浅谈数学分析中反例的作用

单位代码005分类号O1延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）题目浅谈数学分析中反例的作用专业数学与应用数学姓名谢恒艳学号1143031047指导教师张璐职称讲师毕业时间二一五年六月I浅谈数学分析中反例的作用摘要数学分析中，反例常被用于证明之中有许多数学猜想或命题的叙述时全称命题，声称所有的一类事物都有某种性质，或者是只要满足某个条件，就会得出某种结果当证明这样的数学猜想遇到困难时，人们会趋向于寻找一个反例，以说明这个猜想是错误的证明在数学分析中有着重要的作用本文主要总结了反例在数学分析中起到的作用首先对反例进行了认识，主要是对反例和反证法在概念和运用上的一个区别；其次是总结反例加强对概念的认识，主要是从无界函数、函数在一点的连续、二元函数的偏导和可微这几个方面来说明；再其次是对定理的理解，主要介绍了罗尔中值定理和拉格朗日中值定理这两个定理；再是说明反例对概念之间关系的把握，主要是分别对可导与连续、无穷大与无界量等概念之间进行了区别联系；最后简单总结了反例能有培养逆向思维的能力关键词数学分析；反例；作用；归纳总结IITHEEFFECTOFCOUNTEREXAMPLEINMATHEMATICALANALYSISABSTRACTINMATHEMATICALANALYSIS,ACOUNTEREXAMPLEISOFTENUSEDINPROOFSTHEREAREMANYMATHEMATICALCONJECTUREORPROPOSITIONDESCRIBESUNIVERSALPROPOSITION,THATKINDOFTHINGALLHAVECERTAINPROPERTIES,ORASLONGASACONDITIONISMET,WILLCOMETOSOMESORTOFCONCLUSIONWHENTHATMATHEMATICALCONJECTURETHISDIFFICULTY,AMATHEMATICIANWOULDTENDTOLOOKFORAACOUNTEREXAMPLE,TOSHOWTHATTHISCONJECTUREISFALSETHATPLAYSANIMPORTANTROLEINMATHEMATICALANALYSISTHISPAPERMAINLYSUMMARIZESTHECOUNTEREXAMPLETOPLAYINMATHEMATICALANALYSISTHEFIRSTISTHEEXCEPTIONSTOTHERECOGNITION,MAINLYTOTHECOUNTEREXAMPLEANDREDUCTIONTOABSURDITYINCONCEPTANDUSETHEMTOPROVEADIFFERENCESTEPONTHISISFOLLOWEDBYASUMMARYOFTHECOUNTEREXAMPLETOENHANCEUNDERSTANDINGOFTHECONCEPT,MAINLYFROMTHEUNBOUNDEDFUNCTION,FUNCTIONANDERYUANFUNCTIONFORAPARTIALDERIVATIVEANDDIFFERENTIABILITYOFSEVERALASPECTSOFTHISEXAMPLETHENTOUNDERSTANDTHEOREM,MAINLYINTRODUCEDTHEROLLEMEANVALUETHEOREMANDLAGRANGEMEANVALUETHEOREMANDTHETWOTHEOREMTHENEXPLAINSTHECONCEPTOFTHERELATIONSHIPBETWEENTHEEXAMPLEGRASP,MAINLYONBETWEENTHECONCEPTOFDERIVATIVEANDTHECONTINUOUS,INFINITEWITHANUNBOUNDEDAMOUNTOFDIFFERENCESUMMARIZESTHECOUNTEREXAMPLECANHAVETHEABILITYOFREVERSETHINKINGKEYWORDSMATHEMATICALANALYSISTHECOUNTEREXAMPLEEFFECTFOREXAMPLEIII目录1绪论111引言112课题的背景及目的113国内外研究状况214课题研究方法215论文构成及研究内容22认识反例221反例的概念222区别举反例与反证法3221举反例及其运用反例的证明步骤3222反证法及其原理3223运用反证法的证明步骤33反例精确对概念的认识431无界函数432连续函数433二元函数偏导数与可微54反例加深对定理的理解641罗尔中值定理642拉格朗日中值定理75反例准确把握概念之间的关系851可导与连续852无穷大与无界量953函数极大（小）值与最大（小）值954可积函数106运用反例培养逆向思维能力107总结12参考文献14致谢15延安大学西安创新学院本科毕业（设计）11绪论11引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题冥思苦想而不得解时，从反面去想一想，常常会获得意外的成功用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地数学是在归纳、发现、推广中发展的反例在数学的发展中功不可没反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到启示举反例是一种重要的反证手段重要的反例往往会成为数学殿堂的基石学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的做出所需的反例至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变12课题的背景及目的数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位数学分析中存在大量的反例当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段比如，数学家奥姆斯特德1指出“数学由两大类证明和反例组成而数学发现也是朝着两个主要目标提出证明和构造反例从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段延安大学西安创新学院本科毕业（设计）2从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用13国内外研究状况数学分析是一门久远的学科纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结所以，想对数学分析中一些常见的问题进行归纳总结，总结问题当中运用到的反例，都起到了什么样的作用14课题研究方法数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些概念定理进行总结并概括出反例的作用针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法15论文构成及研究内容本文主要包括以下几个部分绪论、反例精确对概念的认识、反例加深对定理的理解、反例准确把握概念之间的关系、反例提高多方思维能力针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证并且在一些常见的问题上，会用反例来说明这些问题2认识反例21反例的概念在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命延安大学西安创新学院本科毕业（设计）3题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例22区别举反例与反证法举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同能够正确认识运用举反例与反证法，下面从几个方面来区别举反例与反证法221举反例及其运用反例的证明步骤反例通常是指用来说明某个例题不成立的例子举反例就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理数”判断这个命题不是真命题,只要举出“两个无理数之和是有理数”的例子就可以确定这个命题是假命题如22与；反例的存在表示着由某些事物A满足条件P，但没有性质Q这样可以避免使用全称推断造成的错误结果运用反例的证明步骤（1）构造反例符合条件，与命题矛盾构造出你所需要的反例（2）结论得出与命题不同的结论，从而判断原命题的真假222反证法及其原理反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证反证法的原理（1）若原命题QP为真（2）先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定QP（3）从这个否定的结论出发，推出矛盾，即命题PQ为假（即存在矛盾）（4）从而该命题的否定为真PQ为真（5）再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题QP为真223运用反证法的证明步骤（1）反设假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（2）归谬从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾（3）结论由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确延安大学西安创新学院本科毕业（设计）43反例精确对概念的认识数学分析中许多概念都很抽象，学生难以精确的认识概念，难以深刻理解概念的实质概念的正确应用，不是一件容易之事，大部分学生在学习过程中死记硬背，精确认识概念不仅要运用正面的例子加以深刻阐述，而且要运用反例从另一个侧面抓住概念的实质，深化对概念的认识和理解31无界函数设XF为定义在D上的函数，若对任何正数M，都存在DX0，使00MXF，则称XF为D上的无界函数2分析无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似然而，这两个概念有本质上的差别若0XX时，XF，则XF在0X的每个邻域内必定无界反之，函数XF在0X的任何邻域内都是无界的，但当0XX时,XF并不趋于无穷大设XXXF1COS，则对无论多大的正数M，总有充分接近于0X的点，使MXX1COS，例如，取NX1，则NXX1COS，故当MN时，就有MXX1COS因此，函数XF在0X的任何邻域内都是无界的然而，若取211NXN，则当X时,0NX，此时01COSNNXX，即XF并不趋于无穷大32连续函数设函数F在某0XU上有定义，若LIM00XFXFXX，延安大学西安创新学院本科毕业（设计）5则称F在点0X处连续分析以上定义，XF在0X点连续满足下列三个条件（1）在0X点有定义；（2）XF在0X点的极限存在；（3）极限值等于函数值这三个条件缺一不可，下面运用反例说明条件的必要性（1）若XF在0X点没定义，则XF在0X点不连续例3111XXF在1X处没定义，可知XF在1X处不连续（2）XF在0X点极限不存在，则XF在0X点不连续例32以函数0,2,0,2XXXXXF为例22LIMLIM22LIMLIM0000XXFXXFXXXX由以上极限可知，原函数在0X处不连续（3）XF的极限值不等于函数值，则XF在0X点不连续例33以函数0,00,12XXXXF为例00LIM0FXFX可知该函数在0X处不连续33二元函数偏导数与可微一元函数的可微与可导是等价的，但是，若二元函数YXF,在其定义域D的内点00,YX可微，则函数YXF,在该点的两个偏导数存在，但二元函数存在两个偏导数，却不一定可微例34函数30,00,222222YXYXYXXYYXF解YXF,在原点0,0的两个偏导数延安大学西安创新学院本科毕业（设计）6XFXFFXX0,00,LIM0,00000LIM0XX，同理00,0YF若函数F在原点可微，则DZZYFXFFYXFYX0,00,00,00,022YXYX，应是较22YX的高阶无穷小量，考察极限2200LIMLIMYXYXDZZ，此极限当动点YX,沿着直线MXY而趋于定点0,0时，由于此时21,MMMXXFYXF，因而有200,0,1,LIM,LIMMMMXXFYXFXMXYYX，这说明动点沿不同斜率M的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在，即函数YXF,在点0,0不可微4反例加深对定理的理解在数学分析中，在定理的证明中，原命题需要给出严格的证明，当逆命题不成立时，只需用反例去说明因此学生对某些数学定理的理解运用不能深入的时候，应用反例能使学生对所学定理达到深层次的理解，更加印象深刻，更能熟练应用定理41罗尔中值定理关于罗尔中值定理4若函数F满足如下条件IF在闭区间BA,上连续；IIF在开区间BA,上可导；IIIBFAF,则在BA,内至少存在一点，使得0F为了深刻理解此定理，可用反例来说明定理中三个条件与结论之间的关系延安大学西安创新学院本科毕业（设计）7图（1）图（2）图（3）XYYYXX例41（F不满足I的情形），,XXABFXAXB，函数如图（1）所示；例42（F不满足II的情形），1,1,XXXF，函数如图（2）所示；例43（F不满足III的情形），BAXXXF,，函数如图（3）所示由图可知，在不满足三个条件中任一个时，结论不一定成立另外，定理中三个条件不同时满足时，结论仍可能成立例441,11,1,12XXXXF解由已知，XF只满足条件（II），而结论成立因为10LIM1FXFX，所以XF在1X处不连续，从而不可导，而1,1,1,2XXXXF不存在，因此，0，1,1，使得0F综上，罗尔中值定理中三个条件是使0F成立的存在的充分条件，而非必要条件42拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理4若函数F在闭区间BA,上连续，在开区间BA,上可导，则在BA,上至少存在一点，使得ABAFBFF（1）延安大学西安创新学院本科毕业（设计）81若XF在开区间BA,上连续，但不一定有BA,，使得（1）成立例450,00,1XXXXF在0X间断，在开区间10内连续，但不存在1,0，使得10101FFF2若XF在开区间BA,内部可导，结论不一定成立例4601,10,XXXXXXF解01,1,0,10,1XXXXF不存在，故不存在1,1，使得0F5反例准确把握概念之间的关系数学分析中对于无穷大与无界、极大（小）值与最大（小）值以及可导与连续等容易混淆，不能准确把握概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握它们相互间的关系51可导与连续情况1若函数XFY在0X可导，则函数XFY在0X连续，但是逆命题不成立，函数在一点连续，函数在该点不一定可导例51函数XXF，在0X时，该函数连续，但在0X处不可导证00LIMLIM00FXXFXX，所以XF在0X连续；11LIM00LIM00或XXXFXFXX不相等，所以XF在0X不可导情况2函数XF在0XX处可导，则函数XF在0XX的领域为不一定连续例52函数为无理数，为有理数，XXXXF02，延安大学西安创新学院本科毕业（设计）9分析在0X处可导，但在0点的任何领域，除0点外都不连续例53XF在0XX处可导，则XF在0XX处是否有连续导数在0X处可导，但导数不连续证当0X时，01SINLIM1SINLIM00LIM00200XXXXXXFXFFXXX，即XF在0X处可导当0X时，XXXXF1COS1SIN2，可以看出XF在0点处不连续综上归纳总结，对一元函数XF在点0X可有有极限连续可导可微，通过恰当的运用反例可以准确地把握它们之间的关系52无穷大与无界量若XF为0XX时的无穷大量，则易见XF为0XUO上的无界函数但无界函数却不一定是无穷大量例54函数XXXFSIN在U上无界，因对任给的0G，取22NXN，这里正整数2GN，则有GNNNXFN2222SIN22，但XFXLIM，因若取数列，212NNXN，则NXN，而0LIMNNXF，即XF并不趋于，函数XF不是无穷大量53函数极大（小）值与最大（小）值情况1函数XF有极值但不一定就有最值例55函数59323XXXXF解3139632XXXXXF令0XF，得稳定点3,121XX列表讨论延安大学西安创新学院本科毕业（设计）10X1,13,13,3XF00XF极大值极小值极大值101F，极小值223F由函数可知，该函数在定义域内无最值情况2开区间内的连续函数不一定有最值例56函数2XXF在区间2,1的最值解由题知，函数的值域4,1XF，但是函数取不到1和4，所以该函数在开区间内没有最值综上所述，函数XF在闭区间BA,上连续，则函数XF在闭区间BA,内一定有最值，若函数XF的最大（小）值在点0X在开区间BA,上，则0X必定是XF的极大（小）值点54可积函数任何可积函数一定是有界的；但有界函数却不一定可积例57证明狄利克雷函数5为无理数，为有理数，XXXD01在1,0上有界但不可积分析显然1,0,1XXD对于1,0的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间I上，当取I全为有理数时，111NIIINIIXXD；当取I全为无理数时，01INIIXD所以不论T多么小，只要点集I取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，即XD在1,0上不可积由此例可见，有界是可积的必要条件6运用反例培养逆向思维能力逆向思维7是指在思考数学问题时，可以采用与通常思维方向相反的思维方式，延安大学西安创新学院本科毕业（设计）11数学知识本身就充满着正反两方面的转化，尤其是反方面的转化反映的数学知识深刻抽象，不易被学生掌握，相反，反方面的转化一旦被掌握，对正确灵活应用概念和定理有很大的作用，因此培养学生的逆向思维特别重要一般说，在数学学习中，学生习惯于正向思维而忽视逆向思维，习惯于公式定理的正向应用而不善于逆向应用，于是应加强逆向思维的训练，在逆向思维的培养进程中，利用反例是一个有效的方法问题1级数的项之间是否满足交换律回答是否定的，可举出如下反例例61收敛级数NNN1111解设其和为S，则NSN115141312111，将其次序作如下交换，按级数中原有的正项与负项的顺序一项正两项负交替写出，即1211015181613141211，假设它收敛，则S216151413121121121101816141211211015181613141211，显然交换后的级数即使收敛，它的和与原级数的和也未必相等例62如果级数1NNA收敛，那么其部分和数列有界且0LIMNNA分析这个命题显然是成立的，而它的逆命题却不成立一个发散数列0NNA，其部分和数列有界且0LIMNNA设NA为1，21,21,31,31,31,41,41,41,41则0LIMNNA,且对每一个N，都有10NS，其中NNAAAS21，延安大学西安创新学院本科毕业（设计）12然而，由于NS中有无穷多个NS取值为0，又有无穷多个NS取值为1，因而NNSLIM并不存在，即级数1NNA发散4例63若级数1NNA收敛，则12NNA也收敛解设1111NNNNNA，由已知，数列NA单调递减，且0LIMNNA由莱布尼茨判别法可知，此交错级数收敛，而1121NNNNA发散问题2证明若AANNLIM，则NNNAALIM当且仅当A为何值时反之也成立6证由AANNLIM知，对,0,0N当NN时，AAN而AAAANN，故AAN，因此NNNAALIM当且仅当0A时，由0LIMNNA知，对,0,0N当NN时,00NNNAAA，故0LIMNNA因此，当且仅当0A时反之也成立若0A，反之不成立显然数列N1为发散数列，这与已知N1为收敛数列矛盾，故此时反之不成立问题3若函数XF在A处连续，则函数XF在A也连续，反之是否成立8例63以函数0,10,1XXXF为例即1XF在0X处连续，而XF在0X处不连续7总结在数学分析中，适当地运用反例，有利于提高课堂教学质量，通过实例，阐述了运用和构造反例有利于帮助学生正确地理解和掌握数学概念及定理内容，有利于培养学生的发散思维能力和创新能力，提高教学效果，能够打破习惯的思维定势，能够促进思考扩大知识面9本文简要地总结了反例在数学分析中的作用，并与典型的问题结合起来在数学分析的学习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和定理掌握的不准确、延安大学西安创新学院本科毕业（设计）13不彻底，在没有准确掌握基本概念和定理的情况下，盲目地去计算和证明，往往会花更多的时间解决问题且最后还会出现错误因此，我们学习数学分析，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、