2019年四川省凉山州高考数学二诊数学试卷(文科)

1、2019 年四川省凉山州高考数学二诊数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.复数 z=在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合 A= x|x2 1，则下列结论正确的是（C.）D.?A.-2?AB.-2A-2 A-2 A3.执行如图程序框图，则输出的S 值为（）A. 31B. 32C. 62D. 644.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=2xB.C.D. y=4x5. 若点（sin，cos）在角sin2 ）的终边上，则的值为（A.B.C.D.6. 如图是某几何体的三视

2、图，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 4B. 8C. 12D. 167. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， Sm-1=16， Sm=25， a1=1（m2，且 mN），则m 的值是（）A.4B.5C.6D.7第1页，共 17页8.设 p：实数 a，b 满足 a 1 且 b 1，q：实数 a，b 满足，则 p 是 q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设 =，有下面两个命题：p： ?（ x， y）， 2（y+1） 3（x+1qx，y x-2y-3）； ：?（） ，则下面命题中真命题是（A. pqB. pqC. pqD. p1

3、0.已知 3a=5b=15 ，则 a， b 不可能满足的关系是（）A. a+b4B. ab 4C. （ a-1） 2+（ b-1） 2 2D. a2+b2 811. 我们把 F n=+1（ n=0，1，2 ）叫“费马数” （费马是十七世纪法国数学家） 设an=log 2（ F n-1），n=1，2， ， Sn 表示数列 an 的前 n 项之和， 则使不等式成立的最小正整数n 的值是（）A. 8B. 9C. 10D. 1112.f x）是定义在Rfx+2 =f 2-x），当x -20，设函数 （上的偶函数，且（）（， 时，则在区间（ -2， 6）内关于 x 的方程 f（ x） -log8（ x+

4、2 ） =0 解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.已知直线 l1： ax+y+2=0，直线 l2： x+y=0 ，若 l 1l2，则 a=_14.在甲、乙、丙、丁4名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为_15.B（x0， 2）在曲线 y=2sin x（ 0）上， T 是 y=2sin x 的最小正周期，设点A点（ 1， 0），若=1，且 0 x0 T，则 T=_PQ分别是圆x2+（ y-1）2=3和椭圆上的点，则 P， Q 两点间的最大16.设，距离是 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 在 ABC 中， cos

5、A= ， tanB= （ 1）求角 C；（ 2）若=21，求 AC 的长18.设矩形 ABCD 中，AD=4，AB=2，点 F，E 分别是 BC、CD 的中点，如图1现沿 AE 将 AED 折起，使点D 至点 M 的位置，且MEMF，如图 2第2页，共 17页l 的方程；若不存在，请说明理由（ 1）证明： AF平面 MEF ；（ 2）求三棱锥 M -AEF 的体积19. 火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节” 凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区A，B 两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分 （满分1

6、00 分）数据，统计结果如下：A 小区得分范围 /分60 ， 70）70 ， 80）80 ，90）90 ， 100频率0.20.40.30.1（ 1）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求B 小区的平均分；（ 2）若 A 小区得分在 80， 90）内的人数为45 人， B 小区得分在 80， 90）内的人数为 15 人，求在 A， B 两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于90 分的频率20.椭圆长轴右端点为A，上顶点为M， O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且=，离心率为（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）直线 l 交椭圆于P，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点 F 恰为 PQM 的

7、垂心？若存在，求出直线第3页，共 17页21.设函数 f（ x） =x+（x 0）， aR（ 1）当 a=1 时，求 f（ x）的单调区间；（ 2）若 f（ x）存在极值点，求a 的取值范围22.已知直线1 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求直线 l 的普通方程和极坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为（ 2， ），求点 A 到直线 l 的距离23. 已知 f （ x） =|2x+3|-|2x-1|（ ）求不等式 f（ x） 2 的解集；（ ）若存在 xR，使得 f（ x） |3a-2|成立，求实数 a 的取值范围第4页，共 17页

8、答案和解析1.【答案】 D【解析】解：由z=，得复数 z=在复平面内 对应的点的坐 标为（1，-1），位于第四象限故选：D直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数的基本概念，是基 础题2.【答案】 A【解析】解：集合A=x|x 2 1=x|-1 x 1所以 -2? A ，-2 ? A 故选：A根据元素与集合，集合与集合 间的关系进行判断解答本题主要考查元素与集合的关系，属于基 础题3.【答案】 C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1满足条件 k6，执行循环体，S=0+2=2，k=2满足条件 k6，执行循环体，S=2

9、+4=6，k=3满足条件 k6，执行循环体，S=6+8=14，k=4满足条件 k6，执行循环体，S=14+16=30，k=5满足条件 k6，执行循环体，S=30+32=62，k=6此时，不满足条件 k 6，退出循环，输出 S 的值为 62故选：C由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案第5页，共 17页本题考查了程序框 图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题4.【答案】 B【解析】解：由题意可得 e=，即 c=a，则 b=2a，由渐近线方程 y=x，可得 y=

10、x故选：B运用双曲 线的离心率公式和 a，b，c 的关系，结合渐近线方程，即可得到所求本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查离心率公式和基本量a，b，c 的关系，考查运算能力，属于基础题5.【答案】 B【解析】解：点 P（sin，cos）=（，-）在角的终边上，|OP|=1，则 sin，cos，sin2 =2sin cos =2=故选：B利用任意角的三角函数的定义求得 sin ，cos的值，再由倍角公式求 sin2 的值本题考查三角函数的化 简求值，考查任意角的三角函数的定 义及倍角公式的应用，是基础题6.【答案】 C【解析】第6页，共 17页解：如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD ，其

11、中 PA底面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2取 PC 的中点 O，则点 O 是该几何体的外接球的球心OC=PC=2该几何体的外接球的表面积=4R=12故选：C如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD ，其中PA底面 ABCD ，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2取PC 的中点 O，则点 O 是该几何体的外接球的球心求出即可本题考查了四棱锥外接球的表面 积、三视图的有关知 识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.【答案】 B【解析】解：设等差数列 a n 的公差为 d，Sm-1=16，Sm=25，a1=1（m2，且mN），am=Sm-Sm-1=25-

12、16=9=1+（m-1）d，m+d=25，联立解得 m=5，d=2故选：B利用等差数列的通 项公式与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通 项公式及其求和公式、数列 递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】 A【解析】解：当a1 且 b1 时，ab1，a+b 2 成立，即充分性成立，反之当 a=4，b=1 时，满足足但 a1 且 b 1 不成立，即必要性不成立，即 p 是 q 的充分不必要条件，故选：A第7页，共 17页根据不等式的关系， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定 义是解决本 题

13、的关键9.【答案】 A【解析】解：由2（y+1）3（x+1）；得yx+，作出不等式 组对应的平面区域如 图：由图满题题，象知 A （1，2）， 足不等式 2（y+1）3（x+1）；即命 p 是真命平面区域所有的点都在不等式x-2y-3 对应的区域内，即命题 q 是真命 题，则 pq 是真命题，其余为假命题，故选：A作出不等式 组对应的平面区域，利用区域关系判断命 题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系 进行判断即可本题主要考查复合命题真假关系的 应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断命 题 p，q 的真假是解决本 题的关键10.【答案】 D【解析】解：3a=5b=15，a bbb

14、 aa（3 ）=15，（5 ）=15，3ab=15b，5ba=15a，3ab?5ba=15b?15a，aba+b（15） =15，ab=a+b，则有 ab=a+b2，ab，ab 2，第8页，共 17页a+b=ab4，2222（a-1）+（b-1）=a +b -2（a+b）+2 2ab-2（a+b）+2 2，a2+b22ab 8，故D 错误故选：D由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断本题考查了指数幂的运算性 质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题11.【答案】 B【解析】解：把Fn=（， ， ）叫“费马数”（费马是十七世 纪法国数学家）+1 n=0 1 2由于 an=l

15、og2（Fn-1），=，=2n，故：，则：，则：不等式，=成立，当不等式成立 时 n 的最小值为 9故选：B首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂 项相消法求出数列的和，进一步确定 结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用，裂项相消法在数列求和中的应 用，主要考查学生的运算能力和 转 化能力，属于基础题 型12.【答案】 C【解析】第9页，共 17页解：对于任意的 xR，都有 f （2+x ）=f（2-x），f（x+4）=f2+（x+2）=f （x+2）-2=f （x），函数 f（x）是一个周期函数，且 T=4又 当 x-2，0时，xf （x）=（）-1，且函数 f （x

16、）是定义在 R 上的偶函数，且 f（6）=1，则函数 y=f （x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上的图象如下图所示：根据图象可得 y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上有3 个不同的交点故选：C由题意求得函数的周期，根据偶函数的性 质，及当 x-2 ，0时，函数解析式，画出函数 f（x）的图象，根据图象可得 y=f（x ）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上有 3 个不同的交点本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，考 查数形结合思想，属于中档题13.【答案】 -1【解析】解：直线 l 1：ax+y+2=0，直线 l2：x+y=0

17、，若 l1l2，则 1?a+11=0，解得 a=-1故答案为：-1根据两直 线垂直的条件，列出方程求 a 的值 本题考查了两条直 线垂直的应用问题，是基础题14.【答案】【解析】解：在甲、乙、丙、丁4 名同学中 选出两名代表，基本事件 总数 n=，第10 页，共 17页甲当选包含的基本事件个数m=3，甲当 选的概率为 p=故答案为： 推导出基本事件 总数 n=，甲当选包含的基本事件个数m=3，由此能求出甲当 选的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.【答案】 4【解析】解：B（x0，2），A（1，0）， =（1，0）， =（x0，2）， =x

18、0=1，B（1，2）在曲线 y=2sin x（ 0）上，=，kz，0x0T，T1，T=1，2，=，T=4故答案为：4由结积的坐标表示可求 x0，然后由 B 在曲线=1， 合向量数量y=2sin x（0）上，代入可求=结合 0x0T，及周期公，kz，再式可求本题主要考查了正弦函数的性 质及向量数量 积的定义的坐标表示，属于中档试题16.【答案】【解析】第11 页，共 17页解：圆心 C（0，1）到椭圆上的点 Q（2cos，sin ）（0 ，2）的距离d=，当且仅当时取等号P Q间的最大距离是d+r=+=，两点故答案为：圆椭圆上的点 Q（2cos，sin ）（0 ，2）的距离d=心 C（0，1）到

19、=，可得 P，Q 两点间的最大距离是dmax+r本题考查了椭圆的标准方程及其性 质、两点之间的距离公式、三角函数的 单调性与值域，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题17.【答案】 解：（1） 中，cosA=，ABCsinA=， tanA=7 ，tanB= ，tanC=-tan（ A+B） =1，0 C ，C= ；法二： ABC 中， cosA=，sinA=，sinB= ， cosB= ，cosC=-cos（ A+B） =sinAsinB-cosAcosB=，0 C ，C=（ 2）=21，accosB=21，即 ac=35 第12 页，共 17页即由得： a=7， c=5，又 b2=a2+c

20、2-2accosB=49+25-42=32 ，b=4【解析】（1）法一：由已知可求tanA，tanB，然后由 tanC=-tan（A+B ）=可求；法二：由已知可求 sinA，sinB，cosB，然后由 cosC=-cos（A+B ）=sinAsinB-cosAcosB 可求；（2）由已知结合向量数量 积的定义可求 ac，然后由正弦定理可求a，c，再由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB可求 b本题主要考查了同角平方关系，和角的三角公式的应用，向量的数量积及正弦定理余弦定理的 综合应用，属于中档试题18.【答案】 证明：（ 1）由题设知 AMME，又 MEMF ， AMMF =M，ME平

21、面 AMF ，AF ? 面 AMF ， AF ME ，在矩形 ABCD 中， AD=4，AB=2 ，点 F，E 分别是 BC、CD的中点，AE2=42+2=18， EF2=2 2+2=6， AF2=8+2 2=12 ，222AE =EF +AF ， AF EF，ME EF =E， AF平面 MEF 解：（ 2） AF 面 MEF ，VM-AEF=VA-MEF =，在 RtFME 中， ME=，EF=，则 MF =2，SFME = ，又 AF=2 ，三棱锥 M-AEF 的体积 VM -AEF= 【解析】（1）推导出 AM ME ，ME MF ，从而 ME 平面 AMF ，进而 AF ME ，再求

22、出AF EF，由此能证明 AF 平面 MEF2）由VM-AEF =V A-MEF =，能求出三棱锥M-AEF 的体积（本题考查线面垂直的 证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线第13 页，共 17页面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.，【答案】 解：（ 1）设 B 小区的平均分为则 =450.1+55 0.2+65 0.3+75 0.2+85 0.15+950.05=67.5，B 小区的平均分为67.5（ 2） A 小区得分为80-90 分的频率为 0.3A 小区被问卷调查的居民共有=150 人，B 小区得分为 80-90 的频率为0.

23、15，B 小区被调查问卷的居民共有：=100 人，A 小区不低于90 分的居民共有150 0.1=15 人，B 小区不低于90 分的居民共有100 0.05=5 人，所有参加问卷调查的居民中，得分不低于90 分的频率为：=【解析】（1）由频率分布表能求出B 小区的平均分（2）由A 小区得分 为 80-90 分的频率为 0.3求出 A 小区被问卷调查的居民共有 150 人，由 B 小区得分 为 80-90 的频率为 0.15，求出 B 小区被调查问卷的居民共有 100 人，A 小区不低于 90 分的居民共有 1500.1=15 人，B 小区不低于90 分的居民共有 1000.05=5 人，由此能

24、求出所有参加 问卷调查的居民中，得分不低于 90 分的频率本题考查平均分、频率的求法，考查频率分布表、频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是基 础题20.【答案】 解：（ 1）设椭圆的标准方程为+=1，（ ab 0），半焦距为c，则 A（a， 0）， M （0， b）， F （ c， 0），（ c，-b），（ a-c， 0），=，ac-c2=-1，又 e= = ， a2=b2+c2，22a =2， b =1 第14 页，共 17页故椭圆的标准方程为+y2=1（ 2）设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， F 为 PQM 的垂心， MP FQ M（ 0

25、， 1）， F（ 1，0），kMF =-1， kPQ=1，设直线 PQ 的方程为y=x+m，代入到+y2=1 得 3x2+4mx+2m2-2=0 ，22 m且 m1=（4m） -12（ 2m-1） 0，解得 -x1+x2=- m，x1x2=，（ 1-x1， -y1），=（ x2， y2-1）x2-x1x2+y1-y1y2=0，即（ 1-m）（ x1+x2） -2x1x2+m-m2=0由根与系数的关系，得3m2+m-4=0 解得 m=- 或 m=1（舍去）故存在直线l ，使点 F 恰为 PQM 的垂心，且直线l 的方程为y=x- 【解析】设椭圆的标准方程，且=2-1，再根据离心（1），可得 ac

26、-c =率，b2=a2-c2，即可得出（2）假设存在直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，且 F 恰为PQM 的垂心，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=1可设直线 l 的方程为 y=x+m 与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m2-2=0又F 为PQM 的垂心，可得，利用根与系数的关系即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性 质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形垂心的性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题21.【答案】 解：（1）当a=1时， （x）=1+=（ ），fx 0设 g（ x）=x2+1-ln x，则 g（ x）=2x- =（x0），令 g（ x） =0 ，解得： x=，故 g（ x）在（ 0，）递减，在（， +）递增，故 g（ x） g（ ）= -ln 0，第15 页，共 17页故 f（ x） 0 恒成立，故 f（ x）在（ 0， +）递增；（ 2） f（ x）存在极值点，f（ x） =0 在 x0 上有解，即 f（ x） =1+=0 有解，即