毕业论文--浅谈极坐标及极坐标方程的应用

A1A0A2A3A4A5A7A8A6A101摘要极坐标法是一种重要的解题方法，虽然高中数学教材已经删去极坐标的内容，但这一思想和方法对解决平面几何问题和高等数学问题都有很重要的作用，有必要加以深入研究。本文首先对极坐标的基础知识进行阐述，给出了极坐标的相关概念，以及求曲线方程的方法与步骤，并求出了三种圆锥曲线统一的极坐标方程，然后讨论了极坐标在平面解析几何中的应用，最后探讨了极坐标在解决高等数学问题的应用。通过对极坐标在数学各方面的应用的探讨，我们能够发现极坐标有很大的优越性。通过探讨研究，使我们对极坐标这一思想和方法有更深的了解，并使学生对高中平面解析几何内容有完整的把握，有更深层次的掌握。同时，这种对知识的深入掌握可以使教育者更好的完成对其的教学任G2165。关键词G726极坐标G727应用G727优越性A9A11A12A13A14A15A16A17A18A192ABSTRACTTHEMETHODOFUSINGTHEPOLARCOORDINATESISANUSUALLYUSEDMETHODALTHOUGHTHECONTENTOFTHEMETHODHASBEENDELETEDINTHEPROCESSOFEDITINGTHEMATHEMATICALTEXTBOOKFORMIDDLESCHOOLSTUDENTS,THISMETHODISVERYIMPORTANTTOSOLVETHEPROBLEMOFPLANEGEOMETRYANDADVANCEDMATHEMATICSITISNECESSARYTOSTUDYTHISMETHODFURTHERFIRSTTHISPAPERILLUSTRATESTHEBASICKNOWLEDGEOFPOLARCOORDINATESTHEWRITERGIVESTHERELATIVECONCEPTSOFPOLARCOORDINATESANDTHEMETHODANDSTEPSOFSOLVINGCURVEEQUATION,ANDWORKOUTTHEPOLARCOORDINATESEQUATIONOFTHREETAPERCURVESSECONDITDISCUSSESTHEAPPLICATIONOFTHEMETHODINPLANEANALYTICGEOMETRYANDTHENITPROBESINTOTHEAPPLICATIONOFTHEMETHODINSOLVINGTHEADVANCEDMATHEMATICALPROBLEMBYEXPLORINGTHEAPPLICATIONOFPOLARCOORDINATESINMANYMATHEMATICALASPECTS,WEMAYNOTICETHEADVANTAGESOFPOLARCOORDINATESANDITSCERTAINAPPLICABLERANGEBYSTUDYING,ITMAKESUSUNDERSTANDTHECONCEPTSANDTHETHINKINGFURTHERITALSOMAKESTHESTUDENTSGRASPTHECONTENTOFPLANEANALYTICGEOMETRYWHOLLYANDDEEPERINMIDDLESCHOOLALSO,THEDEEPUNDERSTANDINGOFTHEKNOWLEDGEMAKESTHETEACHERFINISHTHEEDUCATIONALTASKSBETTERKEYWORDSPOLARCOORDINATESAPPLICATIONADVANTAGESA9A11A12A13A14A15A16A17A18A193前言G12544一G1022用极坐标G7481G11842G4462平面G990G9869的G1313G13634的是G10287G20051。G1194的G457G8981数法与G7092G12363G13435数G458，大G13434G11221671G5192G1901成，出G10268G11221736G5192。G8504G1082G2265G6336解析几何的G16780G3822应用，G1375G3926G6365方程G6563出曲线，G1082中G2031G16277G1055一，是G5353进G7044的坐标G13007。G10802G3775数学G4490JG17G17137G2174G2159G2045G11221691G5192在G457教G5084学G6265G458G990发G15932了一G12699基本G990是关G1122极坐标的文G12468，G6164以通G5132G16760G1038JG17G17137G2174G2045是极坐标的发现者。JG17G17137G2174G2045的学生JG17G17215G4584G7376在1729G5192G993G1177G8503G5347G4471G5079了极坐标的G7234G17953可用，G13792G1000G14270G11013G3332应用极坐标去研究曲线。在平面内G5326G12447G11464G16294坐标G13007，是G1166们G1856G16760的最容G7143G6521G2475并G1000G15999经G5132G18331用的方法，但G4439并G993是G11842G4462G9869的G1313G13634的G2819一方法。有G1135G3809G7446的曲线用G11464G16294坐标G15932G12046，G5430G5347极其G3809G7446，但用极坐标G15932G12046，G4613G2476G5483G2325G2010G12628G2345G1000G1427G1122G3800G10714，在G8504基础G990解决平面解析几何问题G1075G2476的极其G12628G2345。通过探究极坐标在平面解析几何中的G5203G8879应用，使我们能够G9177G7982的G16760识G2052，用极坐标G7481解决G7588G1135平面解析几何问题和G7588G1135高等数学问题G8616用G11464G16294坐标G1867有很大的优越性，G6937本文对其进行了G2033步探讨。G3281内G3818研究G2172G5589，G993G1177在数学G10714论方面，很G3822学者对极坐标以及极坐标方程G1582了深入探究，G13792G1000在G3926G10301G10714G451G11017G4388G451G1903G1119等G20058G3507，很G3822学者对极坐标G1075有较深的研究。G11013G8504看G7481，极坐标已应用G2052各G1022G20058G3507。A20A21A22A23A24A25A26A27A28A294第一章预备知识11极坐标系的建立在平面内取一G1022G4462G9869O，叫作极G9869，G5353一条射线OX，叫G1582极轴，再选G4462一G1022长度G2345G1313和G16294度的G8503方向通G5132取逆时针方向。对G1122平面内任意一G9869M，用G15932G12046线段OM的长度，G15932G12046从OXG2052OM的G16294度，叫G9869M的极径，叫G9869M的极G16294，有序数对，G4613叫G9869M的极坐标。这样G5326G12447的坐标G13007叫极坐标G13007，记作M，若G9869M在极G9869，则其极坐标G10380，可以取任意值。XOPMXPOMA3011A3112G3926图12，G8504时G9869M的极坐标可以有两种G15932G12046方法G72610，MPI，20，M，同G10714，PI，与，G1075是同一G1022G9869的坐标。又G11013G1122一G1022G16294加2NPINZ后都是和原G16294终边相同的G16294，G6164以一G1022G9869的极坐标G993G2819一。但若限G44620，02PIPIPI时，方程只G15932G12046双曲线右支，G4462G9869F是G4439的右焦G9869，G4462G11464线L是G4439的右准线。若允G1678003A113A114A115A116A117A118A119A120A121A12212G6937当OC过G7083G709的圆心2,2时，OC的最大值G1038122，G8504时G9869C的坐标G1038221122，G1723极坐标法证明几何定理在平面几何证明中，极坐标法是一种重要的方法，应用G2325G2010G5203G8879，下面以部G2010平面几何中G14891G2529G4462G10714G1038G1375，G16860G16860极坐标法在证明中的应用。231应用圆心是,0A，半径是A的圆的方程2COSA来证明G13756求证G726圆内G6521G3247边G5430两G13464对边G1068G12227的和等G1122两条对G16294线的G1068G12227G708G6188G2027G17867G4462G10714G709。证明G726G3926图26，以DG1038极G9869，DO的延长线G1038极轴G5326G12447极坐标G13007。设圆的半径G1038A，则OG7262COSAG17Q11,AG45122,BG45133,C三G9869都在OG990，Q1122332COS,2COS,2COSADABDACDAG2490G11013G8503G5370G4462G10714G54831223132SIN2SIN2SINABABCAACA，21232314SINCOSSINCOSABCDBCDAA21231232312312SINSINSINSINA21231232SINSINA21324SINCOSAACBD213XODCBAA12326A124A125A126A127A128A129A130A131A132A13313232应用极点在圆上，圆心为0,A的方程02COSA证明G13757G14270圆G990一G9869G5353三G5370，并以G4439们各G14270G1038G11464径G11023圆。求证G726G6164G11023三圆的其G4439三交G9869G1861线G708G8813G4584G4403SALMONG4462G10714G709。C3C2C1CXA1A2A3OP1P3P2A13427证明G726G3926图27,123OAOAOAOA、G2010别是123CCCC、的G11464径，123PPP、G2010别是122331CCCCCC与、与、与的交G9869，以OG1038极G9869，OA的延长线G1038极轴G5326G12447极坐标G13007，G1038G12628G1427G16757，设1OA，极轴与123OAOAOA、的交G16294G2010别G1038123、，则1122COSCOSCOSOAOAOAA135A135、G6164以111COSCOSCG7081G709222COSCOSCG7082G709333COSCOSCG7083G709设111,P，则G11013G7081G709G451G7082G709G54831122COSCOSCOSCOS1111222211COSCOSCOSCOS22积化和Q12COS2COS2Q22222KPI12KKPI整数取0K，G548312，G1207入G7081G709中，G548312COSCOSA136A137A138A139A140A141A142A143A144A145141PG9869坐标G10381212COSCOS,同G10714应用G17730G6454G54832PG9869坐标G10382323COSCOS,，3PG9869坐标G10383131COSCOS,G7186然123PPP、三G9869坐标满足法线G5347方程123123COSCOSCOSCOSG6937123PPP、三G9869G1861线，G2641题G14731证。233应用圆的极坐标方程、两点或直线方程和法线式方程证明G13758求证G726三G16294G5430G3818G6521圆G990任一G9869在三边G990的射G5445G1861线G708G16211G6717G7506SINSONG4462G10714G709。B3A2B2A3OB1PXA1A14628证明G726G3926图28，以PG1038极G9869，PO的延长线G1038极轴G5326G12447坐标G13007。设123AAA的G3818G6521圆G11464径G1038D，则O的方程G1038COSD，设顶G9869G1038COS12302IIIIADIPI，12AA的两G9869G5347方程G1038212112SINSINSINCOSCOSDD212112112SINCOSSINCOSSINCOSCOSD21121121SIN2SIN2SINCOSCOS2D21122112SINCOSSINCOSCOSDQ21SIN01212COSCOSCOSD这是12AA的法线式方程，故知垂足1B的坐标为1212COSCOS,D轮换三个顶点的坐标，得2232333131COSCOS,COSCOS,BDBD、，显然123BBB、三点的坐标满足法线式方程A147A148A149A150A151A152A153A154A155OSCOSCOSCOSD123BBB、三点共线，定理得证。A147A148A149A150A151A152A153A154A155A15616第三章极坐标在高等数学中的应用31用极坐标变换确定二重极限若二元函数0GXYFXYRXYRXY，在以原点0，0为中心，以0为半径的去心圆域内有定义，当XY，0，0时，所谓函数FXY，极限的未定式是指00LIM0XYGXYA157A157，且00LIM0XYRXYA158A158，时的二重极限00LIMXYFXYA158A158，判定未定式二重极限不存在，常用的方法有以函数所属的类型，选取路径，使00LIMXYFXYA158A158，不存在；或者选取两种不同路径，使00LIMXYFXYA158A158，都存在，但二者不相等。但对于判定未定式二重极限存在，并求其极限值，往往很困难，没有有效的方法。本文用极坐标变换就代换的几种类型进行了研究。在极坐标变换COSSINXRYR，讨论00XY，即相应于0R时，二元函数FXY，的极限。特地将函数COSSINFXYFRR，化成RR，形式，以确定函数FXY，的二重极限。311函数COSSINFXYFRR，RR，极限存在的情形1当RCC，为常数，即FXYCR，时，可直接用洛必达法则计算00LIMXYFXYA159A159，例1求222200LIMLNXYXYXYA160A160解令COSSINXRYR，222200LIMLNXYXYXYA160A16022222000LNLIMLNLIMLIM0RRRRRRRR例2求2222LIM11XYXYXYA161A162A161A162解令COSSINXRYR，22222220000LIMLIMLIM2121111XYRRXYRRXYRA163A1632若存在0M，对充分小的0R和任何，有0LIM0RRMR，且，A164A165A166A167A168A169A170A171A172A17317则00LIM0XYFXYA174A174，例3求222200LIMXYXYXYXYA175A175解令COSSINXRYR，222222222222COSSINSINCOSSINCOSCOS2COSSINRXYXYRRXYR此时20SINCOSCOS21,LIM0RR且，所以222200LIM0XYXYXYXYA176A176312函数COSSINFXYFRR，R极限不存在的情形1若RC，不是常值函数，与方向角有关时，则00LIMXYFXYA177A177，不存在。例4计算222200LIMXYXYXYA178A178解令COSSINXRYR，对任意2222222222COSSINCOS2COSSINRXYXYR所以222200LIMXYXYXYA178A178不存在。2若00LIM0LIMRRR，不存在时，则00LIMXYFXYA179A179，不存在。例5计算222200LIMXYXYXXYA180A180解令COSSIN0XRYRRPIPI，且G2029G11013G7366线CXA210G17736G2656二G11464线,XAXBG3272成G2318域G19766G12227为22SINCOSSIN1SIN2COS22ABAYXDXYXDFFFDFFFFDBACYXMNOA21132G5414G13447G7081G709G451G7082G709有若函数SINXF在，G17842G13505，且COSCOSAFBF，G2029G11013G7366线CXA212G17736G2656二G11464线XAXBA213G3272成G2318域G19766G12227为A214A215A216A217A218A219A220A221A222A22320221SIN2COS22AFFFFD同理G2499证得定理2G16786G5191G19766G7366线C的极坐标方程为RFF，且在，G17842G13505，G2029G11013G7366线CYA224G17736G2462二G11464线YCYD，所G3272成G2318域G19766G12227为221SIN2COS22AFFFFD32其中SIN,SINCFDFDCNMOXYA22533322旋转体体积极坐标公式定理3G16786G5191G19766G7366线C的极坐标方程为RFF且在，G17842G13505，G20291G11013G7366线,CXG17736G2462二G11464线,XAXBG3272成G5191G19766G2318域G13481XG17736G7071G17728G980G2620所得G7071G17728G1319的G1319G12227为2233SINCOSSINXVFFFDPI33CNMOXYA226342G11013G7366线CYA227G17736G2462二G11464线YCYD，G3272成G5191G19766G2318域G13481YG17736G7071G17728G980G2620所得G7071G17728G1319的G1319G12227为A228A229A230A231A232A233A234A235A236A237212223COSSINCOSYVFFFDPI34G1119G4466G990，将G2454数方程COSSINXFYF，代G18492BXAVYXDXPI2DYCVXYDYPI或即G2499得G2052G1856式G70833G709G2656G1856式G70834G709NMOXYCABA23835323旋转体侧面积极坐标公式定理4G16786G5191G19766G7366线C的极坐标方程为RFF且在，G17842G13505，G20291G11013G7366线,CXG17736G2462二G11464线,XAXBG3272成G5191G19766G2318域G13481XG17736G7071G17728G980G2620所得G7071G17728G1319的G1403G19766G12227为222SINAFFFDPIA239A240G70835G7092G11013G7366线,CYG17736G2462二G11464线YCYD，G3272成G5191G19766G2318域G13481YG17736G7071G17728G980G2620所得G7071G17728G1319的G1403G19766G12227为222COSAFFFDPIA241A242G70836G709G1119G4466G990，方程COS,SINXFYF代G18492BAAYXDSPIA243A244或2DCAXYDSPIA245A246即G2499得G2052G1856式G70835G709G2656G70836G709，其中22DSFFD例7求心形线1COS002RAAPI，G3272成G2318域的G19766G12227，G13481极G17736G7071G17728所得G7071G17728G1319的G1319G12227G2656G1403G19766G12227。解G7081G709G7693G6466G3282形的对G12228G5627G11013G1856式G70831G709有心形线G3272成G2318域的G19766G12227为A247A248A249A250A251A252A253A254A255A10222202222202220243202020012SIN2COS221COSSINSIN21COSCOS21COS21COS2SINCOSSIN22COS3COSCOS3COS132COS2COS424312COS242AFFFFDAAADADADADADDPIPIPIPIPIPIPI02201COS4433242DADAPIPIPIG7082G709心行线G13481极G17736G7071G17728所得G7071G17728G1319G1319G12227G11013G1856式G70833G709有22330232230233303333233033SINCOSSIN1COSSINSINCOS1COSSIN1COS2SINCOSSIN2SINCOS5SINCOS4SINCOSSIN102822333XVFFFDAAADADADAAPIPIPIPIPIPIPIPIPIPIG7083G709心行线G13481极G17736G7071G17728所得G7071G17728G7366G19766G19766G12227G11013G1856式G70835G709有2202220203220522202SIN21COSSIN1COSSIN21COSSIN21COS221COS1COS232221COS55XVFFFDAADADADAAPIPIPIPIPIPIPIPIPIPIPIA1XOA036A2A3A4A5A6A7A8A9A11A1223参考文献1G13666G39G36G7696G2183G7043G457数G4410G6957G994G4410研究G6175G1888G458，G990G9035G6957G13958G1998G10268G12050，1998G5192。2G1321G5547G5191G457G20652中G2031G7044数G4410G458，中G3281G1166G8677G3835G4410G1998G10268G12050，2000G5192。3于G5547G8958极坐标法证SALMON定理，G457数G4410G17902G6265G458，中G3281数G4410G1262G1039G2162，1992G5192。4于G5547G8958应用极坐标圆的方程证G7138几G1321定理，G457G3837G8953G6957G13958G4410G19510G4410G6265G458，1989G5192。5于G5547G8958极坐标法证G7138三点共线，G457中G4410数G4410G458，G3837G8953G5084G14551G3835G4410G1039G2162，1984G5192。6G12218G13044G4089确定二重极限不存在的方法G2462G4466例，G457G5049G12197数G4410G458，1993G5192。7G18061本G14162G457G20652等数G4410G17753G4560G458，G7438G7812G5049G1006G1