FIR滤波器的设计毕业设计论文

1、摘 要 21 世纪是数字化的时代，纵观当代通信的发展趋势，已成为引领通信变革的主 潮流。通信是在数字化浪潮的背景下，在计算机技术的应用和信息技术的发展的结 果。数字信号滤波器在各种数字信号处理中发挥着重要的作用，数字信号设计一直 是数字信号处理领域的重要研究课题。近年来，数字信号技术在我国也得到迅速发 展，不论是在科学技术研究，还是在开发等发面，其应用越来越广泛，并取得了丰 硕的成果。 本文主要介绍如何用窗函数法和雷米兹交换法设计 fir 滤波器的的具体步骤与 方法，以及相关数字信号处理的一些具体算法，并在 matlab 环境下进行仿真。 根据仿真运行的结果来说明各项运行指标均达到设计要求。分

2、析和比较两种设计方 法性，以及它们分别所适用的范围，通过设计表达这两种方法的运算简单、精度高、 设计过程简单易行，适合于工程设计。 关键词：fir 数字滤波器 线性相位 matlab 仿真 窗函数 雷米兹法 abstract the 21st century is the era of digital, looking back at the development trend of contemporary communications, has become the main changes leading communications trend. this is the communi

3、cation in the digital wave of context, the application of computer technology and the development of information technology results. digital signal filter in a variety of digital signal processing plays an important role, digital signal design digital signal processing has been an important research

4、 topic in the field. in recent years, digital signal technology in china has been developing rapidly, both in scientific and technological research and development is failing in its application more and more widely, and achieved fruitful results. therefore, this artcle introduced the fir filter may

5、realize the strict linear phase under the window function and remez function, designs gronp of filters coefficients ,vses least squares method to optimize these coefficients .in the foundation which smallest two rides to unify the lagrange law first to restrain the belt is smallest two rides transfe

6、rs asks the condition extreme value ,introduces lagrange to leave the lagrange function while the structure ,then carries on the solution finally the full use data analysis carries on the simulation realization under the matlab environment .thas may know,restraint least squares method designs the fi

7、lter has the algorithm simply. key words: fir digital filter minimum matlab simulation linear phase window function remez function 目 录 摘要i abstract.ii 目录.iii 绪论.1 1 数字滤波器的简介.2 1.1 数字滤波器的介绍.2 1.2 数字滤波器的原理.2 1.3 数字滤波器的设计.4 1.3.1 数字滤波器的设计过程.4 1.3.2 数字滤波器的设计方法.5 2 fir 数字滤波器的基本结构.6 2.1 fir 滤波器的基本结构.6 2.2

8、 最大误差最小化准则.9 3 线性相位的 fir 数字滤波器.12 3.1 线性相位的概念.12 3.2 线性相位滤波器.13 3.3 线性相位 fir 数字滤波器的设计方法.15 3.3.1 雷米兹交换法设计 fir 数字滤波 器.15 3.3.2 fir 数字滤波器的线性规划设计 18 4 线性相位 fir 滤波器的仿真设计.20 4.1 信号处理工具箱中的最优设计函数.20 4.2 matlab 设计 fir 数字滤波器的方 法.21 4.3 线性相位 fir 滤波器的仿真设计22 4.4 线性相位 fir 滤波器的窗函数法的仿真设计23 4.5 线性相位 fir 滤波器的雷米兹交换法的

9、仿真设计.25 4.6 结果分析28 结论.30 致 谢.31 参考文献.32 绪 论 随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理己成为当今一门极其重要的学 科和技术领域，数字信号处理在通信、雷达、军事、航空航天、语音、图像、自动 控制、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。数字滤波器是数字信号处理 的重要基础，在对信号的滤波、检测及参数的估计等信号应用中，数字滤波器是使 用最为广泛的一种线性系统，在研究信号的时候，首先必须考虑噪声的干扰对信号 的传输影响，噪声是一切干扰信号的泛指，有的仅希望最大限度地去除噪声而已， 有的希望在去除噪声时能让滤波器具有线形相位，有的则是强调滤波的实时性，在

10、 设计时针对一些情况，制定有针对性的滤波器，来改善信号的质量。 本文共分为四章，前三章为设计数字滤波器的基础知识，数字滤波器从功能上 分为低通滤波器(lpf)、高通滤波器(hpf)、带通滤波器(bpf)、带阻滤波器(bsf)； 然而数字滤波器的实现方法有很多种，例如 fpga、dsp、matlab 等，本文是利 用 matlab 进行数字滤波器的仿真设计。最后一章是用三种方法设计 fir 数字滤 波器。我们可以得出第一类线性相位滤波器可以用于实现低通、高通、带通和带阻 等各种滤波特性；通过数据和图形分析得出在相同的滤波器抽样响应长度下，如果 在一个频带内赋予了大的加权，那么这个频带内将获得大的

11、衰减。因此，通过调整 加权值，可得到不同的衰减，在通带和阻带都具有较好的性能。 1 数字滤波器的简介 1.1 数字滤波器的介绍 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应 （iir）滤波器和有限长冲激响应（fir）滤波器。iir 系统易取得较好的通带和阻 带衰减特性，一般要求 h（z）阶次要高，即 m 要大。fir 系统有自己突出的优点： 系统总是稳定的，易实现线性相位，允许设计多通带（或多阻带）滤波器，后两项 都是 iir 系统不易实现的。fir 数字滤波器的设计方法有多种，如窗函数设计法、 频率采样法和 chebyshev 逼近法等。随着 matlab 软件尤其是

12、 matlab 的信号 处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以 使设计实现最优化。 1.2 数字滤波器的原理 数字滤波器可分为 fir（有限脉冲响应）和 iir（无限脉冲响应）两种。iir 滤 波器的系统函数是两个 z 的多项式的有理分式，而 fir 滤波器的分母为 1，即只有 一个分子多项式。 数字滤波器的理想幅频特性如图 1-1 所示。在 0 到的全部频段上，其幅值为 1 的区域为通带，其余为阻带，即其幅值为 0。根据 wc1和 wc2取值不同可分为 4 种 类型： （1） 低通滤波器，当 wc1=0 时； （2） 高通滤波器，当 wc2=时； （3） 带

13、通滤波器，当 wc1及 wc2如图 1-1 所示时； （4） 带阻滤波器，当0,wc1及wc2,1区间幅度为 1，wc1,wc2区间幅度为 0 时。 图 1-1 理想幅频特性 有些情况下，还对滤波器的相位特性提出要求，理想的是线性相位特性，即相 移与频率成线性关系。 实际的滤波器不可能完全实现理想幅频特性，必有一定误差，因此要规定适当 的指标。 低通滤波器在0，的通带区，幅频特性会在 1 附近波动；在1 的 p w 1 s w 阻带区，幅频特性不会真等于零是一个大于零的值；在, 之间，为过渡 2 p w s w 区；这三个与理想特性的不同点就构成了滤波器的指标体系。即通带频率和 p w 通带波

14、动，阻带频率和阻带衰减。 s w 1 2 在许多情况下，人们习惯用分贝为单位，定义通带波动为（分贝）阻带衰减 p r 为（分贝） 。 s r (1-1) （1- 1） 对于带通滤波器，范围为,；对于带阻滤波器，应表为。 p w 1p w 2p w s w 12 , ss ww 其他复杂形状的预期特性通常也可由若干理想的幅频特性叠合构成。 fir 数字滤波器最大的优点是容易设计成线性相位特性，并且具有稳定性。 0 1 log20, 0 1 1 log20 1 2 10 1 1 10 sp rr 1.3 数字滤波器的设计 (1) 确定技术指标 在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤

15、波器的技术指标。 在很多实际应用中，数字滤波器常被用来实现选频操作。因此指标的形式一般 在频域中给出幅度和相位响应。幅度指标主要以两种方式给出。第一种是绝对指标。 他提供对幅度响应函数的要求，一般应用于fir滤波器的设计。第二种指标是相对 指标。他以分贝值的形式给出要求。 (2) 逼近 确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型（通常采用理想的 数字滤波器模型） 。之后，利用数字滤波器的设计方法（窗函数法、频率采样法等） ， 设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。 (3) 性能分析和计算机仿真 上两步的结果是得到以误差或系统函数或冲激响应描述的滤波器。根据这个描 述就可以分析其频

16、率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利 用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果。 1.3.1 数字滤波器的设计过程 （1）按照实际需要，确定滤波器的性能要求。通常是在频域中给定数字滤波 器的性能要求。通带截止频率在通带内幅度响应以的误差接近于 1，即 1 （1- 2） 为阻带起始频率，在阻带内幅度响应小于的误差接近于零，即 s 2 （1- 2 () j h e s 3） c 11 1()1 j h e 为了使逼近理想低通滤波器的方法成为可能，还必须提供一宽度为的不为零 sc 的过滤频带。在这个频带内，幅度响应从通带平滑地下落到阻带。 这里（）指的是数字域频率，或者说是沿

17、单位圆周的相角变化。, cs 相位特性受到稳定性和因果性要求的限制（即要求系统函数的极点必须位于单 位圆内部） 。 （2）寻找满足预定性能要求的离散时间线性系统。iir 函数是的有理函数。 1 z fir 滤波器的系统函数是的多项式。这样，滤波器的设计问题，变成了一个数字 1 z 逼近问题，即用一个因果稳定系统函数去逼近给定的性能要求，以确定滤波器系数。 （3）用有限精度的运算来实现设计的系统。包括选择运算结构，滤波器的系 数，输入变量，中间变量，和输出变量。 （4）通过模拟，验证所设计的系统是否符合给定性能要求。根据这步的结果 决定是否对第二步和第三步作修改，以满足技术的要求。 1.3.2

18、数字滤波器的设计方法 设计 fir 数字滤波器的基本方法有窗函数法、频率取样法和等波动最佳逼近法， 这些方法主要是针对选频型滤波器（低通、高通、带通和带阻滤波器）的设计，这 种滤波器的设计指标是类似的，典型的指标为通带波动和阻带衰减。在 fir 数字滤 波器的设计中，还会涉及微分器和希尔伯特变换器之类的系统，这类非选频型滤波 器的设计也遵循以上方法，更完善的设计则是基于任意频域指标的。数字滤波器的 设计方法很多，大多数方法都在计算的复杂性和满足设计滤波器的指标两个问题间 取得折衷。fir 滤波器的设计法方法可以分为以下几种：（1）频率采样法， （2）窗 函数法， （3）雷米兹交替算法等。 2

19、fir 数字滤波器 2.1 fir 滤波器的基本结构 在讨论任何一种滤波器时，都要着重分析其系统函数，fir 滤波器的系统函数 为： 。从该系统函数可看出，fir 滤波器有以下特点： n n n znhzh 1 0 )()( 1) 系统的单位冲激响应 h(n)在有限个 n 值处不为零； 2) 系统函数 h(z)在|z|0 处收敛，极点全部在 z=0 处(稳定系统)； 3) 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中(例如频 率抽样结构)也包含有反馈的递归部分。 fir 滤波器基本分为以下几种类型 (1) 横截型（卷积型、直接型） a) 一般 fir 滤波器的横截型(直接型、卷积

20、型)结构： 若给定差分方程为： 。 则可以直接由差分方程得出 fir 滤波器结构如下图所示： 图 2-1 差分方程得出 fir 滤波器结构图 这就是 fir 滤波器的横截型结构，又称直接型或卷积型结构。 b.线性相位 fir 滤波器的横截型结构 若 h(n)呈现对称特性，即此 fir 滤波器具有线性相位，则可以简化成横截型结 构，下面分情况讨论： n 为奇数时线性相位 fir 滤波器实现结构如图 2-2 所示： 图 2-2 奇数时线性相位 fir 滤波器实现结构如图 n 为偶数时线性相位 fir 滤波器实现结构如图 2-3 所示 图 2-3 偶数时线性相位 fir 滤波器实现结构图 我们知道

21、iir 滤波器的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非 线性的，若需要线性相位，则要用全通网络进行校正，比较麻烦，而 fir 滤波器的 优点是可以方便地实现线性相位。 (2) 级联型 将 h(z)分解为若干个实系数一阶或二阶因子相乘： （2- 1） 实现结构如图 2-4 所示： 图 2-4 级联型实现结构如图 l k kk zzhzh 1 2 , 2 1 , 1 )1 ( 0 )( 11 21 l1 l2 12 22 xkyk 1 z 1 z h0 1 z 1 z 1 z 1 z 该结构图中有 2l=m 个延迟器，2l+1=m+1 个乘法器，2l=m 个加法器。 分析 h(z)及结构

22、图可以得出级联型的特点： 每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点。 系数比直接型多，所需的乘法运算多。 (3) 频率取样型 若 fir 滤波器的冲激响应为有限长(n 点)序列 h(n)，则有如图 2-5 所示的关系： 图 2-5 fir 滤波器的冲激响应为有限长序列关系图 因此，对 h(n)可以利用 dft 得到 h(k)，然后利用内插公式： 来表示系统函数，这就为 fir 滤波器提供了另外一 种结构：频率抽样结构 其中级联的第一部分为： 这是一个梳状滤波器，它滤掉了频率 及其各次谐波。 级联的第二部分为 n 个一阶网络并联而成，第 k 个一阶网络为： ，2l+1=m+1 个乘法器，

23、2l=m 个加法器 它在单位圆上有一个极点： 由上叙的理论分析基础可以得到 fir 滤波器的频率抽样结构。 fir 滤波器的频率抽样结构如图 2-6 所示： 图 2-6 fir 滤波器的频率抽样结构如图 频率抽样结构的特点是它的系数 h(k)就是滤波器在 处的响应，因此控 制滤波器的频率响应很方便。 频率抽样结构存在问题的问题是：在有限长情况下，系数量化后极点不能和零 点抵消，使 fir 系统不稳定。 (4) 快速卷积结构 若 fir 滤波器的单位冲激响应 h(n)是一个 n1 点有限长序列，输入 x(n)是一个 n2 点有限长序列，那么输出 y(n)是 x(n)与 h(n)的线性卷积，它是一

24、个 ln1+n2-1 点的有限长序列。 我们知道，将 x(n)补上 ln2 个零值点，将 h(n)补上 ln1 个零值点，然后 进行 l 点圆周卷积，就可以代替原 x(n)与 h(n)的线性卷积。 而圆周卷积可以用 dft 和 idft 的方法来计算，这样我们得到 fir 滤波器的快 速卷积结构： 图 2-7 fir 滤波器的快速卷积结构图 这里 dft 和 idft 都将采用快速傅里叶变换算法，当 n1 和 n2 足够长时，比 直接计算线性卷积要快得多。 2.2 最大误差最小化准则 在滤波器的设计中，通常情况下通带和阻带的误差要求是不一样的。等波纹最 大误差最小化准则就是通过对通带和阻带使用

25、不同的加权函数，实现在不同频段 （通常指的是通带和阻带）的加权误差最大值相同，从而实现其最大误差在满足性 能指标的条件下达到最小值。 （1） 加权切比雪夫逼近误差及交错定理 线性相位 fir 根据单位抽样响应 h(n)的奇偶对称性以及 h(n)的长度 n 的奇偶性， 总共可以分为四种类型。尽管如此，fir 的频率响应依然可以采用如下的统一形式 来表示： (2-2) (1) 2(2) ()( ) jj njk d h eeeh 其中：为幅度函数，它是一个可正可负的纯实数。利用三角恒等式 0,1 ,( ) d kh 知识和交错定理可得： (2-3)( )( ) ( )hqp 在 fir 的四种类型

26、中：加权切比雪夫误差公式可定义为： (2-4)( )( )( )( ) d ewhh 其中： 为加权误差，为逼近误差加权函数，为理想幅度函数，( )e( )w( ) d h 为实际滤波器幅度函数。将(2)式带入(3)式并令：( )h ( )( ) ( ),( )( )( )d d wwqhhq 经推导可得： （2-( )( )( )( )ewhp 5） （2-4）公式也是最终的加权切比雪夫逼近误差函数公式。那么线性相位 fir df 的 加权切比雪夫等波纹逼近问题实际上就是求解表达式的问题，从而使得在实行( )p 逼近的频率范围内的最大绝对值达到最小。在此定义该最小值表达式为：( )e （2-

27、( )min max() j ee e 6） a 为实行逼近的频带。为了求解(25)式，parksmccllan 把逼近理论中的交错点定 理应用到滤波器设计中，从而得出了如下的交错定理： 设是个 r 余弦函数的线性组合，即：( )p （2- 1 0 ( )( )cos() r n pa nn 7） a 是内所研究的一个闭子集， 是 a 上的一个连续函数，则在0( )h ( )p a 内能够最佳并且唯一地逼近的充要条件是：加权切比雪夫逼近误差函数( )h 在 a 中至少 r+1 个极值点，即在 a 中存在共 r+1 个频率点，( )e 21r l 各频率点均满足关系式： （2-8） 1 ()()

28、( ) ()( )1,2 max ii i a eee eeir 3 线性相位 fir 数字滤波器 3.1 线性相位的概念 数字滤波器的频率响应可以由幅值表示。如果数字滤波器的相位响应满( )h 足条件，那么称该数字滤波器是线性相位。 式中是一个常量。如果是正数，那么该系统延迟信号；否则就是一个超前 系统，此时相位是频率的线性方程，可以归为的形式，其中斜率为，ymxb 截距。假设正弦曲线的频率为，即周期为，其中 因为一个周期0b 0 0 t 对应于，所以相位改变对应于延迟。同样 , 如果，那么2 0rad 00 对应的延迟时间为 ，可见延迟时间和频率无关。 因此如果数字滤波器满足线性相位条件，

29、那么所有频率分成的延迟量是一样的。 这意味着滤波后的输出只是输入信号的一个简单的延迟信号。从另一方面来讲，如 果滤波器不具有线性相位，那么输入信号的不同频率成分延迟量是不同的，这将会 导致输出信号的失真，在实际设计中通常要回避这种情况。 如果系统的频率响应为.那么其幅值响应是 1,相位响应是( ) j he ,表明是线性相位的。假设,那么它只是起到延迟的作用，其相 ()rad 2 ( )h zz 位响应只画出了区间内的相位，这也导致了原本是线性的相位出现了弯折。(, ) 下面考虑给出了频率响应的情况，给定 （3- ( )( ) j heg 1） 式中是实数。既然是实数，所以它只会影响输入信号的

30、幅值大小，( )g( )g 而仅仅使输入信号产生相移。如果。相位，那么系统是一 j e ( )0g( ) 个线性想一系统。如果，相位，那么这种情况下，延迟时( )0g( ) 间和频率是有关的。从上面给出的线性相位的定义的角度来说，该系统不是严格意 义上的线性相位系统。但是可以将上面的式子写成。这样一来( )( ) j heg 0 00 2 tt 0 00 2 tt 0 0 2 t 中括号里的函数就变成了线性相位，此时波纹不再失真，负号只要将波纹沿纵轴反 转即可。但是如果会改变符号，那么波纹就可能失真。只改变水平轴附( )g( )g 近的符号，即阻带内的符号，此时阻带内的信号极大地衰减。所以信号

31、通过一个频 率响应系统时，通带内信号没有产生任何失真。这样的系统也常常称为线性相位系 统。这里顺便要指出的是模拟滤波器不可能有线性相位特性，只可能在很小的一个 频带内近似地认为是线性相位。 3.2 线性相位滤波器 可以很容易设计出满足线性相位特性的 fir 滤波器，这使得 fir 滤波器得到广 泛应用。如前所述，fir 滤波器肯定是稳定的。另一方面，线性相位 iir 滤波器的 设计就不那么简单了，而且通常只能使它在一定的频带频率范围内满足线性相位性 质。虽然如此，但是 iir 也有比 fir 优越的方面，那就是当 iir 滤波器和 fir 滤波 器具有相同幅值响应时，前者所有的系数少很多。 假

32、设一个因果 fir 滤波器同（如下 式中滤波器的长度为，为 12 ( )(0)(1)(2)() m h zhhzhzh m z 1m ( )h i 滤波器系数。以下表明滤波器的线性相位特性可以通过滤波器系数成偶数对称或奇 数对称的。系数偶对称意味着，系数奇对称意味着( )()h nhmn 。( )()h nhmn 令，此时就有六个系数，假设这些系数是偶数对称的，如下面关系式，5m 其中所以其脉冲响应关于点 n 对称。(0)(5), (1)(4), (2)(3)hhhhhh。 （3- 2） 5 2 2 0 5 2( )cos 2 j i eh ii 5 2 531 (2 (0)cos()2 (1

33、)cos()2 (2)cos() 222 j ehhh 5553311 2222222 ( (0)(1)(2) jjjjjjj eheeheehee 22345 (0)(1)(2)(2)(1)(0) jjjjj hhehehehehe 22345 ( )(0(1)(2)(3)(4)(5) jjjjj hhhehehehehe 对于 m 为奇数的一般情况，有以下结论： （m 是奇数，系数偶对称）firi （3- 1 2 2 0 ( )2( )cos 2 m m j i m heh ii 3） 注意到求和号后每项都是实数，所以式（3-3）和（3-2）具有相同形式，所以 fir-1 滤波器是线性相位

34、的。 令，此时就有七个系数，而且是对称的。此时的频率响应变为6m 23456 ( )(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6) jjjjjj hhhehehehehehe 23456 (0)(1)(2)(3)(2)(1)(0) jjjjjj hhehehehehehe 33322 ( (3)(0)(1)(2) jjjjjjj ehheeheehee 3 ( (3)2 (0)cos(3 )2 (1)cos(2 )2 (2)cos( ) j ehhhh （3- 2 3 0 ( (3)2( )cos(3) ) j i ehh ii 4） （m 为偶数，奇数偶对称）firii （3- 5） 那么当奇数

35、奇对称时，对于，假设系数如图所示，此时符号发生改变，5m 这导致了分子中的余弦函数被替代。下面给出了通用公式： （m 为奇数，系数奇对称）firiii （3- 6） 2 2 0 ( )2(2( )cos() ) 22 m m j i mm hehh ii 1 2 22 0 ( )2( )sin() 2 m m j i m heh ii 因为 m 是奇数，所以系数的中心应该是本身的负数，所以必须等于( )h n() 2 m h 0。对于，通用公式应该为6m （3- 7） fir-iii 和 fir-iv 滤波器和等式的形式不同，所以不是线性相位的。这种滤波 器的相位响应为。相应响应的滤波器常常称

36、为广泛线性相位。( ) 22 m （3- 8） 或是这一情况的特例，此时的滤波器就变成前面讨论的线性相位了。广泛0 线性相位滤波器在许多场合有广泛应用，包括窄带滤波器以及通讯信号的解调。这 些滤波器有固定的群延迟或时间延迟，其定义如下： （3- 9） 3.3 线性相位 fir 数字滤波器的设计方法 最优设计就是充分利用技术指标来进行设计。误差容限设计低通滤波器，要求 在频带内以最大误差逼近 1，在频带内以最大误差逼近0 c 1 s 2 零位。我们将一要求表示为加权逼近误差函数的形式。并且使用最大误差最小化准 则将其描述为切比雪夫逼近问题。最优线性相位 fir 数字滤波器的设计就是要设法 求得切

37、比雪夫逼近的最优解的滤波器的系数。人们在寻求最优化设计上做了大量的 工作。1970 年发表了非线性方程的方法求解切比雪夫逼近的最优解。1971 年出现 了更好的拉格朗日内插多项式求解法。到了 1973 年又找到了雷米兹算法求解加权 误差的方法。非线性方程解法及多项式内插法，之适用于设计那些误差极值点数目 为最大可能性的滤波器，也即最多波纹滤波器。同时由于 n，是固定的，所以 12 , 滤波器的频带边缘不能预先规定，需在最后的解求得以后，才能计算出来。(,) cs 1 2 22 0 ( )2( )sin() 2 m m j i m heh ii ( ) 2 m ( )( ) d d 它可用来设计

38、任何最优（最大误差最小化）线性相位 fir 滤波器。此外，目前还有 线性规划技术设计方法，下面对雷米兹算法及线性规划技术设计法分别加以介绍。 3.3.1 雷米兹交换法设计 fir 数字滤波器 雷米兹交换算法是为了在 n 固定时，能控制和的需要而产生的。前面已 c s 将最优线性相位 fir 滤波器的设计问题描述为切比雪夫逼近问题，逼近函数是 r 个 独立的余弦函数之和。交替定理给出了加权逼近误差函数的一组必要充分条件，使 逼近成为所需频率响应的唯一最好逼近。( ) d h 基于交替定理的最优 fir 滤波器的设计程序的主要步骤： （1） 输入部分：规定所需要的频率响应为，加权函数和滤波器( )

39、 d h( )w 的长度 n。 （2） 用公式表示逼近问题，即形成。( )( )dhwp 和 （3） 用雷米兹多次交换算法，求逼近问题的解。 （4） 计算滤波器的单位取样响应。 第一步设计滤波器算法，表达所要求设计的滤波器的类型和必须满足的性能要 求。第二步在前面切比雪夫加权逼近已提及。第三步用雷米兹算法求逼近问题的解。 需要指出的是，在整个程序中，雷米兹算法是作为一个子程序出现的，在调用该子 程序以前，主程序已完成了以下几点。 读输入数据（滤波器的技术规格） 根据滤波器的类型和长度确定了逼近函数 cos 的个数 r 用密集的格点代替了频率区间。确定了两格点间的距离为（0） 因而总格点数等于（

40、n+1）格点密度/2，并给所有下标格点赋上了标称频率 值。 调用了子程序 eff 和 wate 计算各格点频率上所要求的函数值和加 d( ) h 权函数值.( )w （滤波器长度n +1） 格点密度逼近函数cos的个数r 对情况1为 2 根据四种情况统一的公式将、，变成了。 d( ) h( )w( )( )dhw 和 根据交替定理，建立了一组等间隔的极值频率初始值。 等波纹的误差曲线是在多次迭代中形成的。雷米兹迭代计算是从（r+1）个极 值频率的初始假设值开始的。第一次迭代的（r+1）个极值频率是 k (0,1,)kr 按等间隔假设的，这些频率位于区间内，并且由于和是0 cs 和 c s 固定

41、的，所以中的某一频率，即。假定这些频率点上的 c 1 (0), clsl lr 误差函数的数值为，其符号为正负交替。这就是说根据问题的原始要求，对于给 定的一组极值频率，需要求以下方程 k (0,1,)kr ()()()( 1)k kkk whp 0,1,kr 1 0 ()( )cos() r kk n pa nn 式中 0 1 r k i ki i k xx （3- cos ii x 10） 计算出以后，确定出 r 个极值频率上的值 011 , r ( )p k c （3- ()( 1) () k kdk k ch w 0,1,1kr 11） 利用拉格朗日内插公式得出 1 0 1 0 ( )

42、 r k k k k r k k k c xx p xx 式中 （3- 1 0 1 cos r k i ki i k xx x 12） 要注意也可以内插到( )p （3- 13） 求出的内插值以后，在根据公式( )p (3-14) 在密集的频率组上计算值。若在改频率组的某些频率上，则选择( )e( )e （r+1）个新的频率作为可能的极值点，新的频率就选所得误差曲线上那些峰值点 频率，然后重新计算这些点上的误差函数值。作为这次迭代寻找新的 r+1 个误差 最大点的比较标准，看在这些频率上计算值。为求那些峰值点，应在通带和( )e 阻带上把频率分点取得更密一些，以便在这些细分点上搜索出峰值点。如

43、果在任一 次迭代中的极值点多于（r+1）个，就保留值最大的（r+1）个频率作为( )e( )e 下一次迭代的假设极值点。随着迭代次数的增加，极值频率的位置逐次向最佳位置 上调整，一直重复到与其前一个值相同为止，最后一次迭代的结果对应于问题的 解。此时误差曲线上每个格点频率处的误差值都满足，r+1 个极值频率处( )e 的，并且具有正负交替的符号，这标志着加权切比雪夫等波纹逼近误差 max ( )e 已经形成，最佳逼近找到了。 在每次迭代中都是将，定位极点频率中的两个频率。 c s 若最后得到的,并且规定加权函数为 2 ( )e （3- 15） 则在通带内值逼近，在阻带内值逼近于。由雷( )(

44、) d hh 1 ( )( ) d hh 2 米兹迭代算法最后所求得值是要求的最小值。( )e 2 如果要求的和值是已知的，则计算滤波器时可以固定，改变，重复 1 2 c s 2 1 ( ) 1 w 当在通带中 当在阻带中 ()( 1)() r d rr hw ( )( )( )( )dewhp 进行以上迭代计算，直至得出要求的和值。过度区宽度出现的局部极小值， 1 2 曲线上的这些点相当于超波纹滤波器。极小值之间的所有点对应于按交替定理为最 优的滤波器。 第四步求滤波器的单位取样响应。在区间的个等间隔的频率点上计算02m 值，利用 idft 求得，最后，根据四种线性相位滤波器的不同情况，求(

45、 )p( )a n 出于 a(n)相应的单位取样响应 h(n)。于是满足预定要求的最优线性相位 fir 滤波器 被唯一确定。 根据上述原理，已编出一个通用的线性相位 fir 滤波器的设计程序。此程序的 内部接口，用于设计多频带通带阻滤波器（包括低通、高通、带通和带阻滤波器） ， 微分器，希尔伯特变换器。 3.3.2 fir 数字滤波器的线性规划设计 fir 线性相位滤波器是对所有，误差函数的最大值极小化的滤波器。可( )e 以用一组线性不等式描述这个最大值极小化问题 （3- i w()() ii p d （）h i f 16） 这里表示最大误差，f 为要进行逼近的频带中的一组密集，为 r 个余

46、弦( )p 函数的线性组合。将上式写成线性规划的形式为 （3- 17） 可以用线性规划技术解上述不等式组，但要比雷米兹法慢得多。用线性规划法设计 对频域和时域都有约束的滤波器是唯一简单的方法。 1 0 1 0 ()( )cos()()() ()( )cos()()( ) r iiidi m r iiid m wa mmwh wa mmwh i f 4 线性相位 fir 滤波器的仿真设计 4.1 信号处理工具箱中的最优设计函数 要构成完整的最优等波动滤波器设计的程序，除了最小最大波动公式外，还有 许多实际问题要考虑。 （1） 滤波器长度 n（或阶数 m=n-1）如何确定？ （2） 极值数目的确定

47、。最优等波动滤波器的误差函数在上有（l+2）或 （l+3）个极值。大多数等波动滤波器有（l+2）个极值。但是对于某些的组 ps ， 合，可能得到有（l+3）和极值的滤波器。此处 l=floor(n-1)/2)。 （3） 如何建立进行频率修正的算法，在程序中可以自动进行反复的迭代修正， 直到要求的精度为止。 把最优等波动算法和上述的工程问题组合在一起，才能形成完整的设计算法， 交替定理保证最大最小逼近问题的解存在并且惟一，但它并没有说明最优得到这个 解，既不知道阶数 n(或 l)，也不知道极值频率和最大误差。滤波器技术指标 i 中给出了，因此需要设定 n 的值。凯泽提出了以个简单的公式来逼近 1

48、,2s , p 和 n。 （4- 1） 这种算法首先猜设（l+2）个极值频率，估计这些频率上的最大误差，接 i 着按给定的各点，你和一个 l 阶多项式，然后在一个较细的网格上确定局部极大误 差及其极值频率，由这些新频率点你和出一个新的 l 阶多项式，重复以上过程。 i 一直进式系数 d(n),并最后算出滤波器脉冲响应 h(n)。 由于 n 是近似的，最大误差可能不等于。如果出现这种情况，需要增加 2 n 或减小 n，再次用 remez 算法确定一个新的。重复此过程。这样就得到了等波 动滤波器。 在 matlab 中，实现算法的函数为 remez，它最常用的句法为： ( , ,)hremez m

49、 f a weights ftype 它由几种调用形式： ：设计一个 m 阶 fir 数字滤波器，它的频率响应在数组 f ( , )hremez m f a 和 a 中给定。长度为 n 的数组 h 是返回的滤波器系数。数组 f 单位为，即 。其中包含各边缘频率，这些频率必须以递增次序排列，从 0 开始，到 101f 结束。数组 a 为各定频率上预期的幅度响应。f 和 a 的长度必须相等且为偶数（频 率成对出现） ，形成依次的关心频带和不关心频带。每个关心频带中所用的权函数 等于 1，这说明在每个频带中的容限是相同的。() i 1012 20log13 1, 14.62 sp nf f ：与上述

50、情形相似，数组的长度是 f 的一半，它是 ( , ,)hremez m f a weights 每个关心频带的权函数。 ：与第一种情形类似，不过加了一个滤波器类型作为 ( , ,)hremez m f a ftype 输入变元。此函数响应的设计数字希尔伯特变换器或数字微分器。 ：与上述类似，只是由数组指定每个频带的 ( , ,)hremez m f a weights ftype 加权函数。 正如在讨论 parks_mcclellan 算法中指出的，为了使用程序 remez,首先必须假 设滤波器的阶数，得到数组 h 中的滤波器系数后，还必须检查最小阻带衰减，并与 给定的比较，然后增加（或减少）

51、滤波器的阶数。重读此过程直到得到期望的。 s a s a 4.2 雷米兹法设计 fir 数字滤波器的方法 信号处理工具箱采用 remez 算法实现线性相位 fir 数字滤波器的等波纹最佳一 致逼近设计。与其他设计法相比，其优点是，设计指标相同时，使滤波器阶数最低； 或阶数相同时，使通带最平坦，阻带最小衰减最大；通带和阻带均为等波纹形式， 最适合设计片段常数特性的滤波器。其调用格式如下： b=remez(n,f,m,w,ftype) 其中，w 和 ftype 可默认。b 为滤波器系数向量，调用参数 n,f,m 的含义与函 数 fir2 中类同，但这里有一点不同，期望逼近的频幅响应值位于 f(k)

52、与 f(k+1) （k 为奇数）之间的频段上，而 f(k+1)与 f(k+2)之间为无关区。w 为加权向量，其 长度为 f 的一半。w(k)为对 m 中第 k 个常数片段的逼近精度加权值，w 值越大逼近 精度越高。rtype 用于指定滤波器类型。 remezord 函数用于估算 fir 数字滤波器的等波纹最佳一致逼近设计的最低阶数 n，从而使滤波器在满足指标的前提下造价最低。基本调用格式如下： n,fo,mo,w=remezord(f,m,dev,fs) 其返回参数供 remez 函数使用。设计的滤波器可以满足由参数 f,m,dev 和 fs 指定的指标。f 和 m 与 remez 中所用的类

53、似，这里 f 可以是模拟频率(hz)或归一化 数字频率，但必须以 0 开始，以 fs/2(用归一化频率时为 1)结束，而且其中省略了 0 和 fs/2 两个频点。fs 为采样频率，省略时默认为 2hz。 dev 为各逼近频段允许的幅频响应偏差（波纹振幅） 。 remez 函数可直接调用 remezord 返回的参数，使用格式如下： b=remez(n,fo,mo,w)。 4.3 线性相位 fir 滤波器的仿真设计 设计一个 fir 线性相位系统 h=3,-1,-5,4,6,4,-5,-1,3, 程序及运行结果如下： functiona,w,type,tao=amplres(h) h=3,-1,

54、-5,4,6,4,-5,-1,3; m=length(h);tao=(m-1)/2; l=floor(m-1)/2); n=1:l+1; w=0:500*2*pi/500; if all(abs(h(n)-h(m-n+1)1e-10) a=2*h(n)*cos(m+1)/2-n)*w)-mod(m,2)*h(l+1) type=2-mod(m,2) elseif all(abs(h(n)+h(m-n+1)1e-10) type=4-mod(m,2); else error end h=3,-1,-5,4,6,4,-5,-1,3; m=length(h);n=0:m-1; subplot(2,1

55、,1),stem(n,h); ylabel(h(n) );xlabel(n); subplot(2,1,2),plot(w/pi,a); ylable(a);xlabel(pi); matlab 命令窗显示： type=1 图 4-1 原始与输出信号 4.4 线性相位 fir 滤波器的窗函数法的仿真设计 这种方法也称为傅立叶级数法。其设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出 理想数字滤波器的单位抽样响应 hd(n)，然后时域移位并加时间窗 w(n)对其截断， 从而求得 fir 滤波器的单位抽样响应 h(n)； （4- 2） 在设计过程中，将无限长序列变为有限长是通过时域加矩形窗乘积实现数据的 截

56、断的。时域乘积对应了频域卷积，从而对频响特征发生的改变。常见的窗函数有： 矩形窗、三角形(bartlertt)窗、汉宁(hanning)窗。海明(hamming)窗、布拉克曼 (blackman)窗、凯泽(kaiser)窗等，下面介绍几种常用的窗函数： )()()(nwnhnh d （4- 2/sin/ )2/sin()( w: )(w)()(w: )()( 2/ )1( 1 0 wwnw ewenwe nrnw r njw r jw n n jw r n 幅度函数 窗谱 3） 设计一个窗函数线性相位 fir 滤波器，程序及运行结果如下： omegac=0.37; n=81; m=(n-1)/

57、2; n=0:2*m+10; h=omegac/pi*sinc(omegac*(n-m)/pi); w=ones(1,n) zeros(1,length(n)-n); hd=h.*w; omega=-pi:2*pi/300:pi; hd=freqz(hd,1,omega); plot(omega,abs(hd); 图 4-2 输出信号 4.5 线性相位 fir 滤波器的雷米兹交换法的仿真设计 用函数 firs 和 remez 设计一个 50 阶 fir 多通滤波器，滤波器理想频率响应为： f=0 0.1 0.15 0.25 0.3 0.4 0.45 0.55 0.6 0.7 0.75 0.85

58、 0.9 1 , a=1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1;将设计的滤波器的幅频响应和理想滤波器幅频响应进行 比较。 %samp clf;n=20; f=0 0.3 0.4 1; a=1 1 0 0; b=firls(n,f,a); h,w1=freqz(b); bb=remez(n,f,a); hh,w2=freqz(bb); figure(1) plot(w1/pi,abs(h),w2/pi,abs(hh),r:); xlabel(归一化频率);ylabel(振幅); legend(firls,remez); grid on; figure(2) fs=50;t=0:1/

59、fs:2; f1=5;f2=15; x1=sin(2*pi*f1*t)+8.*cos(2*pi*f2*t); subplot(2,1,1),plot(t,x1) title(原始信号) y1=filter(b,1,x1); y2=filter(bb,1,x1); subplot(2,1,2),plot(t,y1,t,y2,r:) legend(firls,remez); title(输出信号) xlabel(时间/s) 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 一 一 一 一 一 一 一 firls remez 图 4-

60、3 幅频特性 00.20.40.60.811.21.41.61.82 -10 -5 0 5 10 一 一 一 一 00.20.40.60.811.21.41.61.82 -2 -1 0 1 2 一 一 /s 一 一 一 一 firls remez 图 4-4 原始与输出信号 %samp clf;n=50; f=0 0.1 0.15 0.25 0.3 0.4 0.45 0.55 0.6 0.7 0.75 0.85 0.9 1; a=1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 b=firls(n, f,a); h,w1=freqz(b); bb=remez(n, f,a); hh,w2