2020届高三数学精准培优专练五导数的应用(理科)学生版

1、2020届高三培优点五导数的应用一、求切线方程例1曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为 、求单调区间和极值例2：已知函数f(x) 2x3 ax22.(1) 讨论f (x)的单调性；m的取值范围.(2) 当0 a 3时，记f(x)在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求M三、导数与零点例3：已知函数f(x) si nx ln(1 x) , f (x)为f (x)的导函数.证明:(1) f (x)在区间(1,n)存在唯一极大值点；(2) f (x)有且仅有2个零点.1.对点增分集训、选择题设函数f2x ax.为奇函数，则曲线f x在点（0,0）处的切线方程y 2xC.y 2xx曲

2、线cosx在点（n 1）处的切线方程为（2sin3.)C.2x2x y2n 1下列函数中具有M性质的是（)A. f x2 xB. f2x xC . f x 3xD . fx cosx5.已知曲线yx ae：xlnx在点（1,ae）处的切线方程为 y2xb，则（)A. a e,b1B. ae, b11C . a e ,b 1D . ae 1 , b 16.已知函数f(x)ax3 3x21，若f（x）存在唯一的零点x ,且x 0,则a的取值范围是A.2,B. 1,C ., 2D .,17.已知函数fxx2 2xx 1 a ex 1e有唯一零点，贝U1 a( )111A.-B.-C .-D . 12

3、324.的定义域上单调递增，则称函数f x具有M性质,x若函数e f x （e是自然对数的底数)在f x&若x2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点，贝U f x的极小值为(B. 2e 3C. 5e 3D. 1二、填空题x9曲线yax 1 e在点(0,1)处的切线的斜率为 2，则a .10. 在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y In x上，且该曲线在点 A处的切线经过点(e, 1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.3211. 若函数f X 2x ax 1 a R在0,内有且只有一个零点，则f x在 1,1上的最大值与最小值的和为.12. 已知函数f x2sinx sin2

4、x,贝U f x的最小值是.三、解答题13 .已知函数f (x)x 1 ln x x 1(1 )讨论函数f (x)的单调性，并证明函数f(x)有且只有两个零点;(2 )设X。是f (x)的一个零点，证明曲线 y Inx在点A(x,ln怡)处的切线也是曲线 y ex的切线.14.已知函数 f(x) 2x3 ax2 b .(1) 讨论f (x)的单调性；a, b的所有值;(2) 是否存在a,b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1?若存在，求出 若不存在，说明理由.15.已知函数 f (x) 2sin x xcosx x , f (x)是 f (x)的导数.(1) 证明：f (x)在区

5、间(0, n存在唯一零点；(2) 若x 0, n时，f(x) ax，求a的取值范围.9培优点五导数的应用答案例1:【答案】y 3x【解析】/ y 3(2x 1)ex 3(x2 x)ex 3(x2 3x 1)ex,结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0)处的切线方程的斜率为 k 3,切线方程为例2:【答案】【解析】(1)当0时,(2)2axa6x x ,30,此时f (x)在(,)单调递增;(1 )见解析;2f (x) 6x2f (x) 6x当0时,f(x) 0,解得xa或x 0 ;令f (x)0，解得3此时f (x)在(,。)，(f,)单调递增，在当a 0时，令f (x)0，解得x 0或x此时

6、f (x)在(0,)单调递增，在(0,)单调递减；3a；令f (x)0，解得3a(,0)单调递减，3综上可得，当0时,f (x)在()单调递增.0时,f (x)在(0时,f (x)在(3)，(0,)单调递增，在(0, a)单调递减.3)单调递增，在(,0)单调递减.3f (x)在 0, a单调递增.-33时,此时mf(a) 2aa a3279- f(0)2, f(1)4a ,当 0a 2时，Mf(1) 4中结论可知，当 0由(2)(1)322a, M33 a272,3 a273aa 2,27令 g(a)第 a 2(0a 2)，则 g (a) g(a)在(0,2)单调递减.888又 g(0)2

7、,g(2)，二 g(a)(,2),即M m(,2).2727273 aa38当2 a 3时，Mf(0)2M m22,1 ,272727综上，当0 a3时，Mm的取值范围是8,227例3:【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.1n【解析】(1)对f(x)进行求导可得，f (x) COSX, ( 1 x ),1 x21取 g(x) cosx，则 g (x)1 xsin x1(1 x)2 ，亠n ,在x (1，n 内，g(x)sin x 为单调递减函数，且g (0)(1 x) n1，g(n所以在x(0,1)内存在一个xo，使得g (xo)当 x (n )时，f (x) sinx ln(1 x)

8、 1 ln(1 力0恒成立,所以在x ( 1,xo)内，g (x) 0 , f (x)为增函数；在x (xo,)内，g (x) 0 , f (x)为减函数, 2jr 所以在f (x)在区间(1-)存在唯一极大值点.(2 )由(1)可知，当x ( 1,0)时，f (x)单调增，且f (0)0,可得f X 0,则f (x)在此区间单调减；当x (0,x)时，f (x)单调增，且f (0)0 , f (x)0，则f (x)在此区间单调增;又f (0)0，则在x ( 1,x)上f (x)有唯一零点x 0 .当x(X0,)时，f (x)单调减，且 f(X0) 0, f ( ) 0 ,则存在唯一的 X1

9、(x0,)，使得 f(X1) 0 ,2 2 2在xn(x,xj 时，f (x)0 , f (x)单调增；在 X (X1,)时，f (x)单调减，2且f(0 1 ln(1 n) 1 Ine 0，所以在x (x。上f (x)无零点；当xn.n(，冗)时，y sin X单调减，yln(1 x)单调减，贝y f (x)在X (，冗)上单调减，2 2f( n)0 ln(1n) 0，所以在x (- , n)上f(x)存在一个零点.则f(x)在x ( n)上无零点，综上可得，f (x)有且仅有2个零点.一、选择题1【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a 10，解得a 1 ,所以 f (x) x3

10、 x， f(x) 3x2 1，所以 f (0)1，f (0)0，所以曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为y f(0) f (0)x ,化简可得y x，故选d .2.【答案】B【解析】Q x 0, f (xx、eex)2f (x) , / f (x)为奇函数，舍去 A,xQ f(1)e e 10，-舍去D ;Q f (x)2 , f (x)/ xx、2/ xx、c(e e )x (e e )2x4xxx(x 2)e (x 2)e所以舍去C;因此选B .3.【答案】C【解析】因为y 2cosx sinx，所以曲线y 2sinx cosx在点(n, 1)处的切线斜率为2 ,故曲线y 2si

11、nx cosx在点(n 1)处的切线方程为2x y 2 n 1 0 .4【答案】A【解析】对于A，令g x exx2 , g x e2 x2 xln-2ex2 x 1ln 丄 0 ,2则g x在R上单调递增，故 fx具有M性质，故选A .5.【答案】D【解析】令f(x) aex xlnx,则 f (x) aexln x1 , f (1)1ae 12，得 aeef(1) ae 2 b，可得 b 1 故选 D.6.【答案】C【解析】当a0 时，f (x)3x21，函数f (x)有两个零点，不满足题意，舍去;3当a 0时，f(x) 3ax26x，令 f (x)0，得2x (0, )时，f (x) a

12、此时在x (,0)必有零点，故不满足题意，舍去；x (,0)时,f (x) 0 ；:0 或 x -a0 ； x(Z,a)时，f (x)0，且 f(0)0 ,2当 a 0时，x (,2)时，f (x)ax (0,)时，f(x) 0，且 f(0)2(-,0)时,af (x)要使得f (x)存在唯一的零点X。，且x02 只需f ()a4，则 a 2 ,故选C.7.【答案】C【解析】函数fx的零点满足x2x，则g x0时,1时,0，函数gx单调递减;1时,0，函数gx单调递增,1时,函数gx取得最小值，为g 12x 2x,当x 1时，函数h x取得最小值，为1,x与函数 ag x没有交点;若 a 0，

13、当 ag 1 h 1时，函数h x和ag x有一个交点,1即a 21，解得a .故选C.28【答案】A【解析】由题可得 f x 2x aex1x2ax 1ex 1x2a 2 x a 1ex1因为f 20,所以a1 ,f xx2x1 ex 1，故 f xx2x 2 ex令f x (0，解得x2或x1,所以f x在，2 ,1,上单调递增，在2,1上单调递减,所以f x的极小值为f1 11 1 e111 1,故选A .二、填空题9【答案】3【解析】yxae ax1ex,则f 0a 12，所以a3.10.【答案】（e,1）【解析】设点A Xo, yo ,则y。In x.1又y ,x当x x0时，1 y

14、 X点A在曲线y In x上的切线为y y。丄（xXX），即 y In x/ 1X，代入点 e,1 ,得1In xe1 x，即x01 n x（）e,考查函数Hx xln x,当x0,1 时,H x0 ；当 x 1,时，H x 0,且H xIn x 1，当 x 1 时,H x0,Hx单调递增，注意到He e,故xo l nxo e存在唯一的实数根 xo e,此时y 1, 故点A的坐标为A e,1 .11. L答案】32a【解析】由f x 6x 2ax 0,得x 0,x因为函数f在0,上有且仅有一个零点且af0 1，所以30, f从而函数f1,0上单调递增，在 0,1上单调递减，所以fxmaxf(

15、x)minmin f (1),f(1) f( 1)，f(x)maxf(x)min f(0)f(1)12.【答案】土322【解析】f x 2cos x 2cos 2x 4cosx 2cosx 24 cosx 11 cosx2所以当cosx 1时，函数单调减，当 cosx2-时，函数单调增,2从而得到函数的减区间为5 nn2kn亍3 k Z，函数的增区间为nn2kn 3,2kn 3 k Z，n所以当x 2kn 3,kZ时，函数f x取得最小值，此时sinx 3 ,sin 2x ,2 2所以f X min 2差，故答案是空2 2 2三、解答题13.【答案】（1 ）见解析；（2）证明见解析.【解析】（

16、1）函数的定义域为（0,1）U（1,）,所以在区间（1,）上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点.x 1 (x 1)(x 1)21 2x (x 1)20,所以函数在（0,1）,（1,）上单调递增,2又 f(e )3 e2e2 110, f(e )0,所以在区间（0,1）存在一个零点,e2 3e2 1（2）因为Xo是函数的一个零点，所以有In XoXo1Xo11 - Xo1曲线y Inx在A（Xo,l n x）处的切线方程为y1xXo1In xo1 xXoXo曲线曲线y ex当切线斜率为时，切点坐标为XoIn1xo, 一xo切线方程为y1 1(xXo XoIn Xo)，化简为y xXoIn

17、xo1Xo1xXoXo1Xo1XXo所以曲线y Inx在A（Xo,In x。）处的切线也是曲线xy e的切线.14.【答案】（1 ）见解析；（2）存在，a o,b1或a 4,b 1满足题意.【解析】2(1) f (x) 6x 2ax 6x当o时，f (x) 6x2 o,此时f (x)在(）单调递增;当o时，令f (x)o，解得xa3 或 X ；令 f(X)o，解得此时f (x)在(，o)，( 3当a o时，令f (X)a）单调递增，在（o,）单调递减；3ao，解得x o或x ；令f （X）3o，解得自（o,综上可得，当a o时，f (x)在(,）单调递增当ao时，f (x)在(,）,（a，3）

18、单调递增,在（o,a）单调递减3当ao时，f (x)在(,a),(o,3）单调递增，在（a ,o）单调递减3(2)由（1）中结论可知,当ao时，f （x）在o,1单调递增,此时f ( X) minf(o) b1, f(x)maxf (1)2a b 1 ,. af (X)在(此时o,b）单调递增，在（a,o）单调递减，31，满足题意.a当a 0时，若1，即a 3，则f(x)在0,1单调递减,3此时f (X)minf(1)2 a b 1,f(x)max f(0)b 1 , a 4,b1，满足题意.1，即aa 3，贝U f (x)在0,单调递减，在3旦,1单调递增.3此时f (X)min323a a aa ,f ( )2 a bb3279271,f (0) b, f (1) b 2 a ,当