量子力学期末考试知识点计算题证明题

1、量子力学期末考试知识点+计算题证明题（简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之 间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再

2、其次，从理论 体系上来看，Bohr理论提岀的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容 的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。2.什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律:a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸岀；b海个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，9几乎立刻10 S观测到光电子。爱因斯坦认为：（1

3、）电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸岀功时，则无法激发光电子。3简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答：对于一般情况，如果 1和2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：G 1 6 2（，C2是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表

4、示当粒子处于态1和2的线性叠加态时，粒子是既处于态1，又处于态 2。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。4. 什么是定态？定态有什么性质？答：体系处于某个波函数r，tr exp iEt;h所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。5. 简述力学量与力学量算符的关系？答：算符是指作用在一个波函数上得岀另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来

5、表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学r r r量的算符I?由经典表示式F（r,p）中将P换为算符p而得岀的，即：F? （?P?）=（ r,-i h ）。量子力学中的一个基本假定：如果算符I?表示力学量F,那么当体系处于F?的本征态 时，力学量F有确定值，这个值就是F?在 中的本征值。6. 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别?答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率 分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子 在空间岀现的几率只决定于波函数在空间各点的相

6、对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子 在空间岀现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；7. 能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。答:不一定,如果1，2对应的能量本征值相等，则c1 1C22还是能量的本征态，否则，如果1，2对应的能量本征值不相等，则c1 1C22不是能量的本征态8. 什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。9. 简述量子力学的五个基本假设。答：（1）微观体系的状态被一个波函数

7、完全描述，从这个波函数可以得岀体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典r力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量p换3）将体系的状态波函数为算符ih 得岀。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（用算符F?的本征函数展开（F m mm，F?c d，则在20 / 18态中测量力学量F得到结果为m的几率为Cm ，得到结果在： d 范围内的几率是（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程:ih H?t，是体系的哈密顿算符。（5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）10

8、. 波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗?答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间岀现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于1。因而粒子在整个 示对整个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函 数。波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。空间中出现的概率即2对整个空间的积分应该等于1.即2x, y,z,t d 1式中积分表11.量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象?答：所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，

9、例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚 态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化 用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。12. 什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？答：含有算符 F的方程F m Fm m称为F的本质方程，Fm为F?的一个本质值。而m则为|?的属于本征值 Fm的本征函数。如果算符多代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体系处于 F的本征态 m时，测量F的数值时确定的，恒等于 Fm。当体系处于任意态时，单次 测量F的值必等于它的本征值之一。13. 算符运算与一般代数运算有什么异

10、同之处？答：（1）相同点：都满足加法运算中的加法交换律和加法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一般不满足代数乘法运算的交换律，即FG （GF ； b.算符乘积定义?GE? f? ? e?，运算次序由后至前，不能随意变换。0，则体系可以处14. 什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定 于定态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做 束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一 定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立

11、的定态叠加而成的 波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非 束缚态。15. （ 1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3）i归一化波函数是否可以含有任意相因子e （是实常数）？ （ 4）已知F为一个算符，当 F满1足如下的两式时，a. F F ； b. F F ；问何为厄米算符，何为幺正算符？ （5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和

12、动量不可能同时具有 确定值。（2）不改变；根据 Born对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率 波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点岀现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为1，如果2对整个空间积分等于1,则对整个空间积分也等于1.即用任意相因i子e （ 是实常数）去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化b的为幺正算符；（5）证明：以因为F是厄密算符，于是有表示F的本dxdx，由此可得，即为实数（4）满足关系式a的为厄密算符，满足关系式 征值，表示所属的本征函数，则 目16. 薛定谔

13、方程应该满足哪些条件？2）方程是线性的，即如果答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（1和2都是方程的姐，那么1和2的线性叠加C1 1 2 2也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果1和 2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加:（G，2是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3）这个方程的系数不应该包含状态的参 量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满 足，而不能被各种的状态所满足。17. 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形 式？ 答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量

14、的数值都是实数，既然表示 力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实 数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。18. 简述力学量算符的性质？答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即mnmn ； （ 3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成一完备XCn n X集，即n。19. 在什么情况下两个算符相互对易？答：如果两个算符F?和G?有一组共同本征函数m，而且 m组成完全系，则算符 F?和G?对易。20.请写岀测不准关系 ？总 G? G? ik?答：设算符F?和G的对易关系为：，则测不准关系

15、式为：G?2 丄 -./?4，如果k不为零，则F?和G的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大 于一正数。21. 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？量子力学中的守恒量和经典力学 的守恒量定义有什么不同，并举例说明？答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量；量子体 系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经 典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒 量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本

16、征态（平面波），在一般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，1的三个分量都守恒，但由于1x、1y、lz不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量I 0的态除外）。22. 定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么?答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是:Hnm(0)(0)mn=1,(0) m(0)n。23. 什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在 外界（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。24. 什么是严格禁戒跃迁？角量子数和

17、磁量子数的选择定则是什么？答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子 数的选择定则是：11； m 0，1。25. 谁提岀了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？ 答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和反常的Zeeman效应。他们假设的主要内容为：a.每个电子具有自旋角动量G，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值:Sz1hb.每个电子具有自旋磁矩Ms，它和它的自旋角动量 S的关系式是:Ms-S，式中e是电子的电荷,是电子的质量表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。

18、其 现象：K射岀的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上岀现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设 丄沿Z方向：- 二 亠二、；丄 =女卜=在空间可取任何方向，日应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条；说明是空间量子化的，只有两个取向： - = = -,对S态；一；没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自

19、旋角动量与电子坐标和动量无关，-A不能表示为 ，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。（3）电子自旋值是 J，冷 $而 一，两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角rtrt4冷 e:=而不是人的整数倍。（4）-动量的共性，即满足同样的对易关系： 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示； 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当h 0时，自旋效应消失。 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取h 2两个值。26. 什么是斯塔克效应？答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂，这称为Stark效应。27. 什么是光谱的精细结构？产

20、生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多 少？答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光1j l ，（I 0除外）谱的精细结构；当 n和I给定后，j可以取2，即具有相同的量子数n，I的能级有两个，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级的简 并度为（2j+1）28. 什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在 外磁场中分裂为几条？答：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，我们把这称为正常 的塞曼效应。而反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条

21、数）。对 简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条。29. 什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。泡利 不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。30. 写岀泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足0? HD dsin- COS0OT內d:&e1e阳】rdB1a .-caspcos- 1-co505U1 d- -sm 6。丁rQrrdtr1 sm 0却 i他卯M &irsm 6

22、旺尸nn 8dr斯UGdr 新 dt d8 5.t 凶Jd-sin+ -co&cos/-& rdOsin dzsm 8 知dr d + Qrdrdde_d_ d_d_ dtr d& di 如 sm dsm + -COS0HH + 匚dr rd& /3in & 3申dr d d& d d4 d .+ -cb d/ dz d& db d-* rcossui 8$in - dt/ d6dr,IQCOS &、0-a cos 8 srn 0- /-cos6=zfi(sti + cot&cos)r d6/*stti 630恥 -ihr cos6iin 6cosd*+ hTcos &丄 cds-尸他“一-抄

23、r dO/ sin e 3*q addf-dcoscosd+ cm 6cosin &)=- A(cos- cot6sm 0) 徐fd&dsdZ. -16 coi Jin+ /sm coscosdsincos dt ad.1.d+ rsin d :os(/2 nin B$in cos-略in 日$in(/cosficos-CQS0 d / sm 6 drun 6 dckjrd&/sin由此得 小 -tsm e) + 1-兰討 tin 6 &6阳 sm 0 沖/(A /V - j y/AA y/)d rCC0Oj A y/A i/ dr = Jl 12OQOQr jvo37、求一维谐振子处于基态有

24、第一激发态时的能量、坐标几率分布和粒子的最 可几位置。fv-t-2 住r _-J= xcJ打今加“得 T=o r = ldraT = GO轍 節 谯址态波苗数为 (Aj =，2住疋宁槪率密度】呦(町|對|丄=4(/一工2心7山科(工)的表达式可知*云=0,北=8时，(x) = 0 .显然不是垃人JL率的位置1叫(.V)足所求儿率址人的位登可见JC = + = +OL38、求自由粒子的概率流密度并解释结果的意义。先看询(,【)=w(a) exp(u - jr) + v(a) exp(-jx)ep(-/) hhE-pf(,v)exp(/v) + r(x)ep(-lv)exp(-?I)由址可见，其能

25、锻伯为创迢ffik*战此状态为定态亠对于(xJf) = H(x)exp( #。十心怡耳(-，显然有两个可能的能盲低易和 盼 所匕不見定态E对J肖(D= ( t)exp(-j0 ff(v)e:s;P( vO，显糕能帚有个最取值E和-E flHHJ以验订慨率密*址槻率渝密度迢竹阻时训变It.4、设一维势垒宽度为 a，试由不确定性原 理计算粒子的动能的不确定大小。为了更为诗硏地认识隧道效虫在各和势鱼白的:匡穿亍*我将丛聲龙焉方程出咬”诗步计论此类问题*2 錐矩形势垒中粒子的隧道效应龙于一窣拒形勢垒，其英场歪数可以衰冬 为*(0 X a)(v 0 r a)如因1所示.具言一定能量E的粒子由方形势垒左方（1区）向右运动，粒子波匪数所満足的薛定谭方程是g n a)r在x0肉区域内*波函敦妙-九B.严体在0xa的区域内，液萸数始T：召祁+耳占如易看岀此三个玻雷数右边第一项表示右再波，弟二项是tira，日于在xa 葩区域.$无主行渡*囲毘=0 =利可逅函数的芝寒炷可得：在羞=0处：咼亠耳=C+D在 xr 处：Ov+D沖Cekz