[硕士论文精品]公平的竞赛评卷优化模型

1公平的竞赛评卷公平的竞赛评卷公平的竞赛评卷公平的竞赛评卷优化模型优化模型优化模型优化模型摘要摘要摘要摘要数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。本文建立了一个公平的竞赛评卷模型，并结合实际提出了通用可行的数学公式方法和算法。针对纯数字型的加密对象，运用四则运算法则结合移位生成二次密文，随机生成密钥。大量数据模拟表明此算法简易，可随意变换且有很好的保密性。答卷分配过程中，把评委的个人特殊要求转化为分配的权重，建立评委要求的加权矩阵，使得评委在分配中具有一定的先后次序。用10矩阵记录试卷分配情况，避免一份试卷重复分配到同一评委。基于目前较具有代表性的最小方差原则的资源公平分配整数规划模型，在避免本校答卷前提下，使每个评委评阅的答卷量尽可能平均，同时达到一定的广泛度。根据以上原理，用C语言和MATLAB编程设计了分配试卷的优化算法，并对一般情况即N个评委评一类题目，M份试卷时，对模型作了推广。最后给出了评委阅卷广泛度的检验，数据表明评委和试卷的分配都很公平且广泛度均达到90以上。在对评委评分一致性进行评价以前，利用加权调和平均数来度量各试卷L个分数的理想中心位置即公平成绩，表征向公平分数有聚集趋向的L个评分。每位评委打分的公平性可以用该评委所打分数与该试卷的L个分数的加权调和平均值之差的统计规律来描述。运用MATLAB对数据模拟出每位评委的评分偏离度曲线图并对每个评委的公平性给出了直观的评价。并列举了评卷过程中，尺度偏差和“不公平”的例子。根据一份试卷的四个分数与其加权调和平均值的偏离程度，以及评委评分的线性无关性，运用归一化算法得出各分数的权重，得到了加权分数调整计算公式。并对评价公平性的模拟数据进行分数调整，经过分数调整，各试卷得分偏差均已限定在允许范围内，可见此模型能够很好的处理评分过程中出现的“不公平”和尺度偏差。另外，文中还给出了百分制与等级制的误差分析，对评委分配的公平性与经济性进行优化，采用穷举的方法搜索最优解，得出一份试卷由4位不同的评委评阅，可以达到既经济有公平的优化目标。针对实际本文还充分考虑了多种不公平情况对竞赛评卷公平性的影响，较完满的解决了公平评卷问题，并检验了模型的合理性，文章分析了模型的优缺点和改进方向，同时提出了一些更加公平实用的改进建议。关键词关键词关键词关键词最小方差原则；调和平均；加权分数调整；2一一一一、问题问题问题问题的提出的提出的提出的提出数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。为了建立公平的竞赛评卷系统，需要解决如下问题1有DCBA,四个题目，MPP所学校参赛，制定一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好；给出方法的分析。2每个题目组的M个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。3给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评价。4给出最终的分数调整计算公式。用该公式处理那些可能出现的“不公平”，及尺度偏差。5对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平，等等）提出看法和根据。对问题1，2给出具体的算法及结果。对问题3，4，5给出模拟数据再进行分析和运算。二二二二、模型假设模型假设模型假设模型假设1试卷信息加密化经过数字加密处理过的参赛试卷完全消去了影响试卷公平阅卷的任何外在因素（其中题号为明号）。2在按题目分成的评卷组中，加密后的卷子是随机分发给符合条件的评委的。随机化的方法可以使一份卷子在阅卷期限内的任何时间上都有同等的概率分发到每位评卷人员上阅卷人员在评阅同一份试卷是有差异的,随机化分发，使得这种差异对每位考生的影响是等概率的，因而是公平的。3评阅的独立化由于试卷多次分发，第一位评卷人员在任何时间上评阅一份试卷时，不受任何外在信息的干扰，保证其独立自由地认真评阅，若干评卷人员即使评阅同一份试卷，也无法交流各自的观点与传递信息，试卷上也无已评的任何标记，互不影响，独立自主。4评分的正态性所有参赛者的真实水平服从正态分布，所有阅卷评委都具有一定的专业性且都是独立自主地按照评分标准评阅试卷,那么所评成绩也应服从正态分布。评委的评分偏差服从以他的尺度偏差为期望的正态分布。5试卷质量的均匀性当试卷数量较多时，分配到每名评委的试卷的质量近似均匀，不存在一名评委一直评阅优秀试卷而另一名评委一直评阅差试卷的情况；即便发生这种情况，也视为评委评分尺度的偏差。3三三三三、问题的分析及模型的建立问题的分析及模型的建立问题的分析及模型的建立问题的分析及模型的建立（一）答卷编号加密和解密的数学公式方法现今，无论是高考作文的网上评阅，还是各类竞赛的试卷评阅，都要求尽量减少阅卷人员的主观性误差，使得所评成绩公正合理。评卷系统中非常重要的前提任务就是对参赛者信息的隐蔽，避免这些人为信息对评阅人员的判卷标准造成影响。在对当今多种信息加密解密技术了解的基础上，我们针对本题中需要加密的对象是纯数字型的信息的特点，给出了一种答卷编号加密和解密的数学公式方法古今中外的加密方法，不论其形态多么繁杂，变化多么巧妙，都是按照移位、代替和置换这3种基本原理编制出来的1。加密技术分为两类即对称加密和非对称加密。本题中，需要加密的对象是试卷编码，即纯数字型的信息，不包含任何字母和字符。如果我们将一位十进制数用4或8个BIT位，那么我们仅仅能得到10种4位或8位二进制排序。显然，现有的经典的算法，如对称加密算法DES、非对称PGP公钥加密以及RSA加密方法都不适用。恰恰是因为我们所要加密的数据是纯数字型的，我们可以很自然的想到运用四则运算对数据进行加密。为了达到对试卷编号加密的目的，我们需要找到这样一种一一对应的函数2F使得以下关系成立,KMFCM为需要加密的数据，即明文；K为密钥；C为密文。同样，解密过程中，我们需要找到与F对应的一个函数G，使得,KCGM基于四则运算和简单移位的思想，再结合当代典型加密算法和本题的特征，我们构造了以下的加密算法。在加密过程中，我们不使用除法运算。因为本题中要求加密方法随意改变，如果使用除法运算，就有可能出现不能除断的问题，这将导致密文不能解密。我们也不使用加减运算，简单的加减无法很好的隐藏需要加密的信息，因为通过简单的加减后，其密文还有会具有一定的数字特征，例如对106778，所有的10加密都得到78，这就有可能被别人猜出密文中所隐藏的一些信息。加密解密算法描述设明文121MMMMMNN密钥为121KKKKKMM4中间密文为1221BBBBBKMBNMNMNM将NMJJBY1，定义为移动的次数，并将Y除2的余数定义为移动方向标志，若余数为1，则向右移位；余数为0，则向左移位。移位以后的结果表示如下1221CCCCCCNMNMNM题中要求题号为明号，我们就将题号直接加在移位后的结果后面。解密过程只要将以上加密过程使用相同的密钥反过来计算移位时，将Y除2取余数，为1定义为左移，为0时定义为右移，就可以由密文得到明文。例如对数据M1234加密密钥为K5678，则中间密文为B07006652，由于Y0700665226，所以将数据左移26次，得密文C00665207。对密文C12478034解密密钥为5678，由C我们可以得Y1247803429，于是我们将C左移29位并除以密钥匙K5678，得明文M0601；可见，我们的加密解密算法是简单易算，可随意变换的。按照以上算法，使用MATLAB编程，对题中给出的试卷编号进行加密，得到加密后的结果表表表表11试卷编号加密结果试卷编号加密结果试卷编号加密结果试卷编号加密结果明文明文明文明文密文密文密文密文明文明文明文明文密文密文密文密文明文明文明文明文密文密文密文密文明文明文明文明文密文密文密文密文010157347800A010260057915B010300584834B010412005905A010590005961A010601868006B010775460060B010861322400A010961890200B011000062458B011100630258A011200635936B011314006416A011492006472B011552970006A011658648006B011732600664A011840067000A011967568200B012000681360B012100687038A012206927160B012306983940B012440720070B012597500070B012642800715A012760072110A012872678400B012900732462B013007381400A020101141278A020201146956B020334011526A020458312011B020563990011B020669668011B020734601175A020840118102A030101709078A030217147560B030320434017A030461120172B030517900173A030674680173B040102276878A040256022825B040388234022A040439120229A040595900229A040630526802B040760231094B040802316624A040902023223B041023279800A050128446780B050250356028A050360340285B050471202861A050539002867A050687306802A050787874602A050802884424A050902028901B051028957800B051101458029A051271360290C051381402912C051449202918D051500292417D060112478034B060281560341A060383403423B060442951203A060500343519B060680344086A060703446546B5060824034522A060902034579A061063580034A070180278039B070285956039B070363403991A070499731203B070504002990A070604008668A070746040143A070800240402B070957020402B071038004031A071105804037A080180780454A080275604553B080355943404B080404565112A080504570790B080604576468B080746045821B080824045878B080935020459A081091800459A081185804604B081260461053B081304616214A081404621892A081546275700B081648046332B081726046389A081846040464B081928204650B082096004655B090187805115B090260512155A090305127234A090451329120B090551385900B090668051442A090746051499A090856240515A090916130205A091098005166B100167805683B100268935605A100305695034B100412057007A100590057063A100612068057B100717746057B100842405723A100972910205B101073478005B110180625147B110206257156B110362628340A110412062685A110574190062B110668062798B110755460628A110829122406A110929690206B111006302580B120180681927A120206824956B120334068306B120436312068B120541990068B120647668068A120734606853A120885902406B120920686470B121006870380A130107387078A130273927560A130334073984A130411207404A130597900740B130646807415B030760742114A130840742682B130974325020B131074381800B131174438580B131236074495A131352140745A131408920746B131557007466B140107954878A140256079605A140366234079B140419120797B140575900797A140626807983B140794607988B140840799462B140900302080B141080080059A141111658080A141273360801D141302301408C141469208028C141500803437D150178085226A150228356085B150303408534B150471208539A150554539008B160190478090B160261560909B160310183409B160420910751A160509113190A160680911886B160791245460B170158278096A170239560966A170363409669A170420967531A170824096980B170937020970B171093800970A180122607810B180261023175B180310237434B180412102431B180502487901A180668102544A180701461026B180858241026B190187810793A190279955610B190308052341A200181136167C200211367356C200334113730D200412113787D200584390113D200600681139C200757461139D210181192947C210219351561D210334119408D210446512119C210521901195D210657868119D210754611963D210896922411D220112497278C220256125029C220308634125C220431212514D220599901251D220666812525C220761253134C220812537024C220925427021D221025483801C230178130650D230270756130C230364341307D230408211213D230579013087C240178136328C240238556136D240323413644C240491213649D240565559013D240681366126D240761366694C250106781420C6250235614206D250341421203C250421421771C250514223390D250614229068C260168478147C260215614774D260383414779D260421478551D260514791190D260681479686C260746148025C260808224148C270127815336D270234195615C270341534763D270453533121C270515358990D270653646681C280190407815C280290975615D280315915434D280412159211C280559267901C280668159324D290147187816C290261647755D290364832341C290464889121D290590164945D290602681650C290759461650C290851162416D300181703967C300270453561C300351034170C300456712170D300523901706D310117607478C310256176131C310334176188C310445121762D320181752781C320256181809D330178187430C330256187487D330344341875C340110878193C340265561931D350178198786C对加密解密算法的分析与评价我们利用随机生成的多个密钥分别对所给数据进行加密解密，对加密后的结果中09这10个数字在密文中出现的概率进行的了统计，为了达到较好的保密性，它们出现的几率应该近似相等。例如用密钥1234和6789对题中所给的试卷编号加密后的各数字出现的概率图如下012345678900102030405012345678900102030405数数数数数数数数数K6789K1234图图图图11编码加密结果中编码加密结果中编码加密结果中编码加密结果中09出现的概率分布出现的概率分布出现的概率分布出现的概率分布大量数据模拟显示各数字出现的几率基本相等，所以我们的算法达到了良好的保密性。针对数字型的加密对象，我们的算法简单易算且可以随意变换密钥。这个加密算法的密钥是随机产生的,是保密的,只能被有相应权限的人得到。同时，我们结合大量的数据统计表明，该算法具有一一对应的关系，破解该加密方法的几率取决于密钥的长度，没有密钥的情况下解开密文的概率为MP101其中，M为密钥的长度。可见破解密钥的概率之小，证明我们的加密方法具有良好的保密性。7（二）答卷最优分配的数学公式方法首先将所有参赛答卷按照不同题目划分成DCBA,四组并统计各组试卷数目。对于总共有的DCBAIMMI,份卷子中，考虑如何在按题目分成四组的总共DCBAINNI,个评委中进行公平合理的分配并满足一些特殊的需要。图图图图2答卷公平合理分配约束条件示意图答卷公平合理分配约束条件示意图答卷公平合理分配约束条件示意图答卷公平合理分配约束条件示意图（1）结合评委个人特殊要求，确定分配到各题目组的适当的评委及人数因为某些评委对评阅的题目有特殊的要求，按照每个评委要求建立矩阵MNIJSS3题没有要求对评委题要求评评委题必须评评委JIJIJISIJ我们为评委的不同程度的要求赋上合理的权重，使得在分配评委的过程中有一定的优先次序。不同题目试卷的数量不等，为达到工作量上的平等，就要分配与各题目组试卷数量成正比的评委人数。确定人数后，优先分配有特殊要求的评委，即赋给和较大的权重，然后对没有要求的评委赋予较小权重，随机分配，达到人数的优化。由于要避免评委评阅本校试卷，为了使每个题目组内每位评委评卷数目尽量平均，尽量不将没有要求的评委分配到他所在校试卷数量较多的题组中。满足了以上两个约束条件，既满足了评委的个人特殊要求，又使总体上每位评委评阅的卷子数尽量平均。答卷公答卷公答卷公答卷公平分配平分配平分配平分配评委评阅评委评阅评委评阅评委评阅题目的题目的题目的题目的分配分配分配分配评委评阅试评委评阅试评委评阅试评委评阅试卷数目分配卷数目分配卷数目分配卷数目分配各题目组试各题目组试各题目组试各题目组试卷数量卷数量卷数量卷数量评委特殊评委特殊评委特殊评委特殊要求要求要求要求评委人数评委人数评委人数评委人数避免本校避免本校避免本校避免本校试卷试卷试卷试卷评委评阅评委评阅评委评阅评委评阅的广泛性的广泛性的广泛性的广泛性将将将将试卷随机分试卷随机分试卷随机分试卷随机分配到不同评委配到不同评委配到不同评委配到不同评委8（2）各个题目组中，试卷与评委在约束条件下的随机分配假设每份试卷由4位不同的评委打分，那么每份试卷就要经过4次分配。为了保证一份试卷分配给4位不同的评委建立试卷分配情况10矩阵X4，IJX是其中的元素JIJIXIJ委分试卷没有被分配给评第份试卷被分配给评委第01其中，在随机分配试卷的过程中，若要达到一个题目组内评委工作量的公平，得到一个题目组内每位评委最理想的评阅试卷数目DCBAINMNMMIII,M参赛试卷总数。IM题目I参评试卷总数。（本题中,DCBAI）N评委总人数。IN评阅题目I卷子的评委人数。（本题中,DCBAI）但上式未必总是整数，而对IM进行取整IIOINMMINT后，所有卷子的总和DCBAIMI,0又并不总是等于M。合理的分配方案应该使总体偏差尽可能地小。在尝试使用包括四舍五入、最大分数在内的各种整分法及所谓Q值法之后，我们采用了目前较具有代表性的、被讨论和应用较多的基于最小方差原则的资源公平分配整数规划模型5使用最小方差原则是希望各组根据本组卷子数目，在满足评委个人要求的条件下分配到适当的评委人数，使每位评委评阅的卷子数目差异不要太大。因而对模型的约束条件做进一步的合理限制，构成模型中的目标函数Z2IINMNMZ根据上述模型的约束条件设计算法第一步将各组试卷进行随机排列，在避免评委评阅本校试卷的条件下，每位评委分配IIOINMMINT份试卷，若有余留试卷，随机分给评委；9第二步开始下一次分配，又将各组试卷进行随机排列，为使各评委的广泛度尽量达到最大，在避免评委评阅本校试卷，同时，避免上一次分配评委评过的试卷和尽量避免评过的相同学校的试卷的条件下，每位评委分配IIOINMMINT份试卷，若有余留试卷，随机分给上次分配未得到余留试卷的评委；第三步若分配尚未全部完成，转到第二步；第四步分配全部完成，得出结果。用C语言和MATLAB编程实现上述算法，并进行数据求解，得到评委和答卷合理的分配表表表表2评委和试卷的分配结果评委和试卷的分配结果评委和试卷的分配结果评委和试卷的分配结果第一次分配试卷第一次分配试卷第一次分配试卷第一次分配试卷题目题目题目题目评委评委评委评委试卷编号试卷编号试卷编号试卷编号10202，0203，0404，0508，0705，0606，0906，1103，1310，1402，1701，190330111，0401，0504，0608，0801，0817，1004，1206，1304，1504，1805，012740101，0207，0502，0511，0706，0809，0907，1104，1302，1405，1702，011760104，0208，0405，0703，0707，0810，0908，1107，1303，1410，1703120105，0301，0408，0602，0710，0813，0909，1108，1307，1411，1704，0121160108，0303，0410，0604，0711，0814，1002，1201，1312，1501，1710，0126200113，0305，0505，0609，0804，0902，1005，1207，1313，1604，1806，0130A300115，0403，0506，0610，0507，0903，1008，1210，1401，1605，1901，011820102，0119，0302，0409，0701，0807，0901，1203，1009，1311，1502，170950103，0120，0204，0601，0702，0808，0904，1202，1007，1314，1503，180170106，0122，0205，0501，0802，0811，0905，1110，1006，1315，1505，180290112，0128，0402，0603，0803，0818，1208，1102，1308，1407，1606，1808100107，0123，0206，0503，0704，0812，0910，1109，1209，1403，1601，1803170110，0125，0306，0510，0709，0816，1003，1105，1306，1406，1603，1807210114，0129，0406，0605，0805，0819，1205，1101，1309，1408，1607，1902260109，0124，0304，0509，0708，0815，1001，1106，1305，1404，1602，1804B280116，0202，0407，0607，0806，0820，1204，1010，1310，1409，170881414，2210，2504，2805，3301，2201，2101，2608，3002，2407，3501，2403131413，2208，2506，2901，3401，2006，2202，2702，3003，2706，2401，2704150513，2302，2503，2804，3201，2202，2104，2607，2908,2001,2601,2903,3102C240512，2304，2501，2801，3103，2206，2203，2606，2907,3303,2305,2207,3101111415，2108，2701，2402，3202，2103，2803，2502，3001，2209，2603142003，2204，2605，2806，3302，2004，2205，2604，2902，3402，2904221412，2107，2703，2404，3104，2102，2303，2505，2906，2406，3004，2005D290515，2106，2705，2405，3005，2007，2301，2602，2905，0514，2105，2802第二次分配试卷第二次分配试卷第二次分配试卷第二次分配试卷A10207，0208，0408，0602，0707，0810，0908，1107，1303，14100130，0403，0506，0610，0507，0903，1008，1207，1401，1604，190140104，0118，0301，0504，0604，0710，0813，0909，1108，1307，1411，170460101，0121，0303，0410，0705，0711，0814，1002，1201，1312，1501，1710120108，0126，0305，0502，0608，0801，0817，1004，1310，1304，1504，1805160105，0127，0401，0505，0609，0804，0902，1005，1206，1313，1701，1806200111，0201，0404，0508，0703，0606，0906，1103，1210，1402，1605，1903300117，0203，0405，0511，0706，0809，0907，1104，1302，1405，1702，011520103，0120，0304，0501，0702，0808，0904，1202，1007，1314，1503，180150106，0122，0205，0603，0704，0811，0905，1110，1006，1315，1505，180270107，0123，0206，0503，0803，0812，0910，1109，1209，1403，1601，180390114，0129，0406，0605，0805，0819，1205，1101，1309，1408，1607，1902100109，0124，0302，0509，0708，0815，1208，1106，1305，1404，1602，1804170112，0128，0402，0601，0802，0818，1001，1102，1308，1407，1606，1902210116，0202，0407，0607，0806，0820，1204，1010，1310，1409，1708260110，0125，0306，0510，0709，0816，1003，1105，1306，1406，1603，1807B280102，0119，0204，0409，0701，0807，0901，1203，1009，1311，1502，170981413，2208，2506，2901，3401，2006，2202，2702，3003，2706，2401，2704130512，2304，2501，2801，3103，2206，2203，2606，2907,3303,2305,2207,3101151414，2210，2504，2805，3301，2201，2101，2608，3002，2407，3501，2403C240513，2302，2503，2804，3201，2202，2104，2607，2908,2001,2601,2903,3102112003，2204，2605，2806，3302，2004，2205，2604，2902，3402，2904140515，2106，2705，2405，3005，2007，2301，2602，2905，0514，2105，2802221415，2108，2701，2402，3202，2103，2803，2502，3001，2209，2603D291412，2107，2703，2404，3104，2102，2303，2505，2906，2406，3004，2005第三次分配试卷第三次分配试卷第三次分配试卷第三次分配试卷10301，0303，0502，0608，0711，0814，1002，1201，1312，1501，1710，190130115，0405，0511，0705，0809，0907，1104，1310，1405，1701，0208，012640105，0305，0505，0609，0801，0817，1004，1206，1304，1504，1805，012160108，0401，0504，0706，0804，0902，1005，1207，1313，1604，1806，0118120104，0403，0506，0610，0507，0903，1008，1302，1401，1605，0130160111，0404，0508，0703，0606，0906，1103，1210，1402，1702，1903，0203200117，0408，0602，0707，0810，0908，1107，1303，1410，1703，0127，0207A300101，0113，0410，0604，0710，0813，0909，1108，1307，1411，1704，020120106，0122，0306，0503，0704，0811，0905，1110，1006，1315，1505，180250107，0123，0206，0605，0708，0812，0910，1109，1209，1403，1601，180370109，0124，0302，0509，0805，0815，1001，1106，1305，1404，1602，180490116，0202，0407，0607，0806，0820，1003，1010，1310，1409，1708100110，0125，0304，0510，0709，0816，1205，1105，1306，1406，1603，1807170114，0129，0406，0603，0803，0819，1204，1101，1309，1408，1607，1902210102，0119，0204，0409，0701，0807，0901，1203，1009，1311，1502，1709260112，0128，0402，0601，0802，0818，1208，1102，1308，1407，1606，1808B280103，0120，0205，0501，0702，0808，0904，1202，1007，1314，1503，1801C80512，2304，2501，2801，3103，2206，2203，2606，2907,3303,2305,2207,310111130513，2302，2503，2804，3201，2202，2104，2607，2908,2001,2601,2903,3102151413，2208，2506，2901，3401，2006，2202，2702，3003，2706，2401，2704241414，2210，2504，2805，3301，2201，2101，2608，3002，2407，3501，2403110515，2106，2705，2405，3005，2007，2301，2602，2905，0514，2105，2802141412，2107，2703，2404，3104，2102，2303，2505，2906，2406，3004，2005222003，2204，2605，2806，3302，2004，2205，2604，2902，3402，2904D291415，2108，2701，2402，3202，2103，2803，2502，3001，2209，2603第四次分配试卷第四次分配试卷第四次分配试卷第四次分配试卷10305，0401，0511，0801，0817，1004，1206，1304，1504，1805，1307，050430101，0117，0408，0609，0606，0906，1103，1302，1410，1702，0201，050540108，0506，0508，0711，0814，1002，1201，1313，1604，1806，0127，012660111，0403，0710，0507，0903，1008，1210，1401，1605，1901，0207，0610120113，0404，0604，0804，0902，1005，1303，1402，1701，1903，0303，0705160115，0405，0602，0809，0907，1104，1207，1405，1703，0301，0706200104，0118，0410，0608，0813，0909，1108，1310，1411，1704，0208，0203A300105，0121，0502，0703，0810，0908，1107，1312，1501，1710，0130，070720107，0123，0402，0509，0708，0812，1003，1105，1309，1408，1607，190250109，0124，0302，0607，0709，0815，1208，1102，1310，1409，1708，130570110，0125，0304，0510，0806，0816，1205，1101，1311，1502，1709，130690102，0119，0204，0409，0701，0807，1001，1110，1007，1404，1602，1804100112，0128，0306，0601，0802，0818，1204，1308，1314，1503，1801170116，0202，0407，0605，0805，0820，1202，1009，1403，1601，1803，0901210103，0120，0205，0501，0702，0808，0904，1109，1006，1406，1603，1807260114，0129，0406，0603，0803，0819，1203，1010，1315，1505，1802，0910B280106，0122，0206，0503，0704，0811，0905，1106，1209，1407，1606，180880513，2302，2503，2804，3201，2202，2104，2607，2908,2001,2601,2903,3102131414，2210，2504，2805，3301，2201，2101，2608，3002，2407，3501，2403150512，2304，2501，2801，3103，2206，2203，2606，2907,3303,2305,2207,3101C241413，2208，2506，2901，3401，2006，2202，2702，3003，2706，2401，2704111412，2107，2703，2404，3104，2102，2303，2505，2906，2406，3004，2005141415，2108，2701，2402，3202，2103，2803，2502，3001，2209，2603220515，2106，2705，2405，3005，2007，2301，2602，2905，0514，2105，2802D292003，2204，2605，2806，3302，2004，2205，2604，2902，3402，2904上表数据显示每个评委都没有分配到自己学校的试卷，满足了本题中评委不能评阅自己学校答卷的要求。有特殊要求的评委都的到满足且每位评委评阅的试卷数目都很平均，无论在评卷主观公平性和工作量上都到达了最优。（3）评委阅卷广泛度的检验根据题目中的要求每个评委评阅的答卷尽可能广泛。我们建立了广泛度的检验模型有IN份某类试卷，分配给IM位评委，每一份试卷评阅L次，那么每位评委应评试12卷的平均数B可以表示为IINLBM根据上述分析建立的试卷分配情况10矩阵IJMINIXX，每一位老师评阅的试卷数IB可以表示为1NIJIJXB（1,2,IML）考虑到阅卷的公平性和老师的工作量均等性，应该追求的目标是0LIMIBB（1,2,IML）在此目标下，根据异或思想，即相异为1，相同为0，定义广泛度1211212100INNKIKIKKIBXXC来检验分配模型的优化程度，其目标是尽量达到各评委的广泛度均最大。对模拟的数据结果进行检验，得到了在保证公平合理的前提下最佳的总体广泛度，结果见下表表表表表33评委阅卷的广泛度评委阅卷的广泛度评委阅卷的广泛度评委阅卷的广泛度评委123456789广泛度910691328550824791329184833395718637评委101112131415161720广泛度839497929236966797929475957586988958评委21222426282930广泛度9054979297638524909797928941由上表可以看出，经过我们的算法得到的结果中，各位评委阅卷的广泛度都十分良好。（三）评委评分一致性（公正性）的检验方法所有参赛者的真实水平应该服从正态分布，所有阅卷评委都具有一定的专业性且都是独立自主地按照评分标准评阅试卷,那么所评成绩也应服从正态分布。因此，我们在正态分布的规律下随机生成了所有评委打出的所有试卷的分数，作为模拟数据。13每一份试卷，在满足题目约束条件下,分4次分配给随机的4位不同评委，得到了四个分数。不同评委评阅同一份试卷是有差异的,尽管在评卷之前进行了认真培训,讨论评分标准，模拟评阅，使阅卷评分更加趋同；但由于评委在知识背景，阅历，对评分标准的理解力与个人倾向偏好等因素的存在与影响，评卷人员的差异总是存在的。因此，我们不能直接求出4个分数的算术平均值作为一份试卷的最终成绩。分析得到，评委评分的一致性就是指几位评委打出的分数的接近程度，越接近就越一致，即越公平。一份试卷的公平成绩取决于评委打分的一致性，因此我们确定试卷的公平成绩时，尽量要是该成绩趋向于4个评委所打出的4个分数中较密集的分数段。利用加权调和平均数来度量4个分数的中心位置，表征向公平分数有聚集趋向的4个分数数据。所以，我们把一份试卷的4个分数的加权调和平均值作为这份试卷的公平成绩。适用于分组数据的加权调和平均数计算公式6为KIIIKIIKKKFXFFFFFXFXFXH1121221111111LL式中H加权调和平均数；IX第I组的数据值或组中值；IF第I组的数据值或组中值IX出现的次数；K分组的组数；每位评委打分的公平性可以用该评委所打分数与该试卷的四个分数的加权调和平均值的差值的统计规律来描述,即4,3,2,1IHXI本题中，虽然就单份的试卷来说，取调和平均数作为一分试卷的公平得分是不合理的，但是，对于大量的试卷来，可以消除这种不合理性。尽管每份试卷都有不同的公平分数即加权调和平均值，但是4,3,2,1IHXI本题中是相对不变的。同理我们可以得到一位评委评阅的所有试卷，相对于该试卷四个分数的加权调和平均值的偏离程度。通过这一组偏离值，我们可以进行统计分析，从而对每位评委打分的公平性做出评价。数据模拟由于参赛者的成绩和评分者的评分偏差都服从正态分布，在第（二）问分配结果的基础上，我们用计算机模拟，对题目D组中的4个评委对46份试卷的等级评分，共1410个等级，最高等级为10，最低等级为1，线性增长，再利用MATLAB函数工具箱中的求调和平均值的函数XHARMMEAN，编程对每份试卷的由随机的四个不同评委打出的分数，求加权调和平均值。然后将评委给出的所有分数减去相对应的加权调和平均值，即得到每位评委所有评分的一个偏离度，如下表表表表表4题目题目题目题目D组中每位评委的组中每位评委的组中每位评委的组中每位评委的评分评分评分评分偏离度偏离度偏离度偏离度试卷编号0515210627052405300520072301260229050514210528022904411409200511713076124101100507322167069081880720662790721351819407711056031002089024031701302409710301评委140981670541291521981571501113113017试卷编号1412210727032404310421022303250529062406300420052908214904409311801604712611310103205822136070611606924519603106802155119110160320001026133069052032035051041评委14027235006024166159113356164295099052试卷编号141521082701240232022103280325023001220926032904290621291360971120491260941571120820522218111031039