概率与统计答案

专题七概率与统计第一讲统计与统计案例例1解析1由抽样方法知抽取的男生人数为4525人，250450抽取的女生人数为4520200450所以M253868，N202549，故M8，N92满足题意的所有抽法共有12种，情况如下A，C，D，A，C，E，A，C，F，A，D，E，A，D，F，A，E，F，B，C，D，B，C，E，B，C，F，B，D，E，B，D，F，B，E，F其中A和C同时被抽中的情况有3种如下所示A，C，D，A，C，E，A，C，F所以A和C同时被抽中的概率为P31214例2理解析1第三组的频率是0150203；第四组的频率是0100202；第五组的频率是00502012由题意可知，用分层抽样的方法抽取6个产品，第三组应抽到6053个，第四、五组应分别抽取2个、1个，而第三组共有1000330个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为PC128C30，1145第四组中有X个产品被购买，所以X的取值为0,1,2PX0；PX1；C24C2625C14C12C26815PX2；C2C26115所以X的分布列为X012P25815115EX281511523跟踪训练例3答案D例4解析1设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,3P,5P由频率分布直方图可知，最后2个小矩形的面积之和为00150035201因为频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以P3P5P09，即P01所以平均每周上网时间少于4小时的学生所占比例为P3P04，即人数为04100402由题意可知，利用分层抽样的方法抽取上网时间在02小时内的学生1名记为A，抽取上网时间在24小时内的学生3名分别记为B1，B2，B3，从这4名学生中随机抽取2名学生有A，B1，A，B2，A，B3，B1，B2，B2，B3，B1，B3，共6种结果，其中上网时间在24小时内的学生有2名被抽到所包括的基本事件有B1，B2，B2，B3，B1，B3，共3种结果，故所求概率P3612例5理解析1依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80MG/100ML含80以上者，由题图1知，共有005603人2由题图2知输出的S0M1F1M2F2M7F72502535015450255015650175018500547MG/100ML，S的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值3酒精浓度在70MG/100ML含70以上人数为01005609，设除吴、李两位先生外其他7人分别为A、B、C、D、E、F、G，则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件如下吴，李，吴，A，吴，B，吴，C，吴，D，吴，E，吴，F，吴，G，李，A，李，B，李，C，李，D，李，E，李，F，李，G，A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共36种用M表示吴、李两位先生至少有1人被抽中这一事件，则M所含的基本事件数为15故PM1536512跟踪训练2例6解析12质量指标值的样本平均数为8000690026100038110022120008X100质量指标值的样本方差为S22020061020260038102022202008104所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为1043质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为038022008068由于该估计值小于08，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80”的规定例7理解析1YERROR2X120，PX120093根据题意得，获得利润Y的分布列是Y4000560072008000P01020304所以数学期望为EY6880元例8解析1画样本散点图如下由图可知物理分数Y与数学分数X之间是正相关关系2从散点图中可以看出，这些点分布在一条直线附近，因此以用公式计算得，066，B8I1XIXYIY8I1XIX26881050由775，85，得850667753385XYAYBX所以回归直线方程为066X3385Y当X83时，066833385886389Y因此某学生数学83分时，物理约为89分跟踪训练3例9解析由题意，5，40，且点，一定在回归直XYT5XY线65X175上，代入得40655175，解得T50YT5例10解析1高一年级的合格率为0021000310002100011008802高一年级样本的平均数为45556575859572，101001010020100301002010010100据此，可以估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩为72分3高一高二总计合格人数8060140不合格人数204060合计100100200K2956635，20080402060210010014060所以有99的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”跟踪训练4例11解析130090，所以应收集90位女生的样本数450015000据2由频率分布直方图得1201000025075，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0753由2知，300位学生中有300075225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300综合列联表可算得K2476238413004560165302752252109010021所以，有95的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”例12理解析1设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由2003841，100638227285153070所以有95的把握认为空气重度污染与供暖有关例132014甘肃省三诊解析122列联表如下室外工作室内工作合计有呼吸系统疾病150200350无呼吸系统疾病50100150合计2003005002计算K23968，500150100200502350150200300所以有95的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关3采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽2人，记为E、F，从中抽两人，共有15种抽法，A“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有6种，PA25例14理解析1工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000、5000、7000、9000、11000，X取这些值的概率依次为015、03、04、01、005，算得与其相对应的”全月应纳税所得额”依次为0,1500,3500,5500,7500元，按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为0元，15003045元，350010105245元，550020555545元，750020555945元；该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴的总税款为4503245045450194500510621325108元；2这5组居民月可支配额Y取的值分别是Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y13000元；Y25000454955元；Y370002456755元；Y490005458455元；Y51100094510055元；Y的分布列为Y300049556755845510055P015030401005该市居民月可支配额的数学期望为EY300001549550367550484550110055005598675元例15解析1该考场的考生人数为1002540人数学科目成绩为A的人数为4010002510001510003751024000753人2语文和数学成绩为A的各有3人，其中有两人的两科成绩均为A，所以还有两名同学只有一科成绩为A设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为A，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件为甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁共6个，设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为A”为事件M，则事件M包含的事件有1个，则PM16例162014新课标理，18解析1抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差S2X分别为170002180009190022200033210024X220008230002200，S230200220200910202200331020242020083020021502由1知，ZN200,150，从而P1878P1，派乙参赛比较合适3记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则PA，6834随机变量的分布列为0123P16496427642764E01231649642764276494或ENP33494一、选择题11文解析因为变量X和Y正相关，所以回归直线的斜率为正，排除C、D；又将点3,35代入选项A和B的方程中检验排除B，所以选A理解析45，85，A45B85，XYA45B100，故点A，B在直线X45Y100的右上方，故选C12解析由题可知，在24名笔试者中应选出6人参加面试由表可得面试分数线大约为80故选B13解析解法1用样本估计总体在区间15,20和25,30上的概率为004510020040060035045解法2由图可知，抽得一等品的概率P1006503；抽得三等品的概率为P30020035025故抽得二等品的概率为10302504514解析A中，K2；526221014220321636131440B中，K2；524201216220321636637360C中，K2；528248122203216361310D中，K2521430262203216363757160因此阅读量与性别相关的可能性最大，所以选D15文解析第二组的频率为1025020010005040，所以兔子总数为1000只，体重正常的频率为040020060故400040选D理解析第一、二两组的频率为02401604志愿者的总人数为50人2004第三组的人数为5003618人有疗效的人数为18612人二、填空题16解析设5个班级中参加的人数分别为X1，X2，X3，X4，X5，则7，X1X2X3X4X554，即5个X172X272X372X472X5725整数平方和为20，X1，X2，X3，X4，X5这5个数中最大数比7大，但不能超过10，因此最大为10，平方和20011997728726721072472因此参加的人数为4,6,7,8,10，故最大值为10，最小值为4三、解答题17文解析1组距为10，2A3A6A7A2A10200A1，A000512002落在50,60中的频率为2A1020A01，落在50,60中的人数为2落在60,70中的学生人数为3A102030005102033设落在50,60中的2人成绩为A1，A2，落在60,70中的3人为B1，B2，B3则从50,70中选2人共有10种选法，A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3其中2人都在60,70中的基本事件有3个B1，B2，B1，B3，B2，B3，故所求概率P310理解析1设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此PA10006000400025006PA2000350015，PB0606015201082X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为PX0C10630064，03PX1C061062028813PX2C062106043223PX3C06302163分布列为X0123P0064028804320216因为XB3,06所以期望EX30618，方差DX30610607218文解析10042A，B，C，D，E的值分别为13,4,030,008,1频率分布直方图如下3由样本中成绩在805905的频数为18，成绩在9051005的频数为4，可估计成绩在855955的人数为11人，故获得二等奖的学生约为1144人20050理解析1设图中从左到右前3个组的频率分别为3X,8X,19X依题意，得3X8X19X032100811，X002，设调查中随机抽取了N个学生的百米成绩，则8002，N50，调查中随机8N抽取了50个学生的百米成绩2百米成绩在第一组的学生数为30021503，记他们的成绩为A、B、C百米成绩在第五组的学生数有0081504，记他们的成绩为M、N、P、Q，则从第一、五组中随机取出两个成绩，基本事件有A，B、A，C、A，M、A，N、A，P、A，Q、B，C、B，M、B，N、B，P、B，Q、C，M、C，N、C，P、C，Q、M，N、M，P、M，Q、N，P、N，Q、P，Q，共21个其中满足“成绩的差的绝对值大于1S”所包含的基本事件有A，M、A，N、A，P、A，Q、B，M、B，N、B，P、B，Q、C，M、C，N、C，P、C，Q，共12个，所以P122147第二讲概率例1解析由程序框图知，第一次判断符合条件的函数为奇函数，第二次判断后符合条件的函数存在零点，故能够输出的函数为“存在零点的奇函数”，在所给函数中，奇函数有F1X，F3X，F7X，F8X，其中有零点的函数有F1X，F3X，F8X，故所求概率P38例2解析本题考查古典概型从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有6种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为P2613例3理解析如图，基本事件共有C10个，小于正方形边长的事件25有OA，OB，OC，OD共4个，P141035例4解析如图，不等式组表示的平面区域M为OAB，A1，1，B3,3，SOAB3，例5文解析考查了几何概型总面积212半圆面积12P122224例6理6解析S阴2EEXDX2EXEX|2，1010S正方形E2，P2E2例72014辽宁文，18解析2NN11N22N12N21N1N2N1N2NM4P431247621006010201027030802010021由于47623841所以有95的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯有差异2从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间A1，A2，B1，A1，A2，B2，A1，A2，B3，A1，B1，B2，A1，B2，B3，A1，B1，B3，A2，B1，B2，A2，B2，B3，A2，B1，B3，B1，B2，B3，其中AI表示喜欢甜品的学生，I1,2，BJ表示不喜欢甜品的学生，J1,2,3由10个元素组成，且是等可能的用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则AA1，B1，B2，A1，B2，B3，A1，B1，B3，A2，B1，B2，A2，B2，B3，A2，B1，B3，B1，B2，B3事件A由7个基本事件组成，因而PA710例8理2014乌鲁木齐地区诊断解析1设事件A“小明通过第一关但未过第二关”，第一关第I个问题正确解决为事件AII1,2，第二关第I个问题正确解决为事件BII1,2，则PA1PA2，PB1PB24534又AA1A2B1B2，B1B2B1B1PAPA1PA21PB1PB221245347252X0,100,400,900PX012，PX10045925725PX400222C2，453413132313725PX9001925725725415X的分布列为X0100400900P925725775415EX01004009009257257754159163例92013山西六校模拟解析1分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数故甲同学被抽到的概率P1102由题意得X10006090300160390故估计该中学达到优秀线的人数为160390290120110120903频率分布直方图如图所示该学校本次考试的数学平均分90X估计该学校本次考试的数学平均分为90分例10理解析1乙的中间有两个数187和188，因此乙的中位数为1875CM2根据茎叶图知“优秀品种”有12株，“非优秀品种”有18株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是，53016故样本中“优秀品种”有122株，16“非优秀品种”有183株16用事件A表示“至少有一株优秀品种被选中”，则PA11，C23C25310710因此从5株植物中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率是7103依题意，一共有12株“优秀品种”，其中乙种植物有8株，甲种植物有4株，则X的所有可能取值为0,1,2,3，PX0；C38C3121455PX1；C28C14C3122855PX2；C18C24C3121255PX3C34C312155因此X的分布列如下X0123P145528551255155所以EX01231145528551255155例112014太原模拟分析不等式组ERROR表示的平面区域为，在平面区域内任取一点PA，B，方程X22XBA30的两实根X1，X2满足00，F1B0，有3种取法，P31214例152014湖北理，7解析本题考查几何概型作出1，2表示的平面区域如图所示，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2就是两直线XY1与XY2之间的部分，其重叠部分为OACE，易知C1232S1SAOB222，SBCE1，则12121214S2S1SBCE2由几何概型得，所求的概率P1474S2S174278例162013山东高考解析当X2时，不等式可化为X1X21，即31，此式恒成立，此时X2综上不等式|X1|X2|1的解集为1，不等式|X1|X2|1在区间3,3上的解集为1,3，其长度为2，又X3,3，其长度为6，由几何概型知识可得P2613课后强化作业一、选择题1解析设线段AC的长为XCM，其中06又0P2从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强例4解析X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而XK表示，共取了K1次零件，前K次取得的是次品，第K1次取得正品，其中K0、1、2、31当X0时，第1次取到正品，试验中止，此时PX0C19C12342当X1时，第1次取到次品，第2次取到正品，PX1C13C12C19C19443当X2时，前2次取到次品，第3次取到正品，PX2C13C12C12C1C19C109220当X3时，前3次将次品全部取出，PX3C13C12C12C1C1C101220例5解析1设报考飞行员的人数为N，前3个小组的频率分别为P1，P2，P3，则由条件可得ERROR解得P10125，P2025，P30375又因为P2025，故N4812N2由1可得，一个报考学生体重超过60KG的概率为PP3003700135，58由题意知X服从二项分布B3，58PXKCK3KK0,1,2,3，K35838所以随机变量X的分布列为X0123P27512135512225512125512EX012327512135512225512125512158例62014辽宁理，18解析1设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此PA10006000400025006PA2000350015，PB0606015201082X可能取的值为0、1、2、3，相应的概率为PX0C10630064，03PX1C061062028813PX2C062106043223PX3C06302163例72014吉林九校联合体摸底分析1由频率可求得A，B的值；频数样本容量1将频率视作概率，且每天销售量相互独立，因此5天中销售量为15T的天数XB5,05；由于每吨商品利润2千元，因此每日利润取值为2,3,4元，任取2天，可得的取值为4,5,6,7,8，据此可求出分布列与期望解析1由题意知样本容量N100250，A05，B03，2依题意，随机选取一天，销售量为15T的概率P05，设5天中该种商品有X天的销售量为15T，则XB5,0,5，PX2C05210530312525跟踪训练4例82014福建理，18为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额1若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；解析1设顾客所获的奖励额为X，依题意，得PX60，C1C13C2412顾客所获的奖励额为60元的概率为；12依题意，得X的所有可能取值为20,60，PX60，PX2012C23C2412即X的分布列为X2060P0505顾客所获的奖励额的期望EX2005600540元2根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元，所以先寻找期望为60的可能方案，对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择10,10,10,50的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果选择50,50,50,10的方案，因为60元是面积之和最小值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是10,10,50,50记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除20,20,20,40和40,40,40,20的方案，所以可能的方案是20,20,40,40，记为方案2，以下是对两个方案的评价对于方案1，即方案10,10,50,50，设顾客所获奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100P162316对于方案2，即方案20,20,40,40设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080P162316例92013济宁三模错解1由题意知P14535251011252X的可能取值为1、2、3则PX1，15PX2，4525825PX345352524125X的分布列为X123P1582524125EX1231582524125177125辨析解题过程粗线条，没有具体给出各具体事件及其对应的概率，对事件含义理解不准正解1记“该选手能正确回答第I轮的问题”为事件AII1、2、3，则PA1，PA2，PA3453525该选手被淘汰的概率P1PA1A2A31PA1PA2PA314535251011252X的所有可能取值为1、2、3则PX1P1，A15PX2PA12PA1P2，PX3PA1A2AA4525825PA1PA2，45351225X的分布列为X123P158251225EX1231582512255725警示解答离散型随机变量的综合问题，首先要正确辨明事件的关系及运算，能将题中事件用基本事件表示；其次依据互斥、对立、独立事件公式和常见概率分布模型等正确列出分布列，还要用规范的语言加以表述，条理写出解答过程例101错解填从甲罐中拿出的球是什么球不清楚，PB的值不能确定，因此对，错；又在A1发生的条件下，乙罐中共11个球，其中有5个红球，PB|A1，故正确，错误；由于从甲罐中取出一球，511A1，A2，A3中任意两个不会同时发生，故A1，A2，A3互斥，正确辨析从甲罐中取出一球放入乙罐后，再从乙罐中取出一球，该球是红球，这是条件概率问题正解由条件知A1，A2，A3两两互斥且PA1，PA212，PA315310PB|A1，PB|A2，PB|A3因此PB511411411PBA1BA2BA3PBA1PBA2PBA3PA1PB|A1PA2PB|A2PA3PB|A3，故1251115411310411922错，正确警示要正确依据题目背景分清事件A与B同时发生的概率和在事件A发生的条件下B发生的概率跟踪训练5例112014新课标理，5解析本题考查条件概率的求法设A“某一天的空气质量为优良”，B“随后一天的空气质量为优良”，则PB|A08，故选APABPA06075课后强化作业一、解答题12014郑州市质检解析1设印有“美丽绿城行”的球有N个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P，AC2NC26由对立事件的概率知PA1PA45即P，解得N3AC2NC26152由已知，两种球各三个，可能取值分别为1、2、3，则2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，P1，C23C2615P2，C23C26C23C24C13C13C26C2C2415P31P1P2，则的分布列为35123151535所以E12315153512522014天津理，16解析1设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则PAC13C27C03C37C3104960所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49602随机变量X的所有可能值为0、1、2、3PXKK0、1、2、3CK4C3K6C310所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望EX012316123101306532014石家庄质检解析1由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有N4010060，N20；M1002030201020该商场每日应准备纪念品的数量大约为50003000件601002由1可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P6010035故4人购物获得纪念品的人数服从二项分布B4，35P0C04，04352516625P1C132C22，243525216625P3C31，343525216625P4C40，4352581625的分布列为01234P166259662521662521662581625数学期望为E01234166259662521662521662581625125或由E43512542014湖南理，17分析1由条件可知甲、乙研发新产品成功的概率，求至少有一种新产品研发成功的概率可用对立事件求解2先依据A、B产品研发成功的可能性确定利润的取值，再依据独立事件概率求分布列和期望解析1设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为两种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为、2335则PB11，23351325215再根据对立事件概率之间的公式可得PA1PB，1315所以至少一种产品研发成功的概率为13152由题可设该企业可获得利润为，则的取值有0,1200,1000,120100，即0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得P011；2335215P1201；2335415P1001；233515P220；233525所以的分布列如下0120100220P2154151525则数学期望E012010022032208813021541515255解析1甲、乙、丙这三个项目至少一项挑战成功的概率P11111；45341