人教a版高中数学必修2第3章直线与方程全部教案 同步单元测试卷

第三章直线与方程本章教材分析直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形直线本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念然后建立直线的方程点斜式、斜截式、两点式、截距式等通过直线的方程,研究直线间的位置关系平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法坐标法的基本特点是,首先用代数语言坐标及其方程描述几何元素及其关系,将几何问题代数化解决代数问题,得到结果分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题本章自始至终贯穿数形结合的思想在图形的研究过程中,注意代数方法的使用在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神本章教学时间约9课时，具体分配如下（仅供参考）311倾斜角与斜率约1课时312两直线平行与垂直的判定约1课时321直线的点斜式方程约1课时322直线的两点式方程约1课时323直线的一般式方程约1课时331两条直线的交点坐标约1课时332两点间的距离约1课时333及334点到直线的距离及两条平行线间的距离约1课时本章复习约1课时31直线的倾斜角与斜率311倾斜角与斜率整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要三维目标1理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于X轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想2掌握经过两点P1X1,Y1和P2X2,Y2的直线的斜率公式K（X1X2），培养学生树立辩证统一的2Y观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神3培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练重点难点教学重点直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式教学难点斜率公式的推导课时安排1课时教学过程导入新课思路1如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对X轴的相对位置有几种情形教师引入课题直线的倾斜角和斜率图1思路2我们知道,经过两点有且只有确定一条直线那么,经过一点P的直线L的位置能确定吗这些直线有什么联系和区别呢教师引入课题倾斜角与斜率推进新课新知探究提出问题怎样描述直线的倾斜程度呢图2中标出的直线的倾斜角对不对如果不对，违背了定义中的哪一条图2直线的倾斜角能不能是0能不能是锐角能不能是直角能不能是钝角能不能是平角能否大于平角日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量正切函数的定义域是什么任何直线都有斜率么我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢如已知A2，3、B1，4，则直线AB的斜率是多少活动与交角有关当直线L与X轴相交时,取X轴作为基准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角可见平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了考虑正方向动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0180在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向倾斜角直观地表示了直线对X轴正方向的倾斜程度规定当直线和X轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以倾斜角的范围是0180联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K表示，即KTAN教师介绍正切函数的相关知识说明直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于X轴的直线没有斜率（倾斜角是90的直线没有斜率）已知直线L上的两点P1X1，Y1，P2X2，Y2，且直线L与X轴不垂直，如何求直线L的斜率教学时可与教材上的方法一样推出讨论结果用倾斜角都不对与定义中的X轴正方向、直线向上方向相违背直线的倾斜角能是0，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角有，常用的有坡度比90的正切值不存在倾斜角是90的直线没有斜率过两点P1X1,Y1、P2X2,Y2的直线的斜率公式K12XY应用示例思路1例1已知A3,2,B4,1,C0,1,求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角活动引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得K的值而当KTAN0时,倾斜角是钝角而当KTAN0时,倾斜角是锐角而当KTAN0时,倾斜角是0解直线AB的斜率K10,所以它的倾斜角是锐角7直线BC的斜率K2050,所以它的倾斜角是钝角直线CA的斜率K310,所以它的倾斜角是锐角变式训练已知A1,3,B0,2,求直线AB的斜率及倾斜角解KAB,30123直线倾斜角的取值范围是0180,直线AB的倾斜角为60例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,1,2及3的直线A,B,C,L活动要画出经过原点的直线A,只要再找出A上的另外一点M而M的坐标可以根据直线A的斜率确定解设直线A上的另外一点M的坐标为X,Y,根据斜率公式有1,所以XY0XY可令X1,则Y1,于是点M的坐标为1,1此时过原点和点M1,1,可作直线A同理,可作直线B,C,L变式训练1已知直线的倾斜角，求直线的斜率10；（2）60；390活动指导学生根据定义直接求解解1TAN00，倾斜角为0的直线斜率为02TAN60，倾斜角为60的直线斜率为333TAN90不存在，倾斜角为90的直线斜率不存在点评通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率2关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的A任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C平行于X轴的直线的倾斜角是0或；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D直线斜率的范围是，答案D思路2例1求经过点A2,0，B5,3的直线的斜率和倾斜角解KAB1，即TAN1，2503又0180，135该直线的斜率是1，倾斜角是135点评此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角变式训练求过下列两点的直线的斜率K及倾斜角（1）P12,3，P22,8；（2）P15,2，P22,2解（1）P1P2与X轴垂直，直线斜率不存在，倾斜角90（2）KTAN0，直线斜率为0，倾斜角05例2已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证这三点在同一条直线上证明由直线的斜率相同，可知直线AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两直线过公共点A，所以直线AB与AC重合，因此A、B、C三点共线点评此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线变式训练1若三点A2,3，B3,2，C,M共线，求实数M的值21解KAB1，KAC，233MA、B、C三点共线，KABKAC1M2192若三点A2,2,BA,0,C0,BAB0共线，则的值等于_AB答案21例3已知三角形的顶点A0,5，B1,2，C6,M，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求M的值及|AD|的长分析应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式解D点的坐标为,，25MKAD1M7D点坐标为,025|AD|252变式训练过点P1，1的直线L与X轴和Y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线L的斜率和倾斜角答案K1,倾斜角为43知能训练课本本节练习1、拓展提升已知点A2,3，B3,2，过点P0,2的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率K的取值范围分析利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形答案,3425课堂小结通过本节学习，要求大家（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；（3）直线斜率的概念；（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法作业习题31A组3、4、5设计感想本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况当090时,作出YTAN在0,90区间内的函数图象；由图象观察可知当0,90，YTAN0，并且随着的增大，Y不断增大，|Y|也不断增大所以，当0,90时，随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大当90180时,作出YTAN在90,180区间内的函数图象由图象观察可知当90,180,YTAN0，并且随着的增大，YTAN不断增大，|Y|不断减小所以,当90,180时，随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小设计者高建勇312两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明三维目标1掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力2通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力重点难点教学重点掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直教学难点是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）课时安排1课时教学过程导入新课思路1设问（1平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种2两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行反过来是否成立3“”是“TANTAN”的什么条件根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢思路2上节课我们学习的是什么知识想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢你认为能否用斜率来判断这节课我们就来专门来研究这个问题推进新课新知探究提出问题平面内不重合的两条直线的位置关系有几种两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行反过来是否成立“”是“TANTAN”的什么条件两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行反过来是否成立L1L2时，K1与K2满足什么关系L1L2时，K1与K2满足什么关系活动教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例数形结合容易得出结论注意到倾斜角是90的直线没有斜率,即TAN90不存在注意到倾斜角是90的直线没有斜率必要性如果L1L2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即12，TAN1TAN2,即K1K2图1充分性如果K1K2,即TAN1TAN2,01180，02180，12于是L1L2学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件讨论结果平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立“”是“TANTAN”的充要条件两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立L1L2K1K2L1L2K1K21应用示例例1已知A（2，3），B（4，0），P（3，），Q（1，2），判断直线BA与P的位置关系，并证明你的结论解直线BA的斜率KBA05,直线PQ的斜率KPQ05,312因为KBAKPQ所以直线BAPQ变式训练若A2,3,B3,2,C,M三点共线，则M的值为2ABC2D2211分析KABKBC,M32答案A例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，1），C4,2,D2,3,试判断四边形ABCD的形状，并给出证明解AB边所在直线的斜率KAB,21CD边所在直线的斜率KCD,BC边所在直线的斜率KBC,3DA边所在直线的斜率KDA2因为KABKCD,KBCKDA,所以ABCD,BCDA因此四边形ABCD是平行四边形变式训练直线L1AX3Y10，L2XA2YA0，它们的倾斜角及斜率依次分别为1，2，K1，K2（1）A_时，1150；（2）A_时，L2X轴；（3）A_时，L1L2；（4）A_时，L1、L2重合；（5）A_时，L1L2答案（1）（2）2（3）3（4）1（5）15知能训练习题31A组6、7拓展提升问题已知P（3，2），Q（3，4）及直线AXY30若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出A的取值范围（图2）图2解直线LAXY30是过定点A（0，3）的直线系，斜率为参变数A，易知PQ、AQ、AP、L的斜率分别为KPQ，KAQ，KAP，K1A31735若L与PQ延长线相交，由图,可知KPQK1KAQ，解得A；371若L与PQ相交，则K1KAQ或K1KAP，解得A或A；5若L与QP的延长线相交，则KPQK1KAP，解得A课堂小结通过本节学习，要求大家1掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行2掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直3注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力4认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题作业习题31A组4、5设计感想本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励备课资料备用习题1已知A6,0,B3,6,P0,3,Q2,6,试判断直线AB与PQ的位置关系解直线AB的斜率K1,直线PQ的斜率K2,因为K1K21,所以ABPQ3232求M值,使过点AM,1,B1,M的直线与过点P1,2,Q5,0的直线,1平行2垂直答案12223已知A5,1,B1,1,C2,3三点,试判断ABC的形状活动先让学生作图猜想,然后给出证明答案由斜率乘积为1易知为直角三角形4已知两直线L1Y2KX2,L2Y3KX2,它们与X轴围成一个三角形,若使P3,3在这三角形内,求K的范围图5解如图5,L1、L2分别是过定点A2,0,B2,0的动直线,易知KAP,KBP3,KAQ,KBQ534310要使P3,3在三角形内必有得K1,23KAPB10设计者高建勇、杨海燕32直线的方程321直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的从一次函数YKXBK0引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程三维目标1掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练2引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神3掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力重点难点教学重点引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程教学难点在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围课时安排1课时教学过程导入新课思路1方程YKXB与直线L之间存在着什么样的关系让学生边回答，教师边适当板书它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线L上任意一点PX1,Y1的坐标是方程YKXB的解2X1,Y1是方程YKXB的解点PX1,Y1在直线L上这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题直线的方程宣布课题思路2在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾一次函数YKXB的图象是一条直线，它是以满足YKXB的每一对X、Y的值为坐标的点构成的由于函数式YKXB也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系这节课我们就来学习直线的方程宣布课题推进新课新知探究提出问题如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件如何根据所给条件求出直线的方程已知直线L的斜率K且L经过点P1X1,Y1，如何求直线L的方程方程导出的条件是什么若直线的斜率K不存在，则直线方程怎样表示K与YY1KXX1表示同一直线吗1XY已知直线L的斜率K且L经过点（，），如何求直线L的方程讨论结果确定一条直线需要两个条件A确定一条直线只需知道K、B即可；B确定一条直线只需知道直线L上两个不同的已知点设PX，Y为L上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得K,化简,得YY1KXX11XY方程导出的条件是直线L的斜率K存在AX0；BXX1启发学生回答方程K表示的直线L缺少一个点P1X1,Y1,而方程YY1KXX1表示的直线L才1XY是整条直线YKXB应用示例思路1例1一条直线经过点P12,3,倾斜角45,求这条直线方程,并画出图形图1解这条直线经过点P12,3,斜率是KTAN451代入点斜式方程,得Y3X2,即XY50,这就是所求的直线方程,图形如图1所示点评此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力变式训练求直线YX2绕点2,0按顺时针方向旋转30所得的直线方程3解设直线YX2的倾斜角为，则TAN，3又0,180，120所求的直线的倾斜角为1203090直线方程为X2例2如果设两条直线L1和L2的方程分别是L1YK1XB1,L2YK2XB2，试讨论（1）当L1L2时，两条直线在Y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的为什么（2）L1L2的条件是什么活动学生思考如果12，则TAN1TAN2一定成立吗何时不成立由此可知如果L1L2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在反之，问如果B1B2且K1K2，则L1与L2的位置关系是怎样的由学生回答，重点说明12得出TAN1TAN2的依据解（1）当直线L1与L2有斜截式方程L1YK1XB1,L2YK2XB2时，直线L1L2K1K2且B1B22L1L2K1K21变式训练判断下列直线的位置关系1L1YX3,L2YX22L1YX,L2YX35答案1平行；2垂直思路2例1已知直线L1Y4X和点P6，4，过点P引一直线L与L1交于点Q，与X轴正半轴交于点R，当OQR的面积最小时，求直线L的方程活动因为直线L过定点P6，4，所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线L的方程解因为过点P6，4的直线方程为X6和Y4KX6,当L的方程为X6时，OQR的面积为S72；当L的方程为Y4KX6时，有R,0，Q（,，K46K46162此时OQR的面积为S21138变形为S72K2964SK320S72因为上述方程根的判别式0，所以得S40当且仅当K1时，S有最小值40因此，直线L的方程为Y4X6，即XY100点评本例是一道有关函数最值的综合题如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导变式训练如图2，要在土地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大并求出最大面积（精确到1M2）（单位M）图2解建立如图直角坐标系，在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地AB方程为1,则设PX,200X30,203X32X则S矩形100X8020X5260000X30,5当X5时，Y，即P（5，）时，S矩形MAX6017M23030例2设ABC的顶点A1，3，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为X2Y10，Y1，求ABC中AB、AC各边所在直线的方程活动为了搞清ABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题解如图3,设AC的中点为F，AC边上的中线BFY1图3AB边的中点为E，AB边上中线CEX2Y10设C点坐标为M，N,则F23,1NM又F在AC中线上,则1,N1又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则M2N10M3C点为3，1设B点为A,1,则AB中点E,即E,2213,AA又E在AB中线上,则410A51B点为5，1由两点式,得到AB，AC所在直线的方程ACXY20,ABX2Y70点评此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点1中点分式要灵活应用；2如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来变式训练已知点M（1，0），N（1，0）,点P为直线2XY10上的动点，则|PM|2|PN|2的最小值为何解P点在直线2XY10上,设P（X0,2X01）|PM|2|PN|210X025最小值为知能训练课本本节练习1、拓展提升已知直线YKXK2与以A0，3、B3，0为端点的线段相交，求实数K的取值范围图4活动此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线YKXK2，我们发现它可以变为Y2KX1，这就可以看出，这是过1，2点的一组直线设这个定点为P1，2解我们设PA的倾斜角为1，PC的倾斜角为，PB的倾斜角为2，且12则K1TAN1KK2TAN2又K15，K2，33则实数K的取值范围是5K课堂小结通过本节学习，要求大家1掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例2引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程作业习题32A组2、3、5设计感想直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的从初中代数中的一次函数YKXBK0引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手备课资料解析几何的应用解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质运用坐标法解决问题的步骤是首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案设计者王清娥、杨海燕322直线的两点式方程整体设计教学分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率K不存在或斜率K0时对两点式的讨论及变形直线方程的两点式可由点斜式导出若已知两点恰好在坐标轴上非原点，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程由于由截距式方程可直接确定直线与X轴和Y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式三维目标1让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础2了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神重点难点教学重点直线方程两点式和截距式教学难点关于两点式的推导以及斜率K不存在或斜率K0时对两点式方程的讨论及变形课时安排1课时教学过程导入新课思路1上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么点斜式方程是怎样推导的利用点斜式解答如下问题（1）已知直线L经过两点P11,2,P23,5,求直线L的方程（2）已知两点P1X1,Y1,P2X2,Y2其中X1X2,Y1Y2，求通过这两点的直线方程思路2要学生求直线的方程，题目如下A8，1，B2，4；A6，4，B1，2；AX1，Y1，BX2，Y2X1X2分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求K及求解过程这个答案对我们有何启示求解过程可不可以简化我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢推进新课新知探究提出问题已知两点P1X1,Y1,P2X2,Y2其中X1X2,Y1Y2，求通过这两点的直线方程若点P1X1,Y1,P2X2,Y2中有X1X2或Y1Y2，此时这两点的直线方程是什么两点式公式运用时应注意什么已知直线L与X轴的交点为AA,0，与Y轴的交点为B0,B，其中A0,B0，求直线L的方程A、B表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离截距式不能表示平面坐标系下哪些直线活动教师引导学生根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件能不能把问题转化为已经解决的问题呢在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程师生共同归纳已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤A利用直线的斜率公式求出斜率KB利用点斜式写出直线的方程X1X2,K,1XY直线的方程为YY1XX12L的方程为YY1XX12XY当Y1Y2时,方程可以写成1212XY由于这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式注意式是由式导出的，它们表示的直线范围不同式中只需X1X2，它不能表示倾斜角为90的直线的方程；式中X1X2且Y1Y2，它不能表示倾斜角为0或90的直线的方程，但式相对于式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆如果把两点式变成YY1X2X1XX1Y2Y1，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当X1X2时，直线与X轴垂直，所以直线方程为XX1；当Y1Y2时，直线与Y轴垂直，直线方程为YY1引导学生注意分式的分母需满足的条件使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点可以用多少方法来求直线L的方程哪种方法更为简捷然后求出直线方程因为直线L经过A，0和0，B两点，将这两点的坐标代入两点式，得AXBY0就是1BYAX注意这个方程形式对称、美观,其中A是直线与X轴交点的横坐标，称A为直线在X轴上的截距，简称横截距；B是直线与Y轴交点的纵坐标，称B为直线在Y轴上的截距，简称纵截距因为方程是由直线在X轴和Y轴上的截距确定的，所以方程式叫做直线方程的截距式注意到截距的定义，易知A、B表示的截距分别是直线与坐标轴X轴交点的横坐标，与Y轴交点的纵坐标，而不是距离考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在X轴上或Y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式讨论结果若X1X2且Y1Y2,则直线L方程为1212Y当X1X2时，直线与X轴垂直，直线方程为XX1；当Y1Y2时，直线与Y轴垂直，直线方程为YY1倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示因为X1X2,Y1Y21BYAA、B表示的截距分别是直线与坐标轴X轴交点的横坐标，与Y轴交点的纵坐标，而不是距离截距式不能表示平面坐标系下在X轴上或Y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式应用示例思路1例1求出下列直线的截距式方程（1横截距是3，纵截距是5；（2横截距是10，纵截距是7；（3横截距是4，纵截距是8答案（1）5X3Y150；（27X10Y700；（3）3X4Y120变式训练已知RTABC的两直角边AC3，BC4，直角顶点C在原点，直角边AC在X轴负方向上，BC在Y轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程答案4X3Y120例2如图1,已知三角形的顶点是A5，0、B3，3、C0，2，求这个三角形三边所在直线的方程图1活动根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式解AB所在直线的方程，由两点式,得,即3X8Y150530XYBC所在直线的方程，由斜截式,得YX2,即5X3Y6035AC所在直线的方程，由截距式,得1,即2X5Y1002YX变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程图2活动由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程而正方形的对称轴PQ，MN，X轴，Y轴则不能用截距式，其中PQ，MN应选用斜截式；X轴，Y轴的方程可以直接写出解因为|AB|4，所以|OA|OB|24因此A、B、C、D的坐标分别为2,0、0,2、2,0、0,22所以AB所在直线的方程是1,即XY202YX2BC所在直线的方程是1,即XY202CD所在直线的方程是1,即XY207X2DA所在直线的方程是1,即XY202对称轴方程分别为XY0,X0,Y0思路2例1已知ABC的顶点坐标为A（1，5）、B（2，1）、C（4，3），M是BC边上的中点（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程解（1）由两点式写方程,得，即6XY1101XY（2）设M的坐标为（X0,Y0），则由中点坐标公式,得X01,Y01,22故M（1，1）,AM222513因为直线AB的斜率为KAB6，设AB边上的高所在直线的斜率为K,3则有KKABK61,K6所以AB边高所在直线方程为Y3X4,即X6Y1401变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程解设直线方程为1,则由题意知,有AB3,AB4BYAX解得A4,B1或A1,B4则直线方程是1或1,即X4Y40或4XY40144例2经过点A1,2并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条请求出这些直线的方程解当截距为0时，设YKX，又过点A1,2，则得K2，即Y2X当截距不为0时，设1或1,过点A1,2，AYXAY则得A3，或A1，即XY30或XY10这样的直线有3条2XY0，XY30或XY10变式训练过点A5,4作一直线L，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5答案2X5Y100,8X5Y200知能训练课本本节练习1、2、3拓展提升问题把函数YFX在XA及XB之间的一段图象近似地看作直线，设ACB，证明FC的近似值是FAFBFAABC证明A、B、C三点共线，KACKAB,即ABFCFFCFAFBFA,即FCFAFBFAABCFC的近似值是FAFBFAC课堂小结通过本节学习，要求大家掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神作业课本习题32A组9、10设计感想计算机技术的发展日新月异，将计算机引进课堂是大势所趋，有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学，以提高教学效果，激发学生兴趣，达到事半功倍的效果介绍如下在直角坐标系中，给出两个已知点AX1，Y1，BX2，Y2，但A点B点的坐标受变量控制，即是可变的，坐标系中显示A、B两点决定的直线，且显示相对应的两点式表示的直线方程，当A、B两点不断任意变化时，直线和直线方程也随之不断变化通过动感引发学生的兴趣，并伴随悦耳的音乐声，只有当X1X2或Y1Y2时，直线依然存在，而直线方程显示“不存在”并不断闪烁，伴以悦耳的提示音，且变幻的画面,需用鼠标点击才能继续运转对于两点式的其他变式也可以同样如法炮制通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣，达到意想不到的效果备课资料备用习题1已知直线L过点P5,10,且原点到它的距离为5,则直线L的方程为_2直线X2YB0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于，那么B的取值范围是_3经过点P0,1作直线L,若直线L与连接A1,2,B2,1的线段没有公共点,则直线L的斜率K的取值范围为_4直线L1MXM1Y50与L2M2XMY10互相垂直，则M的值是_5已知直线L与直线3X4Y70平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线L的方程答案1X5或3X4Y25022,00,23,11,4M0或M53X4Y2402设计者狄秋香、侯继美323直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于X和Y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想三维目标1掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于X和Y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神2会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想3通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练重点难点教学重点直线方程的一般式及各种形式的互化教学难点在直角坐标系中直线方程与关于X和Y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化课时安排1课时教学过程导入新课思路1前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢这节课我们就来研究这个问题思路2由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形1斜率是1，经过点A（1，8）；2在X轴和Y轴上的截距分别是7，7；3经过两点P1（1，6）、P2（2，9）；4Y轴上的截距是7，倾斜角是45由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为Y8X1、1、YX7，7YX29X教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合原来它们的方程化简后均可统一写成XY70这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课直线方程的一般式推进新课新知探究提出问题坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于X,Y的二元一次方程关于X,Y的一次方程的一般形式AXBYC0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化特殊形式如何化一般式一般式如何化特殊形式特殊形式之间如何互化我们学习了直线方程的一般式AXBYC0，系数A、B、C有什么几何意义什么场合下需要化成其他形式各种形式有何局限性讨论结果分析在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角1当90时，它们都有斜率，且均与Y轴相交，方程可用斜截式表示YKXB2当90时，它的方程可以写成XX1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于X、Y的二元一次方程，其中Y的系数是零结论1直线的方程都可以写成关于X、Y的一次方程分析A当B0时，方程可化为YX，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为，在Y轴BACBA上的截距为的直线B当B0时，由于A、B不同时为零必有A0，方程化为X，表示一条与Y轴BCC平行或重合的直线结论2关于X,Y的一次方程都表示一条直线综上得这样我们就建立了直线与关于X,Y的二元一次方程之间的对应关系我们把AXBYC0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式注意一般地，需将所求的直线方程化为一般式在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化待学生通过练习后师生小结特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）图1列表说明如下形式方程局限各常数的几何意义点斜式YY1KXX1除XX0外X1,Y1是直线上一个定点,K是斜率斜截式YKXB除XX0外K是斜率,B是Y轴上的截距两点式1212XY除XX0和YY0外X1,Y1、X2,Y2是直线上两个定点截距式1BA除XX0、YY0及YKX外A是X轴上的非零截距,B是Y轴上的非零截距一般式AXBYC0无当B0时,是斜率,BA是Y轴上的截距C应用示例例1已知直线经过点A6,4，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程34解经过点A6,4且斜率为的直线方程的点斜式方程为Y4X63434化成一般式，得4X3Y120变式训练1已知直线AXBYC0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交（3）系数满足什么条件时,只与X轴相交（4）系数满足什么条件时,是X轴（5）设PX0,Y0为直线AXBYC0上一点,证明这条直线的方程可以写成AXX0BYY00答案（1）C0；（2）A0且B0；（3）B0且C0；（4）AC0且B0（5）证明PX0,Y0在直线AXBYC0上,AX0BY0C0,CAX0BY0AXX0BYY0022007上海高考,理2若直线L12XMY10与L2Y3X1平行,则M_答案32例2把直线L的方程X2Y60化成斜截式，求出直线L的斜率和它在X轴与Y轴上的截距，并画出图形解由方程一般式X2Y60，移项，去系数得斜截式Y32由知L在Y轴上的截距是3，又在方程或中，令Y0，可得X6即直线在X轴上的截距是6因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点即在X轴，Y轴上的截距点，过这两点作出直线L（图2）图2点评要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”变式训练直线L过点P6,3，且它在X轴上的截距是它在Y轴上的截距的3倍，求直线L的方程答案X3Y30或X2Y0知能训练课本本节练习1、拓展提升求证不论M取何实数，直线2M1XM3YM110恒过一个定点，并求出此定点的坐标解将方程化为X3Y11M2XY10，它表示过两直线X3Y110与2XY10的交点的直线系解方程组,得0123YX3,2YX直线恒过2,3点课堂小结通过本节学习，要求大家（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于X和Y的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练作业习题32A组11设计感想本节课的教学流程是这样设计的激活旧知归纳猜想习得新知转化巩固重组网络变式训练迁移应用小结归纳根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于X,Y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜