数学专业论文—线性方程组的求解及其应用

嘉兴学院南湖学院（2011届）本科毕业论文（设计）题目线性方程组的求解及其应用专业数学与应用数学班级学号姓名指导教师完成日期201155诚信声明我声明，所呈交的论文设计是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文设计中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料我承诺，论文设计中的所有内容均真实、可信论文设计作者签名签名日期年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文设计进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置论文设计作者签名签名日期年月日线性方程组的求解及其应用（学院）摘要线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷关键词线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；LU分解；应用THESOLUTIONOFLINEARSYSTEMOFEQUATIONSANDITSAPPLICATION（UNIVERSITY）ABSTRACTLINEARSYSTEMOFEQUATIONSISONEOFTHEMOSTBASICCONTENTINLINEARALGEBRAITPLAYSANIMPORTANTROLEINMANYAREAS,FOREXAMPLEINSCIENCEANDENGINEERINGCALCULATIONTHISARTICLEDISCUSSESTHEBASICSTRUCTURESOLUTIONOFLINEAREQUATIONS,ANDUSECRAMERSRULE,GAUSSELIMINATIONANDCHASEWAYTOFINDSOLUTIONSINADDITION,ITALSOEXAMINESITSINANALYTICGEOMETRY,HIGHERALGEBRA,OPERATIONSRESEARCH,ASWELLASOTHERAREASOFSOMESIMPLEAPPLICATIONSBYTHESOLUTIONOFLINEARSYSTEMOFEQUATIONSANDITSAPPLICATION,WECANMAKEALOTOFCOMPLICATEDPROBLEMSBECOMINGMORECONVENIENTKEYWORDSLINEAREQUATIONSCRAMERSRULEGAUSSELIMINATIONLUDECOMPOSITIONAPPLICATION目录1引言12线性方程组求解221概念222解的情况及其通解323克拉默法则524高斯消元法725追赶法9251LU分解9252追赶法103线性方程组的应用1331在解析几何中的应用1332在高等代数中的应用1333在运筹学中的应用1434在化学中的应用1535在经济学中的应用1636在控制科学中的应用184结束语21致谢22参考文献23嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）11引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初九章算术方程章中线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要1本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）22线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法21概念线性方程组的一般形式如下11112211211222221122NNNNMMMNNMAXAXAXBAXAXAXBAXAXAXB21其中12,NXXX是N个未知量，IJA是M个一次方程的系数，IB称为方程组的常数项我们总是假设系数和常数项在某个领域K中取值如果所有的常数项IB都等于0，即111122121122221122000NNNNMMMNNAXAXAXAXAXAXAXAXAX22则方程组22称为齐次线性方程组否则称为非齐次线性方程组线性方程组21的解是数域K的一个有序数组12,NCCC，当未知量12,NXXX分别用12,NCCC代入时，21中的每个方程都成立我们将方程组21记为矩阵形式AXB其中嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）3111212122212,NNMMMNAAAAAAAAAA12MBBBB我们称A为此线性方程组的系数矩阵，如果再把常数项B也添加进去，使它成为矩阵的最后一列11121121222212NNMMMNMAAABAAABAAAB称它为此线性方程组的增广矩阵，记为A22解的情况及其通解一般求解线性方程组前，我们要先讨论该线性方程组解的情况它可能无解，可能只存在唯一解或者可能有无穷多组解本小节，我们主要讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式对于一般情况下的线性方程组21，将它的增广矩阵A化为行阶梯矩阵记R221111122210000,00000000RJNJNRJRNRRCCCDCCDCCDD记R23其中R比R少了最后一列，RRANKR为R的主元所在列的个数，即2112,RJRJCCC全不等于零若RRANKRANKR即10RD，则原方程组21无解若RRANKRANKR即10RD，且RANKRN，则原方程组21有唯一解嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）4若RRANKRANKR即10RD，且RANKRN，则原方程组21有无穷多组解这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有NR个，主变量有R个2如果对于一般情况下的齐次线性方程组22，它显然有一组零解0,0,0T我们将方程组22的系数矩阵A化为行阶梯矩阵R比23少最后一列若RANKRN，则齐次线性方程组22只有零解若RANKRN，则齐次线性方程组22有无穷多个解若MN，则齐次线性方程组22必有非零解一般线性方程组的求解步骤大致为1，写出它的增广矩阵；2，将增广矩阵变化为行阶梯矩阵，判断方程组是否有解；3，如果有解，写出行阶梯矩阵所对应的与原方程同解的方程组；4，写出原方程组的通解下面我们通过例子来说明线性方程组的通解的表示形式例221求线性方程组的通解1234123412341234322,521,26333,11544XXXXXXXXXXXXXXXX解首先把增广矩阵A化为行阶梯矩阵A311221521115211016755263330000011154400000RR因为42RRRR，所以方程组有解，且解有无穷多个R399101521116161601675575501,16161600000000000000000000R嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）5所以134234939,161616575161616XXXXXX其中12,XX为主变量，34,XX为自由变量由于齐次线性方程组的增广矩阵最后一列元素全为零，在作初等变换时，所得矩阵的最后一列元素仍为零，所以只写出其系数矩阵求解即可23克拉默法则对于其次线性方程组来说，它有一个零解0,0,0因此对于其次线性方程就是研究它何时有非零解及非零解的形式如何这一节，我们只考虑方程个数等于未知量个数，即当21中MN时的情况，即11112211211222221122NNNNNNNNNNAXAXAXBAXAXAXBAXAXAXB24并且系数矩阵的行列式不等于0如果线性方程组24中，系数矩阵IJAA的行列式不等于0，即1112121222120NNNNNNAAAAAAAAA，那么，此方程有唯一解1212,TTNNBBBXXXAAA其中111,111,111,1,11,1,1,1,2,JJNIIJIIJINJNNJNNJNNAABAAAABAABJNAABAA这就是克拉默CRAMER法则嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）6如果对于齐次线性方程组11112212112222112200,0NNNNNNNNNAXAXAXAXAXAXAXAXAX它的系数矩阵IJAA的行列式不等于0，那么它只有零解下面我们通过具体的例子来应用克拉默法则求解线性方程组例231解线性方程组12341242341234258,369,225,4760XXXXXXXXXXXXXX解12422151075130751313061306130620212021202121476147607712ARRRR751321227771252120476B228511906108,05121076B3218113962702521406B4215813092702151470B所以1212,3,4,1,1TTTNNBBBXXXAAA即原方程组的解为3,4,1,1T嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）7例232取何值时，下述方程组有非零解1231231232220,2140,2410XXXXXXXXX解该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵A的行列式2222140,241A所以3223222222242214214254241033003ARRCC24325236因此，当36或时，所给齐次方程组有非零解24高斯消元法高斯GAUSS消元法解线性方程组最早出现在在我们古代的数学著作九章算术中九章算术第八章“方程”主要研究线性方程组的解法其基本思想是消元在解方程组时，将方程组的系数包括常数分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元此方法在西方被称为“高斯消元法”3高斯消元法的基本思想是通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵，然后，再逐一回代，解出方程组本节将简单介绍高斯消元法的基本思想，并且运用它来解决形如21，并且存在唯一解的线性方程组下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程例241解线性方程组1231231232426,50,422XXXXXXXXX25嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）8解首先，我们将25中第二个方程减去第一个方程的12倍，再将第三个方程减去第一个方程的2倍，则得到等价方程组12323232426,363,7210XXXXXXX26其中25中的第二，第三个方程中的1X已经消去了类似的，我们将26中的第三个方程减去第二个方程的73倍，又可以消去第三个方程中的变量2X，最后得到与25等价的方程组1232332426,363,123XXXXXX27这个方程很容易求解由第三个方程解出，31,4X将其带入第二个方程解出23,2X再将23,XX代入第一个方程解出114X其中，将原方程组25化成方程组27的过程叫做消元过程，求解方程组27的过程称为回代过程下面，我们用矩阵变化来描绘消元的过程线性方程组25可以写成矩阵的形式12324261150,4122XAXXBX其增广矩阵为A24262426242611500363036341220721000123A1100412133012101021001100144把增广矩阵变成阶梯形矩阵后，再写出它代表的方程组嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）91232331,2426,43363,212314XXXXXXYXZ或用代入消元法解上述第一个阶梯形方程组，或者直接由第二个方程组就能求得原方程组的全部解25追赶法求解线性方程组除了上述几种常规的方法外，还常用到追赶法将线性方程组的系数矩阵A分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，再利用追赶法来求解线性方程组而如何将系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要用到LU分解法，也称三角形分解法LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变时，能够方便地求解方程组本小节将讨论LU分解的方法以及用如何用追赶法解线性方程组251LU分解设A的前N1个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵L，及上三角阵U，使,ALU而且这样的分解是唯一的设矩阵A有LU分解，即111211112121212222221,11211001NNNNNNNNNNNNNAAAUUULAAAUULLAAAU比较两端的第一行元素得11,1,2,KKUAKN比较两端的第一列元素得1111,2,3,KKALKNU比较两端的第二行的其余元素得22211,2,3,KKKUALUKN比较两端的第二列其余元素得嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）102112222,2,3,KKKALULKNU则对于一般的2,3,IN用递推关系得出1111,1,1,2,IIKIKIJIKJIKIKIKJJIIIJUALUKIINLALUUKIIN28即可求出U和L，从而实现A的三角分解这一过程就是矩阵A的LU分解4252追赶法将线性方程组的系数矩阵A，通过公式28进行LU分解后，再通过追赶法解出该线性方程组，是最有效快捷的方法追赶法的关键在于它的追过程和赶过程记11112222221111,1NNNNNNEFRFDEFRFLALUFFLDERALU分解11RE对2,IN计算11,IIIIIIILDRRELFB追过程11YB对于2,IN计算1IIIIYBLYC赶过程嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）11NNNXYR对于1,1,IN计算1IIIIIXYFXR而对于线性方程组（21）中，可得该线性方程组的JACOBI迭代公式如下11112211112221123322211122,11111MMMNNMMMMNNMMMMNNNNNNNNNXBAXAXAXBAXAXAXAXBAXAXAXA简记成11111,1,2,IMMMMIIIJJIJJJJIIIXBAXAXIA下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程例251用追赶法解线性方程组121232343423,233,37410,252XXXXXXXXXX解系数矩阵21001230,03740025A利用公式28对A进行LU分解，2100210021003112303012302220374037402740025002500252100210033113030222202140214002500213A嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）12所以210010003110003022,02100014002100013LU追过程解,LYB即11223344310003911003221002101200210YYYYYYYYY赶过程解,UXY即11223344210032390301221001410000130XXXXXXXXX即得线性方程组的解线性方程组的形式多种多样，对应的解法也不胜枚举本节只是讨论了平时最常用的几种特殊的求解方法随着现代工业的发展，线性方程组应用到了各方各面的领域中，对于线性方程组的解的各种研究也将持续的进行下去嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）133线性方程组的应用线性方程组一直都是理工科中最基础且最重要的知识之一，在很多的解题过程中都会运用到线性方程组来进行求解并且随着现代化工业的发展，线性方程组的应用也越来越多的运用到了各个领域研究中这一节，我们主要讨论线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学学科以及在其他学科中的一些基本的应用31在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合，它将几何体用代数形式巧妙的表示出来，然后通过研究代数方程的相关性质，从而揭示几何图形的内在本质5例311已知三次曲线230123YAAXAXAX过4个点,IIIPXY1,2,3,4,I其中，1234,XXXX互异试求方程的系数0123,AAAA解将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到非齐次线性方程组3,01,2,3,4JJIIJAXYI这个关于0123,AAAA的方程组的系数行列式D是范德蒙VANDERMONDE行列式，即231112322223143332344411011JIIJXXXXXXDXXXXXXXX6根据克拉默法则，它有唯一解1,0,1,2,3JJDAJD，其中1JD是以1234,YYYY替代D中第J列元素所得的行列式32在高等代数中的应用线性方程组在高等代数中的一个应用是，当我们已知一组字母构成有非零解的齐次线性方程组的系数，可以求出或证明这组字母间的关系式7嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）14例321已知AXBYBYAZBXAYCZXZ，求证AB或AC或0ABC证明由已经条件可得齐次线性方程组0,0,0AXBYCZCXBYAZBXAYCZ因为0,0XZ，所以该方程组存在非零解又因为齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，只有非零解8，所以有0ABCCBABAC展开此行列式并合并后可得0ABCABAC即AB或AC或0ABC33在运筹学中的应用在运筹学中，很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解例331有三个生产同一产品的工厂，1A，2A和3A，其年产量分别为40（吨），20（吨），10（吨），该产品每年有两个用户1B和2B，其用量分别为45（吨），25（吨），由各产地IA到各用户JB的距离IJC（公里）如下表所示（1,2,3,1,2IJ）各厂的产品如何调配才能使运费最少1A2A3A1B4558922B587236解为了解决这个问题，我们假设各厂调运到各户的产品数量分别如下表所示1A2A3A1B1X2X3X2B4X5X6X那么，容易看出，三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以对产地来说产品应全部调出，嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）15因此有1440,XX2520,XX3610XX同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的，因此又有12345,XXX45625XXX从到就是16,XX应满足的一些条件我们再来看如何刻画运费，我们知道，在道路情况相同的情况下运费与距离成正比，因此把1X吨的货物由1A运到1B的运费为451X的倍数，而把1X吨的货物由1A运到1B的运费为584X的同一倍数，因此，它们的和S451X582X923X584X725X366X就可以用来刻画运费34在化学中的应用线性方程组在化学中应用到最多的，是化学方程式的配平问题化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等9一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解例341配平化学方程式14243242524624XKMNOXMNSOXHOXMNOXKSOXHSO其中126,XXX为正整数解上述化学反应式中包含5类原子（钾、锰、氧、硫、氢），所以对方程式的每一种反应物和生成物构造一个5R中的向量，其中每一种反应物和生成物构成如下向量嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）164114,00KMNO4014,10MNSO2001,02HO2012,00MNO24204,10KSO2400412HSO其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目为了配平化学方程式，系数126,XXX必须满足方程组123456100020110100441244010011002002XXXXXX求解该齐次线性方程组，得到通解123456232,512XXXCXXXCR由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取1C即得配平后的化学方程式4422242423252KMNOMNSOHOMNOKSOHSO35在经济学中的应用当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售，许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程一个网络包含一组称为接合点或者节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记网络流的基本假设是网络的总流入量等于总流出量，且流经一个节点的总输入等于总输出10例351如图351中的网络是巴尔的摩市区一些单行道路在一个下午早些时候（以每小时车嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）17辆数目计算）的交通流量计算该网络的车流量图351解写出该流量的方程组，并求其通解如图（351）所示，标记道路交叉口（节点）和未知的分支流量在每个交叉口，令其车辆驶入数目等于车辆驶入数目并且，网络中的总流入量（500300100400）等于总流出量（3003X600），经简化得3X400该方程与上面四个方程联立并重排后得到下面的方程组1223445153800300500600400XXXXXXXXXX行化简相应的增广矩阵得到1525345600200400500XXXXXXX该网络的车流量为嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）1815253455600200400500XXXXXXXX是自由变量网络分支中的一个负流量对应模型中显示方向相反的流量由于本问题中的道路是单行线，这里不允许有负值变量这种情况给变量的可能取值增加了某种限制例如，因为4X不能取负值，因此5500X36在控制科学中的应用在现代鲁棒控制问题中，求解矩阵的LYAPUNOV方程的基本思想是将方程转化成线性方程组，然后进行求解其中运用到KERKRONEC积定义设,IJIJMNPQAABB，则称由111212122212NNMMMNABABABABABABABABAB所确定的MPNQ矩阵是A和B的KERKRONEC积或称A和B的直积，记作AB11性质AKABKABAKABABCABACBCABACACABCDACADBCBDDABCABCABCE设,IJMNIJLRIJNPIJRSAABBCCDD则ABCDACBDF设,IJMNIJPQAABB则嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）19TTTHHHABABABABG设,MMNNACBC1若,AB均为对称矩阵，则AB也是对称矩阵2若,AB均为正规矩阵，则AB也是正规矩阵H设A与B分别是M阶与N阶可逆矩阵，则AB也为可逆矩阵，且111ABAB考虑矩阵方程12APPAQ361式中，11221212NNNNNNARARQR定理方程（361）存在唯一解12NNPR的充分条件是，矩阵1A和2A的任何两个特征值只和不为零，即1IA和2JA使式12120,1,2,J1,2,IJAAINN成立利用KERKRONEC积，可以将矩阵方程（361）写成线性方程组2112TNNCSCSIAAIVPVQ362式中122121221211211121121112,TCSNNNNNTCSNNNNNVPPPPPPPVQQQQQQQ1212112121221221111111111212211,NNNTNNNNNNNNNNNNIAAIAIIAIAAIAIAIAIAIIA线性方程组（362）有唯一解的充分条件是它的系数矩阵2112TNNIAAI（363）非奇异，即（363）的矩阵的特征值不为零，为嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）2021121212121,2,1,2,1,2,TKNNIJIAAIAAKNNINJN；所以式121201,2,1,2,IJAAINJN；不为零，是方程（361）有唯一解的充要条件12很多复杂繁琐的问题，运用线性方程组的知识就能很方便快捷的求出它的解本节所举出的几个应用只是线性方程组在其他领域中一些最简单基本的应用在今后的研究道路上，随着新问题的不断涌现，线性方程组的应用将越来越广泛，线性方程组的重要性也将越来越呈现出来嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）214结束语本文主要讨论了线性方程组解的几种基本结构以及通解的表示形式，并且举出了当线性方程组存在唯一解时的三种常见的解题方法，还举出了线性方程组在各个领域的几种基本的应用线性方程组是线性代数中一个最重要的内容，它除了本文介绍的几种解题的方法以及应用外，还有很多其它的解题方法以及更多广泛的应用它是数学以及其它理工科解题时必不可少的知识之一对线性方程组的解题方法以及它的应用，也会一直