自考计算方法(数值分析)：计算方法复习试题

1、第1章 误差一、考核知识点： 误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。二、考核要求： 1知道误差的主要来源，误差传播。2了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。3掌握有效数字，准确数位的求法。三、重、难点分析例1. 近似值的误差限为（ ）。a 0.5 b. 0.05 c 0.005 d. 0.0005.解 因 ，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 。或，其误差限为 所以 答案为b.例2. 已知，求的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限： 所以（绝对）误差限为，也可以取。一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 。

2、相对误差限： 所以，相对误差限例3 .已知 求近似值的误差限，准确数字或有效数字。解 由 误差限为 因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，准确到位的近似数。注意：当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。例4. 已知近似数求的误差限和准确数位。解 因， 所以 准确到 位。准确到位。注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。第2章 插值与逼近一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方程组。二、考核要求：1熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。2了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。3了解最小二乘法的

3、基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的方法。三、重、难点分析例1 已知用线性插值计算，并估计误差。解 取插值节点x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为 故有 误差为 例2已知函数数值表为 1 2 3 1 3 7用抛物插值法求近似值。解 作差商表：一阶差商二阶差商112323741 代入牛顿插值多项式得： 故 例3已知的函数表 x012y8-7.5-18 求在0，2内的零点近似值。解 因为yi关于x严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单，具体作法如下：先作反函数表 x8-7.5-18y012 将节点x0=8,x1=-7.5，x2=-18及对应函数值y0

4、=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得于是得f(x)在0，2内零点值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在a,b上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例4 已知数表：1233.87.210求最小二乘一次式。解 设最小一次式为，由系数公式得： 于是有法方程组 解法方程组得 所以最小二乘一次式 例5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。 解 令 由 得法方程组 解得 所以最小二乘解为 例6 已知插值基函数，证明 ：当时，证明：令 ， 则有 因为，所以。第3章 数值积分一、考核知识点：内插求积公式， 代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项

5、，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。二、考核要求：1知道内插求积公式及其性质，会计算内插求积公式。 2了解代数精度概念，掌握内插求积公式代数精度的判别方法。3熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。三、重、难点分析例1 在区间上，求以为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得 所以求积公式为例2求积公式的代数精确度为（ ）。 解 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。 令，代入内插求积公式得 左边=，右边， 所以 左边=右边 再令，代入内插求积公式得 左边=，右边= 所以 左边右边所以此公式具有

6、3次代数精度。例3 用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解 （1） 梯形公式 因为 ，代入梯形公式得 则 （2） 复化梯形公式 因为 和复化梯形公式得 因为 ， ， 所以 注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。例4 用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 ，使误差小于解 （1） 辛卜生公式 因为，代入辛卜生公式得 4（2） 复化辛卜生公式 因为解不等式 得 ，用，复化辛卜生公式计算得 例5 设为内插求积公式系数 证明 证明：设 ，因为 所以 。第4章 线性方程组直接解法一、考核知识点：简单消元法，主元消元法（列主元消元法），紧凑格式法，矩阵的三角分解。二、

7、考核要求：1了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件2掌握矩阵的三角分解（doolittle分解,crout分解,ldu分解） 3熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式求解线性方程组的方法。三、重、难点分析例1 用列主元消元法的方程组 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得 回代解得 例2将矩阵a进行三角分解（doolittle分解,crout分解,ldu分解） 其中说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在

8、分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。 解： 则矩阵的doolittle分解为 因为对角阵，则所以矩阵的ldu分解为 矩阵的crout分解为例3 用紧凑格式求解方程组 注意：消元过程是解方程组，和回代过程是解方程组。解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为 （2）解方程组（3）解方程组 所以 第5章 线性方程组的迭代解法一、考核知识点：向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，严格对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。 二、考核要求：1了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。2了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛

9、性。3熟练掌握雅可比迭代法，了解其收敛性。4熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性。三、重、难点分析例1 已知向量x=（1，-2，3）,求向量x的三种常用范数。 解 ，例2 证明 证明 因为 所以例3 已知矩阵，求矩阵a的三种常用范数。解 ，例4 已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解 （1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，a为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。待添加的隐藏文字内容2（3）取， 由迭代公式计算得 ， ， ， ， 则 =（， ，）例5 用高斯塞德尔迭代法解方程组 （1）证明高斯塞德尔迭代法

10、收敛（2）写出高斯塞德尔法迭代公式（3）取，求出解 （1）因为a为严格对角占优矩阵，故高斯塞德尔迭代收敛。 （2）对，从第个方程解出，得高斯塞德尔法迭代公式为（3） ， ， ， ， 则=（， ，）第六章 矩阵特征值与特征向量一、考核知识点：乘幂法、逆幂法、雅可比法二、考核要求：1知道乘幂法，逆幂法的基本思想；会用乘幂法求矩阵的特征值与特征向量。 2知道雅可比法的基本思想；会用雅可比法计算对称矩阵的特征值与特征向量。 三、重、难点分析例1 已知，用乘幂法求说明：乘幂法是求实方阵a的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。逆幂法是求实方阵a的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。注意：初始

11、值不能取零向量。解 取，用乘幂法迭代公式，计算如下表 0111133329993272727, 例2 用雅可比法求的全部特征值与特征向量。注意：平面旋转矩阵r的元素的排列顺序和旋转角的确定。解 雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法。， ，所以 ， , , 第七章 非线性方程求根一、考核知识点：区间二分法，弦位法（单点弦法、双点弦法）、切线法、一般迭代法，收敛性。二、考核要求： 1熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。2熟练掌握用单点弦法、双点弦法求方程近似根的方法。了解其收敛性。3熟练掌握用切线性求方程近似根的方法。了解其收敛性。4掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。了

12、解其收敛性。三、重、难点分析例1 证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解 （1）因计算等于求正根，代入切线法迭代公式得 (2) 设，因 所以 在上 由 ，选用上面导出的迭代公式计算得 例2用单点弦法求方程 的最小正根(计算出)解：由于 则 在0，0.5， 由取则单点弦法迭代公式 计算得 例3 用双点弦法，一般迭代法求的最小正根（求出即可）。解 （1）用双点弦法因，故，在上，取 ，用双点弦迭代公式，计算得 （2）用一般迭代法因，故在上将，同解变形为 则 取 应用迭代公式 ，计算得 例4 求方程的根时，用切线法求具有（ ）收敛速度。用单点弦法求具有（ ）收敛速度。用双点弦法求具有（ ）收敛速度。用一般迭代法求具有（ ）收敛速度。第八章 常微分方程数值解法一、考核知识点：欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法，单步法的收敛性与稳定性。二、考核要求：1 熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法求微分方程近似解的方法。2 了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。3 了解单步法的收敛性、稳定性与绝对稳定性。三、重、难点分析例1 用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值问题，在（0.1）0.2近似解解 （1）用欧拉法计算公式，计算得 （2）用预估校正法计算公式计算得 ，例