关于凸函数的研究毕业设计

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第1页共16页关于凸函数的研究作者余林清指导老师马宗立摘要本文从凸函数的多种定义入手,介绍了凹凸函数的性质及判定定理在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的定义，判定方法及其应用然后将二元函数进行再次推广，至元的情形，给出N元凹凸函数的定义及判定方法本文主要讨论了一元、二元、多元凹凸函数的定义、性质及判定方法，并介绍了它们在不等式中的应用关键词凸函数不等式多元函数1引言凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中占有十分重要的地位到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及所以，总结一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的2凸函数的概念及其等价定义21凸函数的概念定义21设FX为定义在区间I上的函数，若对1X,2XI,0,1，有121211FXXFXFX（211）则称F为I上的凸函数反之，如果总有112121XFXFXXF（212）则称F为I上的凹函数若式（211），（212）中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数22凸函数的等价定义凸函数除了上述定义之外还有多种不同定义形式，这些定义之间是相互等价的常见的凸函数定义还有定义22设FX为定义在区间I上的函数，那么FX为I上的凸函数当且仅当对任安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第2页共16页意两点1X,2XI,有121222XXFXFXF定义23设FX为定义在区间I上的函数，那么XF为I上的凸函数当且仅当对IXXXN21,，有1212NNXXXFXFXFXFNN3凸函数的性质在熟知了凸函数的定义之后，这一节主要讨论凸函数的一些常用简单性质性质31设FX在区间I上为凸函数，对任意0K，则0K时，KFX在区间上为凸函数，0K时，KFX在区间I上为凹函数证明由于XF为I上的凸函数，则对1,0,21IXX有121211FXXFXFX从而当0K时121212111KFXXKFXFXKFXKFX即XKF在区间I上为凸函数同理，可证当0K时，KFX在区间上为凹函数证毕性质32设,FXGX均为区间I上的凸函数，则其和FXGX也是I上的凸函数证明记XGXFXH，1,0,21IXX,由于,FXGX均为凸函数，故有11111112122112121212121XHXHXGXFXGXFXGXGXFXFXXGXXFXXH故XH为I上的凸函数，即FXGX也是I上的凸函数证毕由性质31和性质32可得到下面的推论推论31设,FXGX是区间I上的凸函数，则线性组合的函数安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第3页共16页1212,0KFXKGXKK为I上的凸函数，1212,0KFXKGXKK为I上的凹函数性质33若XF为区I上的凸函数，XG为IFJ上凸增函数，则FG为I上凸函数证明对,21XFXF由于F为I上的凸函数，故121211FXXFXFX又由,MAX1,MIN212121XFXFXFXFXFXF得121FXFXJ故当G为J上的凸增函数时有121212121211111GFXXGFXXGFXFXGFXGFXGFXGFX由此知FG为I上的凸函数证毕性质34若设,FXGX是间I上的凸函数，则MAX,FXGX也为I上的凸函数证明令MAX,FXFXGX，由凸函数定义，设1,0,21IXX有111111212121212121XFXFXGXGXXGXFXFXFXFXXF从而1111,1MAX2121212121XFXFXXFXFXFXXGXXF因此XF为I上凸函数证毕性质35设FX为区间I上的凹函数，0FX，则1FX为区间I上的凸函数，反之不成立证明因为0FX且为凹函数,故安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第4页共16页对1,0,21IXX有212111XFXFXXF所以12121111FXXFXFX由于1212111FXFXFXFX从而2121111XFXFXXF即1XF为区间I上的凸函数证毕4凸函数的判定定理利用凸函数的定义判断函数XF在区间I上是否为凸函数往往并不方便因此，下面给出一些凸函数的判定定理引理若FX在区间I上成为凸函数，则对I上任意三点123XXX,有23231212XXXFXFXXXFXF推论41若在区间上为凸函数，则对上任意四点4321XXXX，有34341212XXXFXFXXXFXF推论42若FX在区间I上的凸函数，则0,XI过0X的弦的斜率KX00FXFXXX是X的增函数（若F为严格凸的,则KX严格增）推论43设函数FX在区间,AB内为凸函数,则FX在任意一闭子区间,AB上满足LIPSCHITZ条件即L0,TS对12,XX有1212FXFXLXX安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第5页共16页证明因,AB则H0,使得,HHAB,12,XX,若1X2X,取32XXH,FX在区间,AB内为凸函数,由引理知21322132FXFXFXFXMMXXXXH其中,MM分别为FX在,HH上的上下界,从而1212MMFXFXXXH若1X2X,取32XXH,因FX在区间,AB内为凸函数,由引理知23122312FXFXFXFXXXXX即21321223FXFXFXFXMMXXXXH因此1212MMFXFXXXH取MMLH,则12,XX有1212FXFXLXX证毕推论44若函数FX在区间,AB内是凸函数,那么FX在,AB内处处左右可导,同时满足对任意的,2121XXBAXX有12112212FXFXFXFXFXFXXX证明若函数FX在区间,AB内是凸函数,则对,2121XXBAXX由推论42知22FXFXFXXX在2,XB内为递增函数,且当BXXX21时221221FXFXFXFXXXXX所以222LIMXXFXFXXX存在安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第6页共16页再因22222LIMXXXXFXFXFXXX所以由单调有界定理可知2FX存在且21221FXFXFXXX同样也可证21XXXA时有11211121LIMXXFXFXFXFXFXXXXX所以1FX存在由1X,2X的任意性知FX在BA,内处处可导再因,若1X,2XBA,且21XX,取0X且BXX2,21XXX,那么22222121FXFXXFXFXXFXFXXXXX即22222121FXXFXFXXFXFXFXXXXX令0X则212221FXFXFXFXXX同理可证121112FXFXFXFXXX所以12112212FXFXFXFXFXFXXX证毕例41FX为区间,AB上的凸函数，试证对任意0,XABR,对任意IX有00FXXXFX证明已知FX为区间,AB上的凸函数，则由推论42与推论44可知安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第7页共16页对任0,XAB，00,FXFX存在，且00FXFXXX单调增加故对0FX当0XX时有00FXXXFX同理，当0FX时，当0XX时有00FXXXFX，因为00FXFX,故对00FXFX对0,XAB总有00FXXXFX证毕定理41设F在区间I上可导，则下述论断相互等价F为I上凸函数；F为I上增函数；对I上任意两点21,XX有21121FXFXFXXX由我们不难发现曲线XFY总是在它任一切线的上方，这是可导凸函数具有的几何特征定理42（凸函数与二阶导数的关系）设F为区间I上的二阶可导函数，则F在I上为凸（凹）函数的充要条件是00,FFXI例42试确定函数XXY1的凸性区间解由于32YX，当0X时，0Y；当0X时，0Y故在区间0,上Y为凹函数，在区间,0上Y为凸函数5关于凸函数的几个重要不等式安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第8页共16页51JENSEN不等式定理511（JENSEN不等式的一般形式）若FX为A,B上的凸函数，则,IXAB,01,2,IIN11,NII，有11NNIIIIIIFXFX特别地，当N21时，有NIINIIXFNXNF1111此定理的证明见参考文献1推论511（JENSEN不等式的总和形式）设FX在区间I上是凸函数,则对于任意的IXXXM,21和0,21M，都有1122111212MMMMMMXXXFXFXF推论512（JENSEN不等式的积分形式）若X是I上的连续凸函数，而FX与PX是,AB上的连续函数，0,0BAPXPXDX，则BBAABBAAPXFXDXPXFXDXPXDXPXDX52HADAMARD不等式定理521（HADAMARD不等式）设X是,AB上的连续凸函数,则122BAABABXDXBA证明由于X是,AB上的连续凸函数，由凸函数的基本定理可知1BXAXABXBXAXABBABA两边积分可得112BBBAAAABXDXABXDXBXADXBABA因而安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第9页共16页12BAABXDXBA（521）又DXXDXXDXXBAABBABA22若令TBAX，得DTTBADTTBADXXBBABABBAA222所以DXXXBADXXBBABA2，又X是,AB上的连续凸函数，即22ABABXX故2222BBABAABABXDXDXBA即12BAABXDXBA（522）由（521），（522）两式可得122BAABABXDXBA证毕53HOLDER不等式定理531HOLDER不等式设IA0,IB01IN,PQ1,111PQ则11111NNNPQPQIIIIIIIABAB证明设LNFXX,0,X,则210FXX,即FX是0,上的严格凸函数对于12,0XX,由JENSEN不等式得121211XXFFXFXPQPQ取12,PQXAXB,代入上式得安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第10页共16页1111PQPQFABFAFBPQPQ即1111LNLNLNLNPQPQABABABPQPQ由LNX在0,上单调递增,得11PQABABPQ记1111,PNNPQQKIKIIIAAABBB1,2,KN带入上式得11111111PQKKKKNNNNPQPQPQIKIIIIIIABABPQABAB1,2,KN对上式两边求和,则11111111111111NNNNNPPQQKKKIKINNKKIKIPQPQIIIIABAABBPQPQAB即11111NNNPQPQIIIIIIIABAB证毕6凸函数的应用在许多证明中，我们常常遇到一些不等式证明，其中有的不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙证明不等式是凸函数的一个应用领域,用凸函数证明不等式关键在于构造合适的凸函数例61证明不等式22XYXYEEE证明设XEXF，因为0XFE，所以XF是严格凸函数由凸函数的定义可知22YXYFXFYXF即22YXYXEEE证毕安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第11页共16页例62证明不等式3ABCABCABCABC,其中,ABC均为正数证明设LN,0FXXXX,由1LN1,FXXFXX可见LNFXXX在0X时为严格凸函数由JENSEN不等式有133ABCFFAFBFC从而1LNLNLNLN333ABCABCAABBCC即3ABCABCABCABC（）又因33ABCABC所以3ABCABCABCABC证毕例63证明当X,Y,Z都为正数且互不相等时,有LNLNLNXXYYZZLN3XYZXYZ证明设LNFTTTT0,则11LN,FTTFTT0,所以FT在0,上是严格凸函数对,XYZ0且XYZ时,由JENSEN不等式有3FXFYFZ3XYZF即LNLNLN3XXYYZZLN33XYZXYZ所以LNLNLNXXYYZZLN3XYZXYZ例64设12,N均为正数，且121NA求证222212121111NNNN证明考虑函数2,FXX因为20FX，所以2FXX是凸函数，令安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第12页共16页1111,XAA1,NNNXAA，由下凸函数的性质，则有2221212111NNAAAAAA12212111NNAAAAAANN6121211111NNAAA由柯西不等式22222111NNNIIIIIIIABAB得12121111111NNAAAAAA21212111NNAAANAAA于是有212111NNAAA，并代入（61）式即得222212121111NNNN证毕例65若0,I，1,2,IN则1212SINSINSINSINNNNN证明令LNSINIIF，0,I，1,2,IN由于2SEC0IIF则FX为0,上的严格凸函数，所以由JENSEN不等式有1111LNSINLNSINNNIIIINN即12121LNSINLNSINSINSINNNNN由1E得安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第13页共16页1212SINSINSINSINNNNN上式等号仅在12N成立证毕例66在ABC中，求证33SINSINSIN2ABC证明考虑函数SIN0YXX，因为SIN00YXX，所以SINYX在0,内是凹函数，由凹函数的性质有SINSINSINSIN33ABCABC由于ABC故33SINSINSIN2ABC证毕7多元凸函数前面讨论的都是一元函数的凸函数，然而我们在解决函数问题时，经常会遇到二元乃至多元函数的凹凸性71二元凸函数的定义定义511设,FXY是定义在区域D上的二元函数，且满足对112212,0XYDXYD，且121，有11221122,FXXYY（或）,222111YXFYXF则称,FXY在D上为凸（凹）函数72二元凸函数的判定定理定理721设,FXY在区域D上具有二阶连续偏导数,记,XXAFXY，,XYBFXY,YYCFXY则（1）在D上恒有0A，且20ACB时，,FXY在区域D上是凸函数；（2）在D上恒有0A,且20ACB时，,FXY在区域D上是凹函数注如果A仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性但如果在区域D上恒有0A时，则无法判断,FXY在区域D上的凹凸性安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第14页共16页例721证明二元函数YXYXYXYXF222,为2R上的凸函数证明易知F具有二阶连续偏导数，2XXAF，2,2XYYYBFCF；由于0A且02BAC,故F为2R上的凸函数证毕推论721设,FXY在区域D上具有二阶连续偏导数，XXXYYXYYFFHFFF为黑塞矩阵，若FH半正定，则,FXY在区域D上是凸函数；若FH半负定，,FXY在区域D上是凹函数此推论的证明由定理721直接得出例722试证明二次函数1423,22YXXYYXYXF是2R上的凸函数证明易知F在2R上具有二阶连续偏导数由于6,4,4XXXYYXYYFFFF故4446FH又FH为正定矩阵，从而F为2R上的凸函数证毕73N元凸函数的定义及其判定定理在定义N元凸函数之前，我们先给出凸集的概念定义731设集合NRD，若对于两点DYX,，及实数10，都有DYX1，则称集合D为凸集定义732设XF是定义在NR上的一个N元函数，其定义域D为一个凸集，对任意的,XXD，1,0当1XXX时，如果1FXFXFX我们称XF为凸函数同二元凸函数类似，N元凸函数具有如下判定定理定理731设,21NXXXF是定义在非空凸集NRD上的二次可微函数，则F为安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第15页共16页2R上凸函数的充要条件是任一点,21NXXXD处黑塞矩阵FH半正定例731试判断函数YZXZXYZYXZYXF62435,222在3R上的凹凸性证明易知F在2R上二次连续可微，且5,2,1,3,3,1XXXYYXXZZXYYYZZYZZFFFFFFFFF131332125FH由于FH为正定矩阵，故F为3R上的凸函数证毕结束语在解决函数问题时我们经常会遇到关于函数的凹凸性问题，一元、二元乃至多元函数的凹凸性质及判定定理在数学中具有重要作用函数的凹凸性定理对不等式的证明具有很大帮助因此，我们在熟悉函数凹凸性定义时更要掌握凸（凹）函数的性质及其重要的判定定理参考文献1华东师范大学数学系，数学分析第四版M，高等教育出版社，20102陈纪修、金路、於崇华，数学分析第二版M，高等教育出版社，20043裴礼文，数学分析中的典型问题与方法M，高等教