泛函分析上册课后习题答案张恭庆完整版

111证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间，而任一度量空间的完备子空间必是闭子集1设X是完备度量空间,MX是闭的要证M是一个完备的子空间证XM,XNM,XMXN0M,NXM,XNX,XMXN0M,N,X是完备度量空间,XX,使得XNXXNM,XNXMX是闭的XMXM,XNM,XMXN0,M,NXM,使得XNXM是一个完备的子空间2设X是一度量空间,M是X的一个完备子空间要证M是闭子集即,若XNM,XNX要证XM证因为收敛列是基本列,所以XNM,XMXN0,M,N,又M是完备度量空间,所以XM,使得XNXXNXXNXXXM112NEWTON法F是定义在A,B上的二次连续可微的实1，XA,X,X证存在X的邻域UX，使得X0UX迭代序列XN1XNFXNFXNN0,1,2,是收敛的，并且LIMNXNX证明TXXFXFX,DDXTX1FX2FXFXFX2FXFXFX2,FX0,FX0FX在点X处连续,LIMXXFXFXFX20,X的邻域UX,使得FXFXFX21,FX0XUX|TXTY|FFF2|XY|XY|X,YUX于是,对X0UX,XN1TXNN0,1,2,是收敛的设XNXUXTXXFX0联合FX0XUXFX0XUXFX0XUXXX,2故有XNX113设X,是度量空间，映射TXX满足TX,TYX,YXY并已知T有不动点求证此不动点是惟一的证明用反证法如果T有两个不动点X1X2,即有,一方面TX1X1TX2X2TX1,TX2X1,X2另一方面,由假设TX1,TX2X1,X2X1,X2X1,X2矛盾114设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的证明只要证XNX0TXNTX0由假设,0,1使得TX,TYX,Y,故有XNX0XN,X00TXN,TX0XN,X0TXN,TX00TXNTX0115设T是压缩映射，求证TN也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立1因为T是压缩映射,所以0,1,使得TX,TYX,Y,从而T2X,T2YTX,TY2X,Y假定TNX,TNYNX,Y成立,则有TN1X,TN1YTNX,TNYNX,YN1X,Y3于是根据数学归纳法原理,TNX,TNYNX,Y对N成立又010N1故有TNX,TNYX,Y即TN是压缩映射2逆命题不一定成立例如FXX20,10,1F2XX20,10,1是压缩映射但是FXX20,10,1不是压缩映射事实上,如果FX0,10,1是压缩映射,即01,使得|FX2FX1|X2X1|FX2FX1|X2X1|X1,X20,1即差商|FX2FX1|X2X1|是有界的但是如果取X11N,X22X12NN2,|FX2FX1|X2X1|N112N即知差商|FX2FX1|X2X1|是无界的,矛盾3如果存在正整数N,使得TN是压缩映射,那么T有唯一不动点事实上,根据不动点定理,X0使得TNX0X0则有TNTX0TX0|TN1X0TTNX0即TX0也是TN的不动点又TN是压缩映射,那么TN有唯一不动点,即得TX0X0这就证明了T有不动点4下面再证T的不动点唯一用反证法如果X1,X2是T的两个不动点X1X2即有TX1X1TX2X2,那么TNX1TN1TX1TX1X1TN1X1TX1X1TNX2TN1TX2TX2X2TN1X2TX2X2即X1,X2是TN的两个不动点,因为TN是压缩映射,所以TN有唯一不动点,从而X1X2,矛盾116设M是N中的有界闭集，映射TMM满足TX,TYX,YX,YM,XY求证T在M中存在唯一的不动点证TX,TX0X,X0,X,X00TX,TX00再由三角形不等式,得到|X,TXX0,TX0|X,X0TX,TX0由此可见,FXDEFX,TX在M上连续因为M是N中的有界闭集,所以X0M使得X0,TX0FX0MINXMFXMINXMX,TX如果X0,TX00,那么X0就是不动点今假设X0,TX00根据假设,我们有TX0,T2X0X0,TX0MINXMX,TX但是TX0,T2X0M,这与X0,TX0是最小值矛盾故X0,TX00,即存在不动点X05不动点的唯一性是显然的事实上,如果存在两个不动点X1,X2,则从X1,X2TX1,TX2X1,X2即得矛盾注假如把条件M是N中的有界闭集去掉,只假定TX,TYX,YX,YM,XY,结论一般不对例如,X1,TX2XARCTANXTX,TY|TXTY|212|XY|XY|X,Y由此可见,映射T满足假定TX,TYX,YX,YM,XY,但是TXXARCTANX2,这是不可能的,因此映射T没有不动点117对于积分方程XT01ETSXSDSYT为一给定函数，为常数，|1，求证存在惟一解XT0,1证明XT01ETSXSDSYTETXT01ESXSDSETYTZTDEFETXT,TETYT,则有ZTT01ZSDS,令TZTT01ZSDSTU,TVMAXT0,101USDS01VSDS|MAXT0,101|USVS|DS|MAXT0,1|UTVT|U,V6121A0SA1A2A3A4A5A6X1,2,NA7A8A9A10A11A12A13SA14A15A16A17A18A1X,YSUMMATIONDISPLAYK112K|KK|1|KK|,A19A14X1,2,Y1,2,A20A21A22SA1A2A23A24A25A9A17A18A26A27A28A29A21A30X,YA31A32A17A18A91,2A33A23A34A35A36A37A38A9A28A1A39A40A21X,YA31A32A17A18A9A34A353,A41A42A43FTT1T111TF|AB|F|A|B|A44|AB|1|AB|A|B|1|A|B|A|1|A|B|B|1|A|B|A|1|A|B|1|B|A0Z1,2,K,A45A46X,YSUMMATIONDISPLAYK112K|KK|1|KK|SUMMATIONDISPLAYK112K|KKKK|1|KKKK|SUMMATIONDISPLAYK112K|KK|1|KK|SUMMATIONDISPLAYK112K|KK|1|KK|X,ZZ,YA47A48A40A21A39X,YA31A32A17A18A9A34A353A49A50SA36A17A18A26A27A28A51A52A21A53SA9A24A25A54A28A0XMA36SA14A9A55A56A6A28A19A14XMPARENLEFTBIGXM1,XM2,XMK,PARENRIGHTBIGA45XMP,XMSUMMATIONDISPLAYI112I|XMPIXMI|1|XMPIXMI|0M,PNA57A58A59A60A61A62KN,VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMPKXMKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE0M,PN1A63A64A65A12A66A67A2A23A68A15A9KN,A660,A69A13NKA70A71,SUMMATIONDISPLAYI112IVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMPIXMIVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMPIXMIVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLENK,PNA72A73A5A14A9A74KA75A12A76A77A38A78A79A80A81A82A46A75A9A83A12A44A71VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMPKXMKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMPKXMKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE0,A69A13N,A70A71SUMMATIONDISPLAYN112K|XMNXN|1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMNXNVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEN22A36A99A66A101A102A103A75A83A104A105A106A107A12A108A109A110A111A112A113A21A114A115A28A0A116A13A117N0A75A118A111A112A12A94A119A99A106A107A9A73A5A120A121A51A111A122A22SUMMATIONDISPLAYN112K|XMNXN|1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMNXNVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEN0SUMMATIONDISPLAYN112K|XMNXN|1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMNXNVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEBRACEHTIPUPLEFTBRACEHTIPDOWNRIGHTBRACEHTIPDOWNLEFTBRACEHTIPUPRIGHTA46A123A75SUMMATIONDISPLAYNN0112K|XMNXN|1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMNXNVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEBRACEHTIPUPLEFTBRACEHTIPDOWNRIGHTBRACEHTIPDOWNLEFTBRACEHTIPUPRIGHTA101A102A103A753A1A393A14A9A101A102A103A75A124A1111LOG2A72A15A2A23N01LOG2,A1A393A14A9A46A123A75A124A111NA127,N0SUMMATIONDISPLAYN112K|XMNXN|1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXMNXNVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEN,XNXMNBRACEHTIPDOWNLEFTBRACEHTIPUPRIGHTBRACEHTIPUPLEFTBRACEHTIPDOWNRIGHT0,0,0,1N1,1MBRACEHTIPUPLEFTBRACEHTIPDOWNRIGHTBRACEHTIPDOWNLEFTBRACEHTIPUPRIGHTM,0,0,PARENLEFTBIGXN,XMPARENRIGHTBIGSUPK1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXNKXMKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE1N10N,MA41A42A43XNA1A44A45A12A15A46A47A40XPARENLEFTBIG1,12,13,1N,PARENRIGHTBIG,A48A3PARENLEFTBIGXN,XPARENRIGHTBIGSUPK1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEXNKXKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE1N10NA49A50A51A52LIMNXNX,A53A1X/F,A54A55FA6A26A27A15A0LSCRIPT0A1A56A4A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16LSCRIPT0A17A18A19A20A21X,YSUPK1|KK|,A22A23XK,YKLSCRIPT0A57A58A25A59LSCRIPT0,A60A61A62A26A27A15X1PARENLEFTBIG11,12,1K,PARENRIGHTBIG0KX2PARENLEFTBIG21,22,2K,PARENRIGHTBIG0KX3PARENLEFTBIG31,32,3K,PARENRIGHTBIG0KXNPARENLEFTBIGN1,N2,NK,PARENRIGHTBIG0KX1,2,K,XNXLIMNSUPK1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLENKKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE00,SUPK1VEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLENKKVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLEVEXTENDSINGLE于是F0|F0|,即|TF|F0|34151设X是个B空间，E是以为内点的真凸子集PX是由E产生的MINKOWSKI泛函，那末1XC1PX使得1,PXXBXXCA的有穷网NCON是不是COA的列紧网先证CON是列紧的可以证明，只要F是有限集,COF都列紧事实上,设12,MFZZZ11|1,0,MMIIIICOFZ对0,10,1R的有穷1MIZ网E只要对0,1作足够多等分就能得到这样1,MIIYFYZ10,1,MIIIIZE使得当XXN,N,NNXXC使得1,NNNXX1,IJN求证存在0及各分量非负但不全为零的向量R,NX使得AXX证明在RN上考察子集CDEF11,R|1,01NNNIIIXXXXIN并作映射1NJJAXAXFXDEF显然C是紧凸集,且FCC“从而XC使得,FXX即,AXX其中1NJJAXDEF显然0而001,2,00JAXJNAXFX与FXC矛盾156设,KXY是0,10,1上的正值连续函数,10,0,1TUXKXYUYDYUCXAAX21SUPXAAX1XAX1A11SUPAX111XFXF1SUPXFX根据YT在0,1上的一致连续性,N,N将0,1N等分,使得函数在每一等分区间上的振幅小于我们把所有的等分区间分为两类图1在第一类区间上不含有函数YT的零点,这类区间记作,在第二类区间上至少含有函数YT的一个零点,这类区间记作因为函数YT在区间上必有零点,所以在每个区间上有YT又X1,10010FFXYTDT2FYTDT1010YTDT2YTDTYTDT2又X1,01100FFXYTDT2FYTDT4421511FXFFXFXX1FD0,00,X使得00001,FXXFXFF注意到001,XFXF故有1FD于是111,FFFDDD即1DF证明10,X,“使得11FXXF“两边取倒数,并乘以F11FXFFXF,“,XYXNF/ST,1,TBU取1并设,1BX中的开单位球0,1XXU中的开单位球下面证明,1,1UB,111,1XBXXXXXU，使得,UXMXXX求证U有连续逆1U，并且11/UM证明由条件,U是满射,且是单射所以根据BANACH定理,1,UYXL,1,YYY设1,UYX则11YUXMXMUY111SUP1/YUUY233设H是HILBERT空间，AHL并且0M，使得2|,|,AXXMXXH求证1AHL证明由条件,XH2|,|MXAXXXAXAXMX所以A是单射,XRA02|,|,AXXMXX故有RA所以RA是稠的设NY是RA中的基本列,并设NNAXY,则由NAXMXX是基本列00NNNXXHYAXAXRARA是闭的RARAH即A是满射所以根据BANACH定理,1AHL234设,XY是线性赋范空间，50D是X的线性子空间，ADY是线性映射求证1如果A连续，D是闭集，则A是闭算子2如果A是连续且是闭算子，则Y完备蕴含D闭3如果A是一一的闭算子，则1A也是闭算子4如果X完备，A是一一的闭算子，RA在Y中稠密，并且1A连续，那末RAY1如果A连续且D是闭的，则A闭算子；设,NNNXDAXXAXY,DXDAAYXA闭算子2如果A连续，又Y完备,那么根据定理2312BLT,A能一地延拓到D上成为连续线性算子,|,DAAAAA本题还有一个条件A是闭算子,下面证明D闭设,NNXDXX则有,NNAXAXAX于是因为A是闭算子,所以,NNNXDXXAXAX,XD且AXAX3如果A是单射的闭算子，则1A也是闭算子设1,NNNNNNNNYRAYYXDAXXXAYXYAXY因为A是闭算子,所以,XDAYAX,YRA1XAYIE1A是闭算子4如果X完备，A是单射的闭算子,RA在Y中稠密,并且1A连续，那末YRAA是单射的闭算子31A也是闭算子11XAA21RADA闭最后YYRARARARA235用等价范数定理证明10,1,C不是BANACH空间，其中10|0,1FFTDTFC证明用反证法假如10,1,C是B空间,100101MAXMAX,TTFFTFTDTFT51是比1强的范数,用等价范数定理,与1等价,即0,MST1FMF即1001MAXTFTMFTDT0,1FC令112110101MMMMTTFTMT矛盾236GELFAND引理设X是BANACH空间，1PXR满足10PXXX20,PXPXXX“3121212,PXXPXPXXXX4当NXX时，NPXPX求证0M，使得PXMXXX证明令11SUP,XXXPX1X是X上的完备范数,然后用等价范数定理所给的条件4,有两处发挥作用其一是证明0P110000,0LIMLIM0NNNNXPPXPXIXXPEXPXIYEXIIIPXPEEXPEY11SUPYIYPEY11SUPSUPIXXPXPEX1000,0LIMNNXPPXKKNNQQIIKKKEE另一方面,1111,PNQPQQPNNKKFXFXFF/0/0121211111PQNNNQQQKKKKFF/0/01212且QF又HLDER,QPQFXXXF联合QQQFFF239证1,KX令1,KKKFX1,NNKKKFX11L,NFK且LIMN,NFXFX由习题237,1F下面证明K设1E0,0,1,0,0,KK则EKKFE1EE,KKKKKFFF且F又11111,SUPSUPSUPNNNKKKKKKNKNKKNKKNFXXF由习题237,LIMNNFF1SUPKKFFF2310用GELFAND引理证明共鸣定理SUPAWPXAXPXMXAXMXAMAW2311设,XY是BANACH空间，,AXYL是满射求证如果在Y中0NYY，则0C与0NXX使NNAXY，且NNXCY证明设|0,NAXAXX考虑映射AXNA,YXX,NA,AXAXXX证明A54单射、满射再由2,AXAXAXAX33YY推出A有界由BANACH逆算子定理，1L,ANAYX不妨假设00,Y0,NY记1,NNXAY456711NNNXAYAY4567于是,取,NNXX4567使得2,NNXX4567便有,NNXCY其中12CA0,NYNX3且NNXXAXAX3456734567定义,NNYAX3则有,NNXCY312CA设0,NYY20NT，RT在Y中闭的充分必要条件是0A，使XATXXDT3RT在Y中闭的充分必要条件是0A，,DXNTATXDT其中,DXC表示X到X的子集C的距离证明100NNNNXXXNTTXXX0TXXNT即得NT闭2RT是B空间,TDTRT单射、满射,由逆算子定理知561,TRTXL0,ST1TYYYRT于是XX,令,YTX即有XTX8NRTYY,NXDTST,NNYTXY由所给的不等式,NMNMXXTXTXXX,STNXX于是TNNXXYTXYRTTXY即证得RT闭3注意到NTX是B空间考虑TXNTY|,DTXNTXDTXTXTX显然,NTRTRT如果T是闭算子,用2的结果,即得结论下面证明T是闭算子就看NNDTXXTXY45674567,XDTYTX90,2NNNNNXDTXXXXTXTXY45674567T,XDTYTXRT闭RT闭T单射20,ST0,XTX即,DXNTTX2313设,AXY是HILBERT空间H上的一个共轭双线性形式，满足10M，使得|,|AXYMXY20，使得2|,|AXYX求证FH，FYH，使得,FAXYFXXH57而且FY连续依赖于F证明根据LAXMILGRAM定理2317,必存在唯一的有连续逆的连续线性算子,AHLST,AXYXAY又根据RIESZ表示定理,对,FH1,FZH使得,FFXXZ对此,FZ求解方程11,FFFFFFAYZYAZFXXZXAYAXY再证所产生的FY是唯一的设,FFXAXYXH3则有0,FFFFAXYAXYAXYY33,XH取FFXYY3,便有220,FFFFFFFFAYYYYYYYY33332314设是2R中边界光滑的有界开区域,1R有界可测并满足00,LIMNNPTXTXLIMNNTXTPXLIMNNNPXYXYLIMLIMNNNNXYPXPY243令1000000100,XXFXFXPXPX000000|FXFXFXPX0PXPX于是根据HAHNBANACH定理242,1,FXXST11FXPXXX2100FXFXXX再令10,FXPXFX即有1100000001FXFXPXPXPXPXFX2100FXPXPXPXFX即得结论244证XXLX,K,NXXX,NNNNXXXFFXSUP,SUP,SUPXNNNNNNXFFXFXF，求证为了存在FX，满足FM，,1,2,JJFXCJN，必须且仅须对12,NK,有11|NNJJJJJJCMX若满足所说条件的XF存在,则111NNNKKKKKKKKKCFXFX11NNKKKKFXMX若所说的不等式成立，设,1,NEXSPAN1,NKKKXXE定义01,NKKKFXC特别是0,KKFXC并由充分性假设,001NKKKFXCMXFMXE再根据HAHNBANACH定理,X,F使得00,FXFXXEFFM“247设12,NXXX是线性赋范空间X中线性无关元，求证12,NFFFX，使得,1,2,IJIJFXIJN求证1,但1时,A21,2N1NXXX,X,X,L2N1NYAXX,X,X,即23K112KAXX,AXX,AXX,2222NNN2N1AXXXXA1又0X0,1,0,0,2,0AX1,0,0,00AXXA1,“A1当1A时,A2PA|1注意到非零分量个数有限的Y在2L中稠密,故有2RIAL2RIAL例如21JJ1YL,但是YRIA事实上,按K1JK11J1XX,求得的KK1XX,使得KX故2XL于是C1A对于适合1的一般，可以化归1情形事实上,KK1KIAXYXXYKK1KKK1K1XXYK1,2,令KK1DEFDEFXYKK,K1,2,则有KK1KK1,2,此即化归1情形于是总结起来，我们有PA|1,时,DX0DTXYD0XDAY00X,YC0,DX0DTXYD0DX00DTYDXYD0D00DTYXDXYD0D0DTYYXD0DDTYY0RE0YCEC0Y0RE02RAIL0,RARRE0ARRRE0ARE0ARA计算细节TIBNTIBNXX00NLXTEEDTTEDTTIBN1X0N1LXTEDTTIBN1XIBNX0XEEN1TEDTN1XIBNXEEN1LXTIBNNLXNEPXTIBN1N1LXN1EPX2NLXNL0,74D是X的线性子空间，ADY是线性映射求证1如果A连续，D是闭集，则A是闭算子2如果A是连续且是闭算子，则Y完备蕴含D闭3如果A是一一的闭算子，则1A也是闭算子4如果X完备，A是一一的闭算子，RA在Y中稠密，并且1A连续，那末RAY1如果A连续且D是闭的，则A闭算子；设,NNNXDAXXAXY,DXDAAYXA闭算子2如果A连续，又Y完备,那么根据定理2312BLT,A能一地延拓到D上成为连续线性算子,|,DAAAAA本题还有一个条件A是闭算子,下面证明D闭设,NNXDXX则有,NNAXAXAX于是因为A是闭算子,所以,NNNXDXXAXAX,XD且AXAX3如果A是单射的闭算子，则1A也是闭算子设1,NNNNNNNNYRAYYXDAXXXAYXYAXY因为A是闭算子,所以,XDAYAX,YRA1XAYIE1A是闭算子4如果X完备，A是单射的闭算子,RA在Y中稠密,并且1A连续，那末YRAA是单射的闭算子31A也是闭算子11XAA21RADA闭最后YYRARARARA235用等价范数定理证明10,1,C不是BANACH空间，其中10|0,1FFTDTFC证明用反证法假如10,1,C是B空间,100101MAXMAX,TTFFTFTDTFT75是比1强的范数,用等价范数定理,与1等价,即0,MST1FMF即1001MAXTFTMFTDT0,1FC令112110101MMMMTTFTMT矛盾236GELFAND引理设X是BANACH空间，1PXR满足10PXXX20,PXPXXX“3121212,PXXPXPXXXX4当NXX时，NPXPX求证0M，使得PXMXXX证明令11SUP,XXXPX1X是X上的完备范数,然后用等价范数定理所给的条件4,有两处发挥作用其一是证明0P110000,0LIMLIM0NNNNXPPXPXIXXPEXPXIYEXIIIPXPEEXPEY11SUPYIYPEY11SUPSUPIXXPXPEX1000,0LIMNNXPPXKKNNQQIIKKKEE另一方面,1111,PNQPQQPNNKKFXFXFF/0/0121211111PQNNNQQQKKKKFF/0/01212且QF又HLDER,QPQFXXXF联合QQQFFF239证1,KX令1,KKKFX1,NNKKKFX11L,NFK且LIMN,NFXFX由习题237,1F下面证明K设1E0,0,1,0,0,KK则EKKFE1EE,KKKKKFFF且F又11111,SUPSUPSUPNNNKKKKKKNKNKKNKKNFXXF由习题237,LIMNNFF1SUPKKFFF2310用GELFAND引理证明共鸣定理SUPAWPXAXPXMXAXMXAMAW2311设,XY是BANACH