36《二元一次方程组》全章复习与巩固(提高)知识讲解(20210112194718)

1、用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解二元一次方程组全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解二元一次方程组及其解的有关概念；2. 掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法;3. 理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4. 掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5. 通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.【知识网络】二元或三元-次方程审找j解；适合b二元一枚方程的一组未知数 的值一解：方程中各个未知数的公共解屮*二元或三元-说方程组列答解定义：仑有两个未知数，并且倉未知数项 的谀数都为1的方程解法:定义：倉育两牛相同未知数的几个一袂方 程组感

2、的一组方程+【要点梳理】 要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.要点诠释：（1 ）在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2） “未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3） 二元一次方程的左边和右边都必须是整式.2. 二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.要点诠释：二元一次方程的每一个解， 都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为x=a的

3、形式.y= b3. 二元一次方程组的定义就组成了一个二元一次方程组.例如，二元一次方程组定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起, 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数3x 4y 5X 2要点诠释:（1 ）它的一般形式为aiX by G（其中a1, aa2x b2yc22，bi,b2不同时为零）.（2 ）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方 程组.（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满

4、足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数 值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.2X y 5 无2x y 6（2 ）方程组的解要用大括号联立；（3） 般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组X y 1解，而方程组的解有无数个.2x 2y 2要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有X （或y ）的代数式表示y （或X），即变成y ax b （或x

5、ay b ）的形式;将 y ax b （或 X ay b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y（或X）,得到一个关于 X （或y ）的 解这个一元一次方程，求出X一元一次方程; （或y）的值;把X （或y ）的值代入y axb （或X ay b ）中，求y （或x）的值;要点诠释：（1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；（2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；（3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个

6、方程，或直接将某一方程代入另一个方程，种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运 算简便，提高运算速度及准确率 .（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：0的数，等式仍然成立”的性质，将 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质,将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将

7、两个未知数的值用“”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加 减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组设未知ft,列方稈组飯学间超 （二元一次方洗组）牌方程組ft入法 tifijL)x要点诠释:理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点:学问趙的解 二无一次方程组的解）要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3 ）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 要点四、三元一次方程组

8、1的方程叫做三元一次方程；1，并且一共有三个方程，像1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 这样的方程组叫做三元一次方程组 .4x3xy z 12,2y z 5,y 5z 1,2a3a7b3c3,1,等都是三元一次方程组4(1) 方程组中的每一个方程都是一次方程；(2) 如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组2. 三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知 数，从而化三元为二元， 然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一

9、个 未知数.解三元一次方程组的一般步骤是：(1)利用代入法或加减法， 把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组， 的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2 )解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3) 将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程， 一次方程；(4) 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5 )将求得的三个未知数的值用“ ”合写在一起.要点诠释：(1) 有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法.(2) 要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一

10、个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解, 只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解.3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤：(1) 数；(2)(3)(4)(3) 要点诠释：(1) 解实际应用题必须写 “答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义， 是否合理，不符合题意的应该舍去.(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一.(3) 一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念消去两组中得到一个一元弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x, y, z)表示题目中的

11、两个(或三个)未知找出能够表达应用题全部含义的相等关系；根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组; 解这个方程组，求出未知数的值；写出答案(包括单位名称).检查求得的结果只有一个解的是(x y 1A.3x 3y 0B. x y 13x 3y 2C.x y3x 3yD.【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解,便得出正确答案【答案】C.【解析】选项A、B、D中，将方程x y1，两边同乘以3xy 13y 33得3x3y 3，从而可以判断A、B选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C.【总结升华】a1x hy

12、q (其中 a1,a2x b2y c2a2, b, , b2均不为零），(1 )当鱼a2a2b2时，方程组无解;C22)a2当鱼色 9，方程组有无数组解;a? bz C2(3)当鱼a2a2，方程组有唯一解.b2举一反三:【变式1】若关于X、y的方程m 1X ylm2是二元一次方程，则m =【答案】1.【变式2】已知方程组X y 5 ax 3y b1有无数多个解,则a、b的值等于【答案】a=- 3, b=- 14.类型二、兀一次方程组的解法y)2.（黄冈调考）解方程组y)52y【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元.仔细观察题目，不难发现，方程 组中的每一个方程都含有（x-y），因此

13、可以把（x-y）看作一个整体，消去（x-y）可得到一个关 于y的一元一次方程.【答案与解析】解：由X 9 得：6（x-y）+9y = 45 X 4 得：6（x-y）- 10y = -12 -得：19y= 57, 解得y= 3.x= 6.把y= 3代入，得所以原方程组的解是【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果.举一反三：X y【变式】（换元思想）解方程组6x y10x y6【答案】解：设y m,6x y10则原方程组可化为5，解得mX y所以6X y10y 18y 20y 19小明和

14、小文解一个二元一次组.亡垃 3苛= 2小明正确解得-1y= - 1小文因抄错了 C,解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值.【思路点拨】把方程求出a与b【答案与解析】弓 代入方程组第一个方程求出 c的值，将x与y的两对值代入第二个 的值，即可求出a+b+c的值.解：把Ml代入cx - 3y= - 2,得 c+3= - 2,解得：c= - 5,把严y=-y= - &分别代入ax+by=2，得a - b=22a -解得: 则 a+b+c=- 5=3- 5=- 2-【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.举一反三:【变式】x y

15、已知二元一次方程组415x y9的解为17x a， y b，则|a b【答案】11.实际问题与二元一次方程组4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面, 求每块地砖的长与宽.地砖的拼放方式及相关数据如图所示,【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系,但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为宽为y，就可以列出一个关于x、y 的二元一次方程组.【答案与解析】解：设每块地砖的长为xcm与宽为ycm,根据题意得:x y 60 y，解得:2x x 3yx 45y 15答：每块地砖长为 45cm 宽为15cm【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的,这就需要

16、我们仔细阅读题目,设法提炼出题目中隐含的相等关系 举一反三：，求图【变式】如图，长方形 ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） 中阴影部分的面积.4,” h _ -迎1,【答案】宽为y，根据题意得:解：设每个小长方形的长为xx 42yy) 23y 7,解得10所以阴影部分的面积为:22(73y) 9xy 22(79) 9 10 3 82.答：图中阴影部分的面积为5.（龙岩）已知：用82.2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货 10吨；用1辆A 型车和2辆B型车载满货物一次可运货 11吨.某物流公司现有 31吨货物，计划同时租用 A 型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆

17、车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3） 若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车 方案，并求出最少租车费.【答案与解析】St 设蒔辆A型咋、B型车都装満物一玄可分a运雷秋Ja椽列方程得:f 2 jf + = 1 t工4对 J 1解方程紅哥I 4L F =斗答：I倘岛墜装満歳物一*用运31输B星车装淸货物一次时运4吨.（2）蚌合題意和捋“4% =歸3 1- *3都是正整数口 =疔 或ft = 4S：育3种粗韦方秦：人型韦2辆戸E丰1 W；A型车5辆尼

18、型车4辅；A型咋1辆,E型耶7辅.（巧 方案 需栩金毋XIOCH仁（M0绚元）方案 需粗金：5XlftO+4X120=QHO元）方穽 需科金:1?80 期 0ja省饯的和方案呆：A型车J WQ型车7蛾fl少村韦费対940 7L.【总结升华】举一反三：【变式1】甲、本题实际上是求二元一次方程组的正整数.乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下:x、y千克，则依据题意得: 则有：30 y 50 ,x y 703x 2.5y189，解得:x 28，经检验满足题意;y 42当0 x 30,y 50，则有:x y 703x 2y 189，解得:X 49，经检验不满足题意;y 21当30 x 50， 答：甲班

19、第一次购买苹果30y 50，则有：2.5 70 175 189，不满足题意.28千克，第二次购买 42千克.【变式2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住 住6人，则有一间只住【答案】解：设该年级有寄宿生5人，则有4人住不下；若每间宿舍4人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数.x人，宿舍x 5y 4x 6 y 349418答年级寄宿厂二兀一次方程组宿舍18间.(2015?宾州)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由21个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖， 配套.【思路点拨】 可设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身， 能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：一共衣身、衣领正好z名工人缝制衣领，才210名工人；小袖购买苹果数不超过30千克30千