20公里，铺设管道的费用为P066Q051L（万元），其中Q表示每年的可供油量（万吨/年），L表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨油。炼油厂从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于打井和铺设管道，为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨油，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。二、问题分析为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨油，使得整个计划的总开支尽量节省，我们需要有步骤的进行分析讨论整个过程，考虑的主要过程如下第一步，我们首先通过对原四个油井，前几年提供的原油数据进行系统的分析，观察其变化关系，我们决定用MATLAB对原四个油井前几年出油的结果进行画图分析。为了得到20122016年原四口油井的出原油量，我们准备采用灰色预U测模型求出每口井的时间函数XK1AX01EAR；A之后对每个时间函数进行带入，预测出后几年的产油量。第二步，对于新打油井，由于缺少数据，我们不知道出油量随年份减少的量，有两种可能1新油井年产油量就是以每年10减少；2新油井年产油量不是以每年10减少，而是在10附近波动。第三步，在通过管道运输时，当新打油井与原四口油井出油量，可以满足2012到2016年的需求量最大值时，我们有两种选择，只打油井，或者通过管道运输。在考虑工厂经济效益时，我们会只打油井。当不能满足需求时，我们需要对两者结合起来考虑。第四步，在考虑工厂计划最少开支时，我们需要对原油井、新开油井，及管道运输油量进行整体规划。而对从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨油，我们有两种不同的理解1第一种理解考虑2012年至少需要150万吨，2013年需要160万吨，2014年需要170万吨，2015年需要180万吨，2016年需要190万吨，由于油井的出油量每年减少，我们只用考虑2016年的产油量，建立一次线性规划，只要2016年数据190万吨可以达到，则前几年一定可以满足。2第二种理解工厂在每年油井出油量减少的情况下，考虑五种情况，即在20122016年五年里各年最低出油量为150万、160万吨、170万吨、180万吨，190万吨。这样我们就需要建立五次线性规划了。三、模型假设1、假设题中给出的数据真实有效可用。2、假设预测原油井出油量数据可以用来计算。3、假设新油井的产油量逐年就按10下降。4、假设最近几年炼油厂不会出现重大事故，比如泄露。5、假设题中说明在20122016年每年出油量就是最低150万吨、160万吨、170万吨、180万吨、190万吨。6、假设输油管道建成，则最大供油量即为定值。7、假设输油管道建成后，附近油田在20122016年都可以满足该工厂的需求量。8、假设打新油井时，每口井的完工时间刚好与铺设管道一致。、9、假设所有新打油井都是从2012年开始产油四、符号说明X0参考序列X1生成序列A灰色参数S1S2观察数据离差残差的离差C后验比P小误差概率0残差百分比Q1I原第I号油井产油量S2016年所有油井出油最大值Q输油管道出油量最小值等于100万吨W总费用Q1实际年输油量Q表示管油管道铺设完成后可供油量P铺设输油管道的费用五、模型建立与求解1建立灰色模型为了确定总开支数，我们先对原四个油井未来五年的出原油量作出预测，这里我们建立灰色预测模型。11GM（1,1）模型原理简述灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授创立的，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。它以部分信息一致而部分信息未知的小样本、贫信息不确定性系统为研究对象，通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。对于环境空气污染物分析和预测，只需要研究一个变量，即GM1,1模型，它表示含有一个变量、一阶方程的预测模型，是较常用的一种灰色模型。其建模思想是将原始信息数据序列通过一定的数学方法进行处理，通常采用累加或累减生成方法，转化为微分方程来描述系统的客观规律，即灰色系统的白化。GM1,1为单序列的一阶线性动态模型，其离散时间响应函数呈近似指数分布。12建立GM1,1模型GM1,1模型建立过程（1）对数据序列X0X01,X02,1次累加生成得到X,0N，作X1X11,X12,X1N,（2）构造累加矩阵B与常数项向量YN，111X1X2）121111即B2X2X31X1N1X1N12YNX02,X03,X0NT（3）采用最小二乘法解灰色参数AAUTBTB1BTYN4将灰色参数带入时间函数1UUXT1X01EARAA（5）对X1求导还原得到1UXT1AX01EARA）（T）（6）计算XT与XT之差（0及相对误差ET00（0）TXTXT00ET0TX0T（7）模型诊断及应用模型进行预报为了分析模型的可靠性，必须对模型进行诊断。目前较通用的诊断方法，是对模型进行后验差检验，即先计算观察数据离差S1及残差的离差S2再计算后验比C及小误差概率P。S1X0TX0T22T1M1M10S2T0T2M1T1SC1S22P|0T0T|0674S1根据后验比C和小误差概率P对模型进行诊断，当P095和C035时，模型可靠，这时可根据模型对系统为进行预测。灰色模型预测精度等级见表1表1灰色模型预测精度等级上述7步为整个建模、预测的分析过程。当所建立的模型残差较大、精度不够理想时，为提高精度，一般可以对其残差进行残差GM（1,1）模型建模分析，已修正预报模型。对原四个油井未来出原油量运用灰色预测进行预测，近几年出原油量如下由表2数据运用MATLAB绘制出原四个油井年出原油量与年份的拟合、插值以及拟合与差值关系曲线图，进行对比比较。图1原四个油井近几年出原油数曲线图由其复相关系数R109977,R209959,R309999,R409692。说明拟合效果很好。灰色预测时间函数为EXP0044961K743449655原一号井XK1711249655EXP0297855K82854919原二号井XK161354919K17940628原三号井XK115780628EXP0133488K325728原四号井XK1302728EXP0068633通过计算与MATLAB软件求解，可以计算预测出20122016年初原油数。如下表表320122016年原四个油井预测值通过对未来五年的原四个油井的出原油数预测数据分析可以看出，在接下来的几年里，出油量年减少量逐渐变小，但下降趋势不会改变。模型检验由原四口油井的时间函数可以求出四口油井预测的相对误差，1686，03740517，209018134由相对误差均小于3，所以可以用灰色模型对原四个油井未来五年出原油进行预测，预测结果可以比较准确的反映未来五年的实际情况。模型检验一建立指数平滑预测模型运用指数平滑模型，对原有四口油井2012年出油量进行预测，比较两种方法预测值大小，当相差不大时，我们可以认为灰色预测数据具有可靠性。指数平滑预测法（时间序列为线性增长时，可用一次、二次指数平滑法，如果是非线性增长，则需要用三次指数平滑）指数平滑法来自于移动平均法，是一次移动平均法的延伸。它将时间数据加工平滑，从而获得其变化规律与趋势。1一次指数平滑法一次指数平滑公式为STYT1ST1111（61）其中STT期数据的指数平滑值；平YT滑常数，01；现期数据值。递推可得出一次指数平滑的预测模型为S1TYT1YT11YT21YTT112T1TST0（62）一次平滑指数法只适用于时间序列有一定波动但没有明显的长期递增或者递减的短期预测，若进行中长期预测，则会造成显著的时间滞后，产生较大的预测误差。为弥补这一缺陷，可采用二次指数平滑法。二次指数平滑法的计算公式为STST1ST1212（63）其相应的线性预测规划模型为YTTT（64）1212其中T2STST,T1STST题中给出了炼油厂原先有的四口井20032011年份的产油量，现在想要用指数平滑法预测这四口井20122016年的产油量。根据经验判断法，这四口井近几年产油量时间序列波动不大，试下降的发展趋势类型，应取较大值，在0610之间。结合试算法，选取06、08、10分别测试。通过FORLAB软件先对2011年进行预测得可对06，08，10进行检验2011年实际数据0608101号井22722532236237误差075150441表4故取平滑指数06经过第一次指数平滑后，散点图呈线性，故用二次平滑指数法即可。计算其一次和二次平滑值并预测20122016年的产油量。一般取S0为数据前几项平均值，这里取前三项的平均值，S0311，可得11S2312192315437由公式61、63可得产油量以及平滑值观察年份20032004200520062007200820092010201112时序123456789产油量322313297286275261253237227317631484304136293254282302269521259608246043234617表5315437315079308513299358289124277362266712543124249492S9S922346172424942267412062346172424941181691S9S904YT992267411816所以，Y1022674118161214924，即原1号井2012年的预测产油量为214924万吨。由表5可以看出运用灰色预测与指数平滑预测对2012年原四个油井出油量得预测相差不大，我们可以认为灰色预测数值具有真实可靠性。可以对接下来的问题进行求解。第一种理解由于油井的出油量每年减少，我们只用考虑2016年的产油量，建立一次线性规划，只要2016年所需油量190万吨可以达到，则前几年一定可以满足。有分析可知，若8口新油井全部建设，不铺设管道，则2016年仍无法满足需求，所以我们需要两种方法同时采用。由Q1表示实际输油量，Q表示管道最大可供油量，QQ1Q100万吨，可知我们只需建立部分新油井就可以满足要求，且使总费用降到最低，因此我们建立线性规划模型中01求解，目标函数总费用WMIN5X17X25X34X46X55X65X76X8132Q051设XI表示第I口新油井（I1,2,38）XI0或1；1,表示打第I口新油井；XI0,表示不打第I口新油井Q1100100是输油管道建成时年输油最小值Q；QQ1对2016年总需油量最小值为190万吨，转化成约束条件164X12362X221X3984X42034X51837X61443X7787X83616Q190用LINGO软件求解得出由上图可知，我们只需建设1、3、6号新油井便可满足条件，此时总费用为W1532210万元由于原油价格近几年波动很大，所以尽可能自给自足以减少开支。由于题目要求铺设管道和打井的每年费用为整数，故总费用也应该为整数，但是算出的费用不为整，所以应该进行修正题中打井的费用为整，故只需铺设管道的费用为整即可，由题知，铺设管道的费用公式为P066Q051L,由于Q为定值，故铺设管道的总费用为P132Q051两边分别取对数，即LNPLN132051LNQ整理反解得QELNPLN132051由上边计算大致可以确定Q的范围在132万吨左右，经计算P140时，Q1025393P139时，Q1011081P138时，Q99修正后总费用W154万元，此时P139万元时，Q1011081万吨第二种理解新开油井对供油量的影响在假设新开油井出油量每年以10递减的情况下，我们用EXCEL计算整理数据，计算出20122016年的出油量如下表由表可以计算出，所有油井在2016年的最大出油量S为S131876136161680361万吨，由150160S170所以当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160万吨时，完全可以不铺设管道，而只用在打新油井即可满足。此时S150180361万吨远大于164026万吨，为了保证这五年每年分别能至少获得150万吨时，从经济利益出发我们可以在新油井1,4,7,8中任选一处不打。S16080361万吨大于78732万吨，为了保证这五年每年分别能至少获得160万吨时，从经济利益出发我们可以不打8号新油井。模型检验在完全选择打新油井来满足炼油厂需求时，最低获得为150万吨时，当费用相同最低时，我们从炼油厂的角度出发，自然希望得到更多的原油。此时我们选择打新油井1,2,3,4,5,6,8总费用为35万元。在最低获得为160万吨时，我们选择打新油井1,2,3,4,5,6,7,8总费用为37万元。在选择铺设管道引进原油时仅铺设管道费用最小值PMIN066Q051L138220968万元就远远大于选择打新油井的费用。所以可以得出，当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160万吨时，完全可以不铺设管道，而只用打新油井即可满足。铺设管道的影响当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得170、180、190万吨时，即便新油井全部打好，也不能仅仅靠新油井提供原油来满足炼油厂的需求。这是我们就需求考虑铺设管道，来满足需求。由Q1表示实际输油量，Q表示管道最大可供油量，QQ1Q100万吨，可以想象，新油井完全没必要全部打开。这样既可以削减开支，还能避免浪费。特别是对于管道的建设最好是刚好满足最大实际输油量Q1MAX。为此我们建立线性规划模型中01求解，目标函数总费用WMIN5X17X25X34X46X55X65X76X8132Q051设XI表示第I口新油井（I1,2,38）XI0或1；1,表示打第I口新油井；XI0,表示不打第I口新油井Q1100100是输油管道建成时年输油最小值Q；QQ1对2016年总出油量最小值170万吨，180万吨，190万吨，转化成约束条件164X12362X221X3984X42034X51837X61443X7787X83616Q170164X12362X221X3984X42034X51837X61443X7787X83616Q180164X12362X221X3984X42034X51837X61443X7787X83616Q190用LINGO软件求解得出当炼油厂对2016年总出油量最小值170万吨时此时，打3,6号新油井，Q1100万吨，由于题中要求每年铺设管道费用为万元的整数倍。所以总费用最小值149万元。此时由W55066Q051L得到Q1011081159329万吨，P139万元。用同样的方法建立线性规划模型可以求出当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得180万吨时，打2,3号新油井，Q1100万吨由于题中要求每年铺设管道费用为万元的整数倍。所以总费用最小值151万元。出当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得190万吨时，打1,3,6号新油井，Q1100万吨由于题中要求每年铺设管道费用为万元的整数倍。所以总费用最小值154万元。模型检验由于20102012年必须完成打井和铺设输油管道的任务，这就说明，从2012年后炼油厂的产油量年年减少，故只要2016年满足能至少获得190万吨油就能保证2012到2015年每年分别至少获得150、160、170、180万吨油。由于原油价格近几年波动很大，所以尽可能自给自足以减少开支，但是题目要求管道铺好之后每年能够通过管道至少提供100万吨油，所以假设2012年之后每一年都从油田购买原油100万吨。具体方法如下1、2012年之后每年都从油田购买原油100万吨。2、只在2012年打井3、2016年能至少获得190万吨原油。2016年获得的原油Q2016年原I号井产油之和100万吨打井后产油量由表三得到2016年原I号井产油之和QQ1I4866万吨16I14故打井后产油量Q2I至少为1901003616万吨，即5384万吨由表2（如下）可以看出每口井的单位产油量所需打井费用各不相同，即当年产油量与打井费用的比值不同，如打新2号井当年产油36万吨，打井费用为7万元，7号井和8号井当年产油量之和为34万吨但是打井费用合起来为8万吨，故只打新2号井比打7、8号井合适。现在只需要要求在2012年打的井到2016年产油量之和至少为5384万吨。打井满足条件1、到2016年产油量之和至少5384万吨2、打井费用尽量少由2012年产油量14866253228233662013年产油量14504225288252221542014年产油量1418202525922268210652015年产油量138771822523328204122007352016年产油量136161640252099521837081919285总费用W066100051205551532210万元由于题目要求铺设管道和打井的每年费用为整数，故总费用也应该为整数，但是算出的费用不为整，所以应该进行修正题中打井的费用为整，故只需铺设管道的费用为整即可，由题知，铺设管道的费用公式为P066Q051L,由于Q为定值，故铺设管道的总费用为P132Q051两边分别取对数，即LNPLN132051LNQ整理反解得QELNPLN132051由上边经验大致可以确定Q的范围在132万吨左右，经计算P140时，Q1025393P139时，Q1011081P138时，Q99故取P139万元，Q1011081万吨；炼油厂整个计划的总开支尽量节省的方案由以上模型可知，若使整个计划的总开支尽量减少，按不同的理解方法，我们可以提出不同的方案来满足要求对第一种理解在2016年满足要求的前提下，我们需要同时铺设管道和打新的油井，即在2012年把管道铺好的同时，我们还需要1、3、6号新油井完工，以便满足工厂的需油量。此时最大供油量是Q1011081万吨对第二种理解1、当炼油厂为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150或160万吨原油时，完全可以不铺设管道，而只用打新油井即可满足