广东省六校联盟2015年高三第三次联考数学试卷(理)

1、广东省六校联盟2015 年高三第三次联考数学试卷（理）（满分 150 分）考试时间： 120 分钟参考公式： 柱体的体积公式VSh，锥体的体积公式V1 Sh .3一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分 .每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1.设集合 U1,2,3,4,5, A2,3,4, B3,5 ，则图中阴影部分所表示的集合为(）A.2,3B.1,4UC. 5D.6AB2.已知复合命题pq 是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）A.pqB. pqC. pqD.pq3.已知向量 a5,2, b4, 3 , cx, y ，若 3a2bc0 ，

2、则 c（）A.23,12B.23,12C. 7,0D.7,04.下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）111exe xB. yxA. y2ln 1xC. ytan xD. y11x25.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）26B. 8147A.3C.3D.主视图侧视图336.已知等差数列an中， a10, d 0，前 n 项和为 Sn ，等比数列b满足 b1a1 ， b4a4 ，前n 项和为 Tn ，则（）俯视图nA. S4T4B. S4T4C. S4T4D. S4 T47.已知直线l1 : 2axa1 y10， l2 : a1 xa 1 y0 ,若 l1l2 ，则 a（）A.2

3、或1B.1 或 1C. 1D.12338.已知函数 fx 的定义域为 D ，如果存在实数M ，使对任意的xD ，都有 fxM ，则称函数 fx为有界函数，下列函数： f x2 x , x R f xln x , x0, f xx, x,00,； fxxsin x, x0,x21为有界函数的是（）A. B.C.D.二、填空题： （本大题共6 小题，每小题5 分，共计30 分 .）9. 函数 fxxln x 在点 e, fe处的切线方程为_.10. 在ABC 中， A45 , B75 , c2 ，则此三角形的最短边的长度是_.11.已知递增的等差数列an满足 a12, a22a56 ，则 an_.

4、12.已知圆 x2y22x0 上的点到直线 l : ykx2 的最近距离为1，则 k _.13.如图，为了测量两座山峰上两点P、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 米且和 P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是PAB 90,PAQPBAPBQ60,可求得 P、 Q 两点间的距离为米 .14.已知 p : Mx, yxx2y 22y23 ；q : M2y2r 2r 0x, y x 1如果 p 是 q 的充 分但不必要条件，则r的取值范围是 _.三、解答题（本大题共六个小题，共80 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分1

5、2 分）已知函数fxsinx3cosx1（其中0, xR ）的最小正周期为6.（ 1）求的值；（ 2）设 ,0, ， f 321 ， f 311，求 cos的值 .217516（本小题满分12 分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织垃圾分类宣传，网络知识讲座，现场春联派送三项活动，甲组计划1 的同学从事项目，1 的同学从事项目，最24后 1 的同学从事项目； 乙组计划1 的同学从事项目，另 1 的同学从事项目， 最后 3的同学从事项4555目，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目的总人数不得多于20 人，从事项目 的总人数不得多于10人，从事

6、项目的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14 分）如图，将长为4，宽为1 的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D 1 的四个侧面，记底面上一边，连接111（ 1）当长方体ABCD-A 1B 1C1D 1 的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（ 2）线段 A 1C 上是否存在一点P，使得 A1C平面 BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.A 1D 1B1C11t2tt2tADC18.（本小题满分14 分）B已知数列 an中， a11,an 1 14，数列bn 满足 bn1, n N *.an 3an1（

7、 1）求数列 bn的通项公式；（ 2）证明：1117 .b12b22bn219.（本小题满分14 分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为 x2y2r 2 r0 ，两点 A 4,0 , B 0,4，动点 P 满足 APAB, 01 .（ 1）求动点 P 的轨迹 C 方程；（ 2）若对于轨迹 C 上的任意一点 P，总存在过点 P 的直线 l 交圆 O 于 M,N 两点，且点 M 是线段 PN 的中点，求 r 的取值范围 .20.（本小题满分14 分）已知函数fxln xaax .（ 1）求函数fx 的单调区间和极值；（ 2）若 a1,0 ，函数g x a f x的图像上存在P , P两点，其横坐标满

8、足 1x x26，1 21且 gx 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围 .广东省六校联盟2015 年高三第三次联考数学试卷（理）答案一、 ： CBAD DABC二、填空 ： 9. 2xye0 ；10.26 ；11.2n12.0 或者4 ；13. 900；3314.r2 或者填写 r2,或者直接2,均可三、解答 ：15.解： fxsinx3 cosx12sin(x) 13 分213T6 ，所以6分.2sin( 1 x3fx)133注：如果f x2cos(x) 1 等正确 果的 相 分即可 .6 f 322sin1 (3)312sin12cos11322178所以 cos7分17f

9、32sin 1 (3)1 2sin1113353所以 sin8分5因 ,0, ，所以 sin1 cos215,cos1 sin 24， 10 分2175所以 coscoscossin sin1312分.8516.解： 甲 x 名同学，乙 y 名同学，根据 意有：1 分1 x1 y20y251 x1 y105x4 y 2002y20045整理得：5x1 x3 y18A （24， 20）5x12 y36045x0, y05x2 y200Oyxx5x4 y2005x12 y可行域如 ：360x0, y0 7 分， 束条件和 像各3 分，不化 不扣分参加活 的 人数 zxy ， 形 y xz ，当 可

10、行域内的点，斜率 1的直 在 y 上截距最大 ，目 函数zxy 取得最大 .由可行域 像可知，直 yx z经过 5x 4 y 200和 5x12 y360 的交点A ，在 y 上截距最大 .8 分解方程 5x4y20024, y 20 10分5x12 y得： x360所以 zmaxxy242044分11答：甲 24 名同学参加，乙 20名同学参加，此 人数达到最大 44 人 . 12 分17.解：法一：根据 意， 方体体 t 22V t2t 1t 2tt1 2分t2t2V当且 当，即t 1有最大 1 体 所以当 方体 ABCD-A1 B1C1D 1 的体 最大 ，底面四 形 ABCD 正方形4

11、 分作 BMA 1C 于 M ， 接 DM ， BD 5 分因 四 形ABCD 正方形，所以A1BC 与 A1 DC 全等，故的平面角6分因 BC平面 AA 1B1B ，所以 A1BC 直角三角形A 1DB1C1MADBCDMA 1C，所以BMD 即 所求二面角又A1B2, AC3，所以BMA1 BBC26，同理可得，DM6131AC336621BMD 中，根据余弦定理有：cos BMD99在 8 分662233BMD0 ,180BMD120因 ，所以即此 二面角B-A 1C-D 的 是 120 . 9分 若 段 A 1C 上存在一点 P，使得 A 1C平面 BPD， A 1CBD10分又 A

12、 1A平面 ABCD, 所以 A 1ABD ，所以 BD平面 A 1AC所以 BDAC12分底面四 形 ABCD 正方形，即只有ABCD 正方形 ， 段A1C 上存在点 P 足要求，否 不存在由知，所求点P 即 BMA 1C 的垂足 M此 ， A1PA1 B2223分14AC331AA 1z 建立如 所示的空法二：根据 意可知，两两垂直，以AB为x ，AD为y ，AA1 为, AB,AD 直角坐 系：t22 方体体 V t2t1t2 tt12 分2t 2tt1V当且 当，即有最大 13分 体 所以当 方体ABCD-A 1 B1C1D 1 的体 最大 ，底面四 形ABCD 正方形 4z分则 A1

13、 0,0,1 , B 1,0,0, C 1,1,0, A1B1,0,1 , BC0,1,0，A 1D1B1C1xz0 平面 A 1BC 的法向量 mx, y, z， y0取 xz1，得： m1,0,16 分O(A)D y同理可得平面A 1CD 的法向量 n0,1,17分BCx所以， cosm, nm n18 分mn2又二面角 B-A1C-D 角，故 是120. 9分（也可以通 明B 1A平面 A 1BC 写出平面 A 1BC 的法向量） 根据 意有B t,0,0,Ct,2t,0, D 0,2t,0 ，若 段A 1C 上存在一点P 足要求，不妨A1PAC1，可得 Pt ,2t ,1BPtt,2t

14、,1, BDt ,2t ,0BP A1C 0tt t2102 t11分即：t 22BD A1C020t解得： t1,2分133即 只 有当 底 面 四 边 形 是 正 方 形 时 才 有 符 合 要 求的 点 P ， 位 置 是 线 段 A 1C 上 A1 P : PC 2 :1处 . 14分18.解：an 11242an22分an3an3bn 11an3an 1 211bn16 分an 1 1 2an2 2 an 1an1 22又 b11，所以数列bn是首 1 ，公差 1 的等差数列， bn n8 分21232422（也可以求出b1, b2, b3,b4，猜想并用数学 法 明， 分建 算前2

15、 项 1 分，2222 算前 3 或者更多2 分，猜想通 公式2 分，数学 法 明4 分数学 法 明 程如下： 当 n1 ， b11bnn符合通 公式2；2 假 当 nk 猜想成立，即 bkak1k ， ak2112k那么当 nk1时ak12111 k ， bk 111k 1akk 1ak32131 kak 11 1 k12k1k即 nk1 猜想也能成立n . 合可知， 任意的nN * 都有 bn12 当 n1 ，左 =47 不等式成立； 9分b12当 n2 ，左 = 114157 不等式成立；10分b12b22当 n3 ， 144411bn 2n2n n 1n 1 n左 = 1114 1 4

16、( 111 111 )b12b2 2bn2233 4n 1 n5117474()n2n不等式成立分1419.解： 设 P x, y，因 APAB, 01 ，所以x44消 去 并 注意 到 01可 得 动 点 P 的 轨 迹 C 即 为 线 段 AB ， 方 程 为 ：y4x y40, 0x 4 5分，不写出 x 的范 扣1 分 设 N x0 , y0 , P t ,4t , 0 t 4 ， M ( x0t , y04 t )x02y02r 222x02y02r2方程 ( x0t )2( y04 t )2即有解 7 分r 2( x0t)2( y04 t) 24r 2222法一：将方程 两式相减得

17、：2tx0 2 4ty0t 24 t3r 208 分原方程 有解等价于点0,0到直 l : 2tx2 4tyt 24t23r 20 的距离小于或等于r ，t 24t23r 2r即29分4t 244 t整理得：2t 2168t3r 224t 2442r2t即 2t 28t 16 r 22t28t 169r 20也就是， r 22t 28t169r 2 任意的0t4恒成立10分根 据 二 次 函 数 y2t28t16 的 图 像 特 征 可 知 ， 在 区 间0,4上 ， 当 t0 或 者 t4时 ，2t 28t1616；当 t2 ， 2t28t168 12 分m a xmin所以 16r 28

18、，4r22分1393特 的，当 r2 2 ， x2y28 与 xy40 切于点2,2，此 C 上的点 P2,2没有合乎要求的直 ，故r22 ，即所求 r 的范 r42. 14分, 23法二：上述方程 有解即以0,0 心， r 半径的 与以t ,t4 心，2r 半径的 有公共点，故 于任意的0t4都有 r0 t20t423r 成立9 分整理得： r 22t 28t169r 2 任意的 0t4 恒成立 1 0 分根 据 二 次 函 数 y2t 28t16 图 像 特 征 可 知 ， 在 区 间0,4上 ， 当 t0 或 者 t4时 ，2t 28t1 61；6当 t2 ， 2t28t16812分m a xmin所以 16r 28 ，4r22分1393特 的，