2014高中数学 133等比数列的前n项和（一）教案 北师大版必修5

第十课时133等比数列的前N项和（一）一、教学目标1、知识与技能了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；探索并掌握等比数列前N项和公式；用方程的思想认识等比数列前N项和公式，利用公式知三求一；体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。2、过程与方法采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；发挥学生的主体作用，作好探究性活动。3、情感态度与价值观通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。二、教学重点1等比数列前N项和公式的推导；2等比数列前N项和公式的应用。教学难点等比数列前N项和公式的推导。三、教学方法探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明者这个故事大家听说过吗生知道一些，踊跃发言师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍直到第64个格子请给我足够的麦粒以实现上述要求”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求师假定千粒麦子的质量为40G，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计你认为国王能不能满足他的要求生各持己见动笔，列式，计算生能列出式子麦粒的总数为1222263师这是一个什么样的问题你们计算出结果了吗让我们一起来分析一下课件展示1222263师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法记S122223263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消课件展示S122223263,2S22223263264,得2SS26412641这个数很大，超过了1841019，假定千粒麦子的质量为40G，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识（二）推进新课合作探究师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形1QQ2QN师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生观察、独立思考、合作交流、自主探究师若将上式左边的每一项乘以公比Q，就出现了什么样的结果呢生QQ2QNQN1生每一项就成了它后面相邻的一项师对上面的问题的解决有什么帮助吗师生共同探索如果记SN1QQ2QN,那么QSNQQ2QNQN1要想得到SN，只要将两式相减，就立即有1QSN1QN师提问学生如何处理，适时提醒学生注意Q的取值生如果Q1，则有QN1师当然，我们还要考虑一下如果Q1问题是什么样的结果生如果Q1，那么SNN师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考课件展示A1A2A3AN教师精讲师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法我们将这种方法简称为“错位相减法”师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”如果记SNA1A2A3AN,那么QSNA1QA2QA3QANQ,要想得到SN，只要将两式相减，就立即有1QSNA1ANQ师再次提醒学生注意Q的取值如果Q1，则有QANN1师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程如果记SNA1A1QA1Q2A1QN1,那么QSNA1QA1Q2A1QN1A1QN,要想得到SN，只要将两式相减，就立即有1QSNA1A1QN如果Q1，则有SN师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量A1,Q,AN,SN,N中A1,Q,AN,SN四个；后者出现的是A1,Q,SN,N四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前N项的和提供了选择的余地值得重视的是上述结论都是在“如果Q1”的前提下得到的言下之意，就是只有当等比数列的公比Q1时，我们才能用上述公式师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果Q1问题是什么样的结果呢生独立思考、合作交流生如果Q1，SNNA1师完全正确如果Q1，那么SNNAN正确吗怎么解释生正确Q1时，等比数列的各项相等，它的前N项的和等于它的任一项的N倍师对了，这就是认清了问题的本质师等比数列的前N项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下合作探究思路一根据等比数列的定义，我们有,QAAN13421再由合比定理，则得QAN13214,即,从而就有1QSNSNA1ANQ以下从略思路二由SNA1A2A3AN得SNA1A1QA2QAN1QA1QA1A2AN1A1QSNAN,从而得1QSNA1ANQ以下从略师探究中我们们应该发现，SNSN1AN是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视在这个关系式中，N的取值应该满足什么条件生N1师对的，请同学们今后多多关注这个关系式SNSN1AN，N1师综合上面的探究过程，我们得出或者1,1QSN1,1QAN例题剖析【例题1】求下列等比数列的前8项的和1,；2248A127,A9,Q0243合作探究师生共同分析由1所给条件，可得，,求N8时的和，1AQ直接用公式即可由2所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求2439N8时的和而A9A1Q8，所以由条件可得Q8，再由Q0，可得，1A731将所得的值代入公式就可以了生写出解答1因为,，所以当N8时，21AQ256188S2由A127,，可得，又由Q0，可得,43927431983于是当N8时，8603278S【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台结果保留到个位师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知SN30000求N的问题生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列AN，其中A15000,Q11011,SN30000于是得到,30150整理得11N16,两边取对数，得NLG11LG16,用计算器算得5年1LG6042答大约5年可以使总销售量达到30000台（三）、练习教材练习第1、2、3题（四）、课堂小结本节学习了如下内容1等比数列前N项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”2等比数列前N项和公式的应用因为