【创新设计】2014高考数学一轮复习 第九章 分类加法计数原理和分布乘法计数原理训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第九章分类加法计数原理和分布乘法计数原理训练理新人教A版第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理备考方向要明了考什么怎么考1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题高考中，对于两个计数原理一般不单独考查，多与排列、组合相结合考查，且多为选择、填空题，如2012年北京T6，浙江T6等归纳知识整合1分类加法计数原理完成一件事有N类不同的方案，在第一类方案中有M1种不同的方法，在第二类方案中有M2种不同的方法，在第N类方案中有MN种不同的方法，则完成这件事，共有NM1M2MN种不同的方法探究1选用分类加法计数原理的条件是什么提示当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理2分步乘法计数原理完成一件事需要N个不同的步骤，完成第一步有M1种不同的方法，完成第二步有M2种不同的方法，完成第N步有MN种不同的方法，那么完成这件事共有NM1M2MN种不同的方法探究2选用分类乘法计数原理的条件是什么提示当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理自测牛刀小试1一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为A182B14C48D91解析选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为68482某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有A3种B6种C7种D9种解析选C分3类买1本书，买2本书和买3本书各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3317种3从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有A30B20C10D6解析选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有N336种4如图，从AC有_种不同的走法解析分为两类不过B点有2种方法，过B点有224种方法，共有426种方法答案65设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立AB的映射的个数为_解析建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有238个答案8分类加法计数原理例112012北京高考从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A24B18C12D62将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为A80B120C140D50自主解答1法一直接法本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以NCCACC12618；231222312法二间接法奇数的个数为NCCCACC18131212213122分两类若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是CA，此时的方法数是132CCA60；若甲组3人，则方法数是CA20根据分类加法计数原理得总的方法数是25132352602080答案1B2A本例1条件不变，求有多少个能被5整除的数解能被5整除的数分两类当个位数是0时，有A6个；23当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有CA4122个故共有12个能被5整除的数使用分类加法计数原理计数的两个条件一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理1若自然数N使得作竖式加法NN1N2均不产生进位现象，则称N为“良数”例如32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不是“良数”，因为232425产生进位现象那么小于1000的“良数”的个数为A27B36C39D48解析选D一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共339个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3927个根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的“良数”分步乘法计数原理例2学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有_种用数字作答自主解答有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是1,2，3,4；1,2，4,5；1,2，5,6；2,3，4,5；2,3，5,6；3,4，5,6，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同4的排法624144种答案144使用分步乘法计数原理计数的两个注意点1要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；2各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事2将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设NII1,2,3表示第I行中最大的数，则满足N10，NR1RFRFR12KR1R令FRFR1，则1，则RK等号不成立2KR1R12当R1,2，K时，FRFR1成立反之，当RK1，K2，2K时，FR1，即X的取值范围是1，39192除以100的余数是_解析919290192C9092C9091C902C90C09219290291292M10292901M为整数100M82100819192除以100的余数是81答案814设FX1XM1XN的展开式中X的系数是19M，NN1求FX展开式中X2的系数的最小值；2对FX展开式中X2的系数取最小值时的M，N，求FX展开式中X7的系数解1由题意知CC19，1M1N即MN19，所以M19NX2的系数为CCCC19N18N2M2N219N2N12NN1N219N1712，12N1923234NN，当N9或N10时，X2的系数取最小值2811232342当N9，M10或N10，M9时，X7的系数为CCCC1567107931029第四节随机事件的概率备考方向要明了考什么怎么考1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式1随机事件的概率是高考的必考内容，主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件的求法为主，其中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中常考查2多以选择和填空的形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题，如2012江苏T6等归纳知识整合1事件的分类2频率和概率1在相同的条件S下重复N次实验，观察某一事件A是否出现，称N次试验中事件A出现的次数NA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例FNA为事件A出现的频NAN率2对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率FNA稳定在某个常数上，把这个常数记作PA，称为事件A的概率，简称为A的概率探究1概率和频率有什么区别和联系提示频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A或称事件A包含于事件BBA或AB相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件和事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件或和事件AB或AB交事件积事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件或积事件AB或AB互斥事件若AB为不可能事件，那么事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU探究2互斥事件和对立事件有什么区别和联系提示互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生所以两个事件互斥但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥4概率的几个基本性质1概率的取值范围0,12必然事件的概率PE13不可能事件的概率PF04概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则PABPAPB若事件A与B互为对立事件，则AB为必然事件PAB1，PA1PB自测牛刀小试1甲A1、A2是互斥事件；乙A1、A2是对立事件那么A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析选B对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立2从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A至少有1个白球，都是白球B至少有1个白球，至少有1个红球C恰有1个白球，恰有2个白球D至少有1个白球，都是红球解析选CA、B中的事件可同时发生，不是互斥事件，D为对立事件3从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160CM的概率为02，该同学的身高在160,175的概率为05，那么该同学的身高超过175CM的概率为A02B03C07D08解析选B由对立事件的概率可求该同学的身高超过175CM的概率为10205034某城市2012年的空气质量状况如下表所示污染指数T3060100110130140概率P1101613730215130其中污染指数T50时，空气质量为优；50A的概率是AB4535CD2515解析选D从1,2,3,4,5中选取一个数A有5种取法，从1,2,3中选取一个数B有3种取法所以选取两个数A，B共有5315个基本事件满足BA的基本事件共有3个因此BA的概率P315154从16个同类产品其中有14个正品，2个次品中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是A三个都是正品B三个都是次品C三个中至少有一个是正品D三个中至少有一个是次品解析选C16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为15某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是AB11535CD8151415解析选B记4听合格的饮料分别为A1、A2、A3、A4，2听不合格的饮料分别为B1、B2，则从中随机抽取2听有A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，A4，A2，B1，A2，B2，A3，A4，A3，B1，A3，B2，A4，B1，A4，B2，B1，B2，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，A4，B1，A4，B2，B1，B2，共9种，故所求概率为P915356甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为A，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为B，且A，B1,2,3，若|AB|1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为AB1359CD2379解析选D甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为339设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|AB|1”，又|AB|2包含2个基本事件，所以PB，所以PA1292979二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是_解析“至少有1次中靶”包括两种情况有1次中靶；有2次中靶其对立事件为“2次都不中靶”答案2次都不中靶8甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为08和075，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_解析P102025095答案0959盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_解析设3只白球为A，B，C,1只黑球为D，则从中随机摸出两只球的情形有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12答案12三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下排队人数012345人以上概率01016030301004求1至多2人排队的概率；2至少2人排队的概率解记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥1记“至少2人排队”为事件E，则PEPABCPAPBPC01016030562记“至少2人排队”为事件D“少于2人排队”为事件AB，那么事件D与事件AB是对立事件，则PD1PAB1PAPB10101607411已知向量AX，Y，B1，2，从6张大小相同、分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，X，Y分别表示第一次，第二次抽取的卡片上的号码1求满足AB1的概率；2求满足AB0的概率解1设X，Y表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,1，2,2，6,5，6,6，共36个用A表示事件“AB1”，即X2Y1，则A包含的基本事件有1,1，3,2，5,3，共3个，PA3361122AB0，即X2Y0，在1中的36个基本事件中，满足X2Y0的事件有3,1，4,1，5,1，6,1，5,2，6,2共6个，所以所求概率P6361612某次会议有6名代表参加，A，B两名代表来自甲单位，C，D两名代表来自乙单位，E，F两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问1代表A被选中的概率是多少2选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少解1从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F其中代表A被选中的选法有A，B，A，C，A，D，A，E，A，F共5种，则代表A被选中的概率为515132法一随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是A，C，A，D，B，C，B，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为91535法二随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为；815随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为115则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为815115351有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面所有数字之和能被5整除的概率为AB11614CD3812解析选B“斜向上的所有数字之和能被5整除”等价于两个底面数字之和能被5整除，而两底数所有的情况有4416种，而两底数和为5包括1,4，4,1，2,3，3,2共4种情况，所以P416142抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知PA，PB，则出现奇数点或2点的概率为_1216解析因为事件A与事件B是互斥事件，所以PABPAPB121623答案233一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球715115的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析1由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生因而取得两个同色球的概率为P7151158152由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件则至少取得一个红球的概率PA1PB1415答案8151415第五节古典概型备考方向要明了考什么怎么考1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率高考对本节内容的考查多为选择题或填空题，难度中低档，如2012年广东T7，上海T11等归纳知识整合1基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的；2任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和探究1在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗提示不一定如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型1有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2等可能性每个基本事件出现的可能性相等探究2如何判断一个试验是否为古典概型提示关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性3古典概型的概率公式PAA包含的基本事件的个数基本事件的总数自测牛刀小试1从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为AB1213CD123解析选C基本事件总数为甲，乙，甲，丙，乙，丙共3种甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为232某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为AB1413CD112解析选C用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个35张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为AB3525CD3423解析选A由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为610354若以连续掷两次骰子分别得到的点数M，N作为点P的横、纵坐标，则点P在直线XY5的下方的概率为_解析点P在直线XY5下方的情况有1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，3,1六种可能，故P66616答案165在集合A2,3中随机取一个元素M，在集合B1,2,3中随机取一个元素N，得到点PM，N，则点P在圆X2Y29内部的概率为_解析点PM，N共有2,1，2,2，2,3，3,1，3,2，3,36种情况，只有2,1，2,2，这两种情况满足在圆X2Y29内部，所以所求概率为2613答案13简单古典概型的求法例1编号分别为A1，A2，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17262533221231381将得分在对应区间内的人数填入相应的空格区间10,2020,3030,40人数2从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，用运动员编号列出所有可能的抽取结果；求这2人得分之和大于50的概率自主解答14,6,62得分在区间20,30内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有A3，A4，A3，A5，A3，A10，A3，A11，A3，A13，A4，A5，A4，A10，A4，A11，A4，A13，A5，A10，A5，A11，A5，A13，A10，A11，A10，A13，A11，A13共15种“从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”记为事件B的所有可能结果有A4，A5，A4，A10，A4，A11，A5，A10，A10，A11共5种所以PB51513本例条件不变，从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和小于50的概率解得分之和小于50的所有可能结果有A3，A4，A3，A5，A3，A10，A3，A11，A3，A13，A5，A13，A10，A13，A11，A13故这2人得分之和小于50的概率为P815应用古典概型求概率的步骤1仔细阅读题目，分析试验包含的基本事件的特点；2设出所求事件A；3分别列举事件A包含的基本事件，求出总事件数N和所求事件A包含的基本事件数M；4利用公式求出事件A的概率1从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动1求所选2人中恰有一名男生的概率；2求所选2人中至少有一名女生的概率解设2名女生为A1，A2,3名男生为B1，B2，B3，从中选出2人的基本事件有A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3共10种1设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3共6种，则PA，61035故所选2人中恰有一名男生的概率为352设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3共7种，则PB，710故所选2人中至少有一名女生的概率为710较复杂的古典概型的概率例2为振兴旅游业，四川省2012年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡简称金卡，向省内人士发行的是熊猫银卡简称银卡某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省34内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡13231在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；2在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率自主解答1由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则PA，C16C130C23627所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是272设事件B为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况则PBPB1PB2，C21C236C19C16C23644105所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点1解题的关键点是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型；2必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或先求其对立事件的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解22012新课标全国卷某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理1若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润Y单位元关于当天需求量N单位枝，NN的函数解析式；2花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位枝，整理得下表日需求量N14151617181920频数10201616151310假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润单位元的平均数；若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率解1当日需求量N17时，利润Y85当日需求量N20，解得2R，此时N1ON2180，故所求的概率为218036012答案121条规律对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法2种方法判断几何概型中的几何度量形式的方法1当题干是双重变量问题，一般与面积有关系；2当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域空间区域内移动，则几何度量是面积体积，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域创新交汇几何概型与定积分的完美结合1几何概型是近几年高考的热点之一，主要考查形式有两种一是以实际问题为背景直接考查与长度、面积有关的几何概型的概率求解，多涉及三角形、矩形、圆等平面图形的计算；二是与定积分、解析几何、函数、立体几何、线性规划、等知识交汇命题2解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求法原理，并熟练掌握相关知识典例2012福建高考如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为AB1415CD1617解析阴影部分的面积为XDX，利用几何概型公10X23X3212X2|10231216式得，PS阴影S正方形16116答案C名师点评1本题有以下创新点1考查方式的创新对于定积分的考查，由常规方式转换为以几何概型为载体考查定积分的计算；2考查内容的创新本题将几何概型与定积分求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性2解决本题的关键点解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解3在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点1要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征；2运用几何概型的概率公式时，注意验证事件是否等可能性变式训练2013沈阳模拟设集合AX，Y|X|Y|2，BX，YA|YX2，从集合A中随机地取出一个元素PX，Y，则PB的概率是_解析在直角坐标系中分别作出集合A，B所表示的区域，从集合A中随机地取出一个元素PX，Y，则PB的区域为图中阴影部分，由定积分知识可求得阴影部分的面积为2，则从集合A中随机地取出一个元素10X2DX122173PX，Y，则PB的概率为17381724答案1724一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1取一根长度为4M的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1M的概率是AB1413CD1223解析选C把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1M，故所求概率为P24122如图所示，矩形ABCD中，点E为边CD的中点若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于AB1413CD1223解析选C因为SABE|AB|BC|，S矩形|AB|BC|，则点Q取自ABE内部的12概率PSABES矩形123已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在PBCAABC内，则黄豆落在PBC内的概率是AB1413CD2312解析选D由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处记黄豆落在PBC内为事件D，则PDSPBCSABC124在区间5,5内随机地取出一个数A，则恰好使1是关于X的不等式2X2AXA22或ASABC，只需PBAB故所求概率为P141434ABAB34答案3492013海门模拟在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_解析以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求故P31612342236答案36三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10如右图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率解弦长不超过1，即|OQ|，32而Q点在直径AB上是随机的，事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得PA322232故弦长不超过1的概率为1PA132所求弦长不超过1的概率为13211已知复数ZXYIX，YR在复平面上对应的点为M1设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为X，从集合Q中随机抽取一个数作为Y，求复数Z为纯虚数的概率；2设X0,3，Y0,4，求点M落在不等式组ERROR所表示的平面区域内的概率解1记“复数Z为纯虚数”为事件A组成复数Z的所有情况共有12个4，4I，42I，3，3I，32I，2，2I，22I,0，I,2I，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个I,2I，所求事件的概率为PA212162依条件可知，点M均匀地分布在平面区域ERROR内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412而所求事件构成的平面区域为ERROR，其图形如图中的三角形OAD阴影部分又直线X2Y30与X轴、Y轴的交点分别为A3,0、D，0，32则三角形OAD的面积为S13123294故所求事件的概率为PS1S941231612设关于X的一元二次方程X22AXB201若A是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，B是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；2若A是从区间0,3任取的一个数，B是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率解设事件A为“方程A22AXB20有实根”当A0，B0时，方程X22AXB20有实根的充要条件为AB1基本事件共12个0,0，0,1，0,2，1,0，1,1，1,2，2,0，2,1，2,2，3,0，3,1，3,2，其中第一个数表示A的取值，第二个数表示B的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为PA912342试验的全部结果所构成的区域为A，B|0A3，0B2构成事件A的区域为A，B|0A3,0B2，AB，所以所求的概率为32122232231扇形AOB的半径为1，圆心角为90点C、D、E将弧AB等分成四份连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是8AB31015CD2512解析选A依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为的扇形即相应圆8心角恰为的扇形共有3个即扇形AOD、EOC、BOD，因此所求的概率等于43102点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|6PX7PX812351351335求离散型随机变量的分布列的三个步骤1明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；2利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；3按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证22013泰安模拟某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示1从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数20155102若随机选出2名使用人教版的老师发言，设使用人教A版的教师人数为，求随机变量的分布列解1从50名教师中随机选出2名的方法数为C1225250选出2人使用版本相同的方法数为CCCC3502021525210故2人使用版本相同的概率为P3501225272P0，P1，C215C235317C120C15C23560119P2，C20C23538119的分布列为012P3176011938119超几何分布问题例3某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X表示其中参加大赛的男生人数，求X的分布列自主解答依题意随机变量X服从超几何分布，所以PXKK0,1,2,3,4CK5C4K5C410PX0，PX1，C05C45C410142C15C35C410521PX2，PX3，C25C25C4101021C35C15C410521PX4，C45C05C410142X的分布列为X01234P1425211021521142超几何分布的特点1对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；2超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型3从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动1求所选3人中恰有一名男生的概率；2求所选3人中男生人数的分布列解1所选3人中恰有一名男生的概率PC25C14C3910212的可能取值为0,1,2,3P0，P1，C35C39542C25C14C391021P2，P3C15C24C39514C34C39121故的分布列为0123P54210215141212个注意点掌握离散型随机变量分布列的注意点1分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为事件发生的概率；2要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误3种方法求分布列的三种方法1由统计数据得到离散型随机变量的分布列；2由古典概型求出离散型随机变量的分布列；3由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及N次独立重复试验有K次发生的概率求离散型随机变量的分布列易误警示随机变量取值不全导致错误典例2013长沙模拟盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球假设取到每个球的可能性都相同记第一次与第二次取得球的标号之和为1求随机变量的分布列；2求随机变量的期望解1由题意可得，随机变量的取值是2,3,4,6,7,10且P20303009，P3C0304024，12P40404016，P6C0303018，12P7C0403024，12P100303009故随机变量的分布列如下2346710P0090240160180240092随机变量的数学期望E200930244016601870241000952易误辨析1本题由于离散型随机变量的取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误2此类问题还极易发生如下错误虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错误3避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1变式训练某射手有5发子弹，射击一次命中的概率是09若命中就停止射击，否则就一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列解X的取值为1,2,3,4,5，它们的概率分别为PX109，PX20109009，PX3012090009，PX40130900009，当X5时，说明前四发都没命中，不管第五次中与不中都要射第五发子弹，PX501400001，故X的分布列为X12345P0900900090000900001一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为A第一次出现的点数B第二次出现的点数C两次出现点数之和D两次出现相同点的种数解析选CA、B中出现的点数虽然是随机的，但他们取值所反映的结果都不是本题涉及试验的结果D中出现相同点数的种数就是6种，不是变量C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种结果，但每掷一次前，无法预见是11种中的哪一个，故是随机变量2袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是A4B5C6D5解析选C由条件知“放回5个红球”事件对应的为63设随机变量X等可能取值1,2,3，N，若PX403，则AN3BN4CN9DN10解析选DPX0，称PB|A为在事件A发生条件下，事件B发生的PABPA条件概率10PB|A12如果B和C是两个互斥事件，则PBC|APB|APC|A2事件的相互独立性1定义设A、B为两个事件，如果PABPAPB，则称事件A与事件B相互独立2性质若事件A与B相互独立，则PB|APB，PA|BPA，PABPAPB如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立BAAB探究1“相互独立”和“事件互斥”有何不同提示两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥3独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的N次试验称为N次独立重复试验在N次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是P，此时称随机变量X服从二项分布，记作XBN，P，并称P为成功概率计算公式AII1,2，N表示第I次试验结果，则PA1A2A3ANPA1PA2PAN在N次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率为PXKCPK1PNKK0，1,2，NKN探究2二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系提示如果把P看成A,1P看成B，则CPK1PNK就是二项式定理中的通项KN自测牛刀小试1若事件E与F相互独立，且PEPF，则PEF的值等于14A0B116CD1412解析选BEF代表E与F同时发生，故PEFPEPF1162已知PB|A，PAB，则PA等于1238AB3161316CD3414解析选C由PABPAPB|A可得PA343有甲、乙两批种子，发芽率分别为08和09，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是A026B008C018D072解析选AP080102090264掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次23的概率是_解析设正面朝上X次，则XB，4，23PX3C313423133281答案32815某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为_解析设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则PA，PAB，故PB|AC16C271C27PABPA16答案16条件概率例11甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20，乙市占18，两市同时下雨占12则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为A06B07C08D0662市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70，乙厂产品占30，甲厂产品的合格率是95，乙厂产品的合格率是80，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是_自主解答1甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则PA02，PB018，PAB012，故PB|A06PABPA012022记A“甲厂产品”，B“合格产品”，则PA07，PB|A095故PABPAPB|A070950665答案1A20665在本例2中条件改为“甲厂产品的合格率是95，其中60为一级品”，求甲厂产品中任选一件为一级品的概率解设甲厂产品合格为事件A，一级品为事件B，则甲厂产品中任一件为一级品为AB，所以PABPAPB|A9560057条件概率的求法1定义法先求PA和PAB，再由PB|A求PB|A；PABPA2基本事件法借古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数NA，再求事件AB所包含的基本事件数NAB，得PB|ANABNA1在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求1第1次抽到理科题的概率；2第1次和第2次都抽到理科题的概率；3在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率解设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB1从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为NA20；25根据分步乘法计数原理，NAAA12；1314于是PANAN1220352因为NABA6，所以23PABNABN6203103法一由12可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率PB|APABPA3103512法二因为NAB6，NA12，所以PB|ANABNA61212相互独立事件的概率例2某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路统计表明汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路堵车的概率为，不堵车11091035的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路，第三辆汽车丙由于其他原因走公路运送水果，25且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响1求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；2求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率自主解答记“汽车甲走公路堵车”为事件A，“汽车乙走公路堵车”为事件B“汽车丙走公路堵车”为事件C1甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P1PAPBBA1109109101109502甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P2PABPACPBCPABCCBA1101102511091035910110351101103559500求相互独立事件同时发生的概率的方法1利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算2红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为06,05,05假设各盘比赛结果相互独立1求红队至少两名队员获胜的概率；2求红队队员获胜总盘数为1的概率解1设甲胜A为事件D，乙胜B为事件E，丙胜C为事件F，则，分别表示事DEF件甲不胜A、事件乙不胜B、事件丙不胜C因为PD06，PE05，PF05，由对立事件的概率公式知P04，PDE05，P05F红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEFFED由于以上四个事件两两互斥且