同济大学机械振动期末复习习题集资料

1、机械振动习题集 同济大学机械设计研究所 2010.12 第一章 概论 1-1 概念 1. 机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？ 2. 机械振动研究哪三类基本问题？ 3. 对机械振动进行分析的一般步骤是什么？ 4. 在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？ 5. 惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？ 6. 什么叫离散元件或集中参数元件？ 7. 什么叫连续体或分布参数元件？ 8. 建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？ 9. 建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模 型。一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块

2、放置在地面 上，试建立其力学模型。 10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？ 11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？ 12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？ 1-2 简谐运动及其运算 1 求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1） x 2sin（ t ）（2） x 4 cos（10 t ）（ 3） x 3 cos（2 t 45 ） 34 答案：（1） X S3 1j,XB31j,XB31 j 2 222 （2） XS 2 2 2 2j,XB22j, XB22 j 3） XS j, XB3 2 3 2 2 B 4

3、4 j,XB3 2 3 2 j /? 44 2 通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（ 3） 进行校核 2 （ 1） x1 2sin（ t ）x2 3s i n （t ） 33 2) x1 5sin 10 t x2 4 cos(10 t ) 3) x1 4 sin( 2 t 30 ) x2 5 sin( 2 t 60 ) x3 3cos(2 t 45 ) x4 7cos(2 t 38 ) x5 2 cos(2 t 72 ) 答案： ( 1 ) x12 4.359 cos( t 6.6 ) (2) x12 3.566 cos(10 t 47.52 ) (

4、3 ) x12345 14.776 cos(2 t 9.22 ) 3 试计算题 1 中 x(t) 的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程 4 设 x(t)、 f (t) 为同频简谐函数，并且满足 ax bx cx f (t) 。试计算下列问题 (1)已知 a 1.5,b 6,c 25,x(t) 10sin(12 t 37 ) ，求 f(t) (2)已知 a 3,b 7,c 30,f(t) 25sin(7 t 64 )，求 x(t) 答案： ( 1) f(t)=85190.82cos(12 t+126.45 ) ( 2) x(t)=0.018sin(7 t-109.81 ) 5

5、简述同向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点 6 简述同向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点 1) 如果频率比值为无理数，则没有共同周期，叠加后为非周期振动。 2) 如果频率比值为有理数， 叠加后的振动周期为他们周期的最小公共周期， 如果比值接近 1，将出现“拍”现象，如果相差较大，出现“调制”现象。 3) 在“拍”和“调制”的情况下，幅值相差很大时，合成图形依然趋于正弦图形。 7 简述垂直方向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点 答： 垂直方向同频简谐振动在 i. 同相时：不同幅值下为一条直线，直线的斜率等于 y 方向上振动的幅值比 x 方向上振动的幅值。 ii. 不同相时：为一椭圆，

6、椭圆形状随相位和幅值的变化而变化。 8 简述垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点？ 答： 垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下的合成运动， 一般是复杂的运动， 轨道 不是封闭曲线， 即合成运动不是周期性的运动。 但是， 当两个互相垂直的振动频率成整数比 时，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。 9 利用“振动计算实用工具” ，通过输入具体参数，观察 1-5 题到 1-8 题振动合成的图形及其 特点 答案： ( 1)同向同频 幅值由两者的幅值和相位决定，频率不变。相位相同时，合成后的幅值为两 者之和，相位相反时，合成后的幅值为两者之差

7、。其它相位情况介于两者之间。 2）同向异频 3）垂直方向同频简谐振动椭圆 同幅值 x-y t=0 12 t0 84 40 2 -8 -4 0 4 81 -4 -8 -12 不同幅值 20 x(t) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -12 -8 -4 0 4 8 12 y (t ) 5 8 0 2 4）垂直方向异频简谐振动 合成振动的图形呈现李普里曲线的形式 x-y t =0 t 0 20 x(t) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -12 -8 -4 0 4 8 12 10 用一加速度计测得某结构按频率 25Hz 作简谐振动时的最大加速度为 5g( g 9.8

8、m / s2 )， 求此结构的振幅，最大速度和周期 答案： x g ,x g ,T 1 xm ,xm 2 ,T m10 m500 2 25 i(5 t) i(5 t ) 11 设有两个简谐振动，分别以 3ei(5 t)和 5e 2 表示，试用旋转矢量合成，并写出在实轴 和虚轴上的投影 X 3 5j 12 有两个垂直方向振动， x acos t,y bcos( t ) ，证明它们的合成运动是一个椭圆 答案：由 x acos t,y bcos( t ) 消去 t 得到 22 x 2 2 cos x y y2 (sin ) 2 a a b b 根据椭圆在标准位置旋转一角度后的表达式可以判断该曲线即为

9、椭圆 13 如图 2-1 所示，一小车(重 P)自高 h 处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一 起作自由振动。弹簧常数 k ，斜面倾角为 ，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小 车的振动周期和振幅。 第二章 单自由度系统的振动理论 2-2 单自由度系统振动 1 求图示系统的固有频率 。 其中（ a）（b）图中，不计杆的质量 m 和抗弯刚度 EI；（c）（d）图中，简支梁的抗弯刚度 为 EI ，质量不计。受力情况如图所示。 c) n A4 (a) (b) 答案：（ a） n m 48EI l3 ； (d) n 48EIk 3 (48EIk 3 k)m l 2 求图示系统固有频率。 （a）

10、（b） （c） 图为一单摆，摆球质量 m，摆长 L。 图中两个弹簧在距单摆固定端 a 处连接。 图为一倒立摆，两弹簧在距底端 a 处连接。 (a) m 图 2-2 答案： (a) n l ； (b) ka2 mgl ；(c) ml2 ka2 mgl ml2 3 求图示系统固有频率。 （a） 图中，水平方向的两杆视为弹性系数为k1，k2 的弹簧，四个弹簧的连接关系为： k1 与 k2 串联后与 k3 并联，再与 k4 串联。 （ b） 图中，滑轮和绳子的质量以及绳子的弹性略去不计。 (a) (b) 图 2-3 答案： （a） n (k1k2k2 k3 k4 ) m k1 (b) n k1k2 4

11、m(k1 k2 ) 4 图 2-4 所示，竖直杆的顶端带有质量 m 1kg时，测得振动频率为 1.5Hz 。当带有质量 m 2kg 时，测得振动频率为 0.75Hz 。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状 态时顶端质量 ms 为多少？ 答案： ms 3kg 5 如图 2-5 所示，具有与竖直线成一微小角 的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质 心 C 处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量 W 时，重摆微小振动的频率。 A W 图 2-5 答案： n gsin /l 6 两个滑块在光滑的机体槽内滑动 （见图 2-18 ），机体在水平面内绕固定轴 O 以角速度 转 动。每个滑块质

12、量为 m ，各用弹簧常数为 k 的弹簧支承。试确定其固有频率。 km k m 图 2-18 答案： 7 确定图 2-6 所示系统的固有频率。圆盘质量为 m 。 ka k r O x 图 2-6 答案： n 4k r 2a n 3mr 2 8 确定图 2-7 系统的固有频率，滑轮质量为 M 。绳子的质量和弹性不计。 答案： n 4m 3M 图 2-7 9 质量为 m半径为 r 的圆盘在半径为 R 的轨道上做纯滚动，确定图 2-8 系统的固有频率。 答案： n 2g 3 R r 10用三根长度为 l的细线将一质量 m半径r 的刚性圆盘吊在天花板上，吊点三等分圆周 （ 1）求圆盘绕其垂直中心线作回转

13、运动的固有频率 （2）求圆盘只作水平横向振动（不旋转）的固有频率 11 横截面为 A质量为 m 的圆柱型浮子静止在比重为 的液体中。设从平衡位置压低 x，然 后无初速度释放，如不计阻尼，求浮子振动响应 x x 图 2-10 答案： x(t) xcos( nt); n 12 各弹簧已预紧（受拉） ，求图示系统的固有频率。 k3 图 2-11 答案： m1 Rr22 m2 R2 R2 k1 2 k2 k3 2 k4 r r 即 w1 M 1K 12 求等截面 U 型管内液体振动周期，阻力不计，管内液柱总长度 L 图 2-12 13 如图所示， 两个滚轮以相反方向等速转动， 两个滚轮中心距 2a ，

14、上面放置一块重量 W 长 度 l 的棒，棒于滚轮的磨檫系数 ，现将棒的重心 c 推出对称位置 o, 试证棒将作简谐运动， 并请导出磨檫系数的表达式 图 2-16 解：设左轮支反力为 F1, 右轮支反力为 F2，去水平 x 为广义坐标，对某一偏离对称中心 可列平衡方程： 由于 F1*2a=W*(a+x) F2*2a=W*(a-x) F1+F2=W 可推得 F1-F2= x 综上可得： - x=0 由方程可知系统做简谐振动 14 如图 2-13 所示，一小车（重 P）自高 h 处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一 起作自由振动。弹簧常数 k ，斜面倾角为 ，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求

15、小车的 振动周期和振幅。 图 2-13 答案： T 2 gPk ， A Pk 2h Psin2 k 15 重物 m1悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处在静平衡位置，另一重物m2从高度为 h处由静止 开始自由降落到 m1 上而无弹跳，求振动响应 答案： x ( m2 g )cos nt km1 m22gh sin nt; n n n n m2 m1 m2 质量可以忽略。 在梁的自由端有两个集中质量 m1 m2 突然释放，试求 m1 的响应。 16 某仪器中一元件为一等截面的悬臂梁， 与 m2 ，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使 m1 m2 图 2-15 答案： m2g x(t) 2 co

16、s( nt);K K 3EI 17 一均质半圆盘，质量为 m,半径为 放，求半圆盘在小摆角振荡的响应。 r,自由地铰接于它的中心，如图所示。现以0 初角度释 mg 图 2-16 解：转矩方程： M J0 ; J0 1mr 2 ；质心与盘中心距离 R 4R3 运动方程： J0mgR sin ；响应： 0 cos nt ； n 8g 3R 18重Q 2吨的重物在吊索上以匀速 v 5m / min 下降，由于吊索嵌入滑轮卡子， 突然停止， 重物作上下自由振动。已知吊索在 2 吨重物静载作用下伸长 5 mm ，吊索自重不计，求重物 振动频率和吊索中的最大张力 答案： 44.72rad /sTm a x

17、 4 104 N 19 如图， W 1000 N , k 200N / cm,已知图示状态，弹簧已有初压力 F0 100N ,如平台 撤除，求重块下落距离 k1 k2 k3 m k4 图 2-17 答案： 5.4cm 2.3 简谐激励下的强迫振动 1. mx cx kx p(t) （1） 答案： 已知 m=3, c=1, k=12, p(t) 24sin3t, 求解稳态响应。 x(t) 1.5689sin(3t 168.7 ) （2） 答案： 已知 m=5, c=8, k=20, p(t) 10sin(3t 60 ) , 求解稳态响应。 x(t) 0.2886sin(3t 76.2 ) （3）

18、 答案： 已知 m=10, c=15, k=18, p(t) 15cos5t , 求解稳态响应。 x(t) 0.0615cos(5t 162.1 ) （4） 答案： 已知 m=12, c=15, k=20, p(t) 10 cos(2t 45 ) , 求解稳态响应。 x(t) 0.2437 cos(2t 88 ) （5） 答案： 已知 m=600, k=1176000,0.1, p(t) 3000 sin 16 t , 求解稳态响应。 x(t) 0.0069 sin(16 t 51.8 ) （6） 答案： 已知 m=6, c=25, k=800, p(t) 2sin7t 3cos18t , 求

19、解稳态响应。 x(t) 0.003735sin(7t 19.1 ) 0.00244 cos s(18t 158.5 ) 已知 m=10, c=15, k=40, p(t) sint 2cos3t , 求解稳态响应。 答案： x(t) 0.0298 sin( t 26.6 ) 0.0297 cos s(18t 138 ) 2. mx cx kx 答案： x 8F2 0( 1) 2 sinn t 22 n K n 1,3,5 n2 2 1n , 取第一项 x 8F0 sin t 22 nK1 （7） 答案： 已知 m=10, c=15, k=40, p(t) sint 2cos3t , 求解稳态响

20、应。 x(t) 0.0298 sin( t 26.6 ) 0.0297 cos s(18t 138 ) 3已知频响函数曲线 H 2 1 2 2 j 级相频曲线的大致形状。 答： 当 =0.1 ，0.3，0.5，0.7 时，分别画出幅频曲线 幅频 H0u 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 相频 0 4. 已知频响函数曲线 H 2 ，当 =0.2 ，0.5 1，时，分别画出幅频曲线级相频 1 2 2 j 曲线的大致形状。 答： 幅频 H0u 2 5. 已知频响函数曲线 H 1 2 2 j 相频 0 频曲线的大致形状。 答： 幅频 H0

21、u 相频 0 ，当 =0.1 ，0.5 0，.7 时，分别画出幅频曲线级相 6. 已知频响函数曲线 H 2 ，当 =0，0.1，0.5 ，1 时，分别画出幅频曲线级相 1 2 2 j 频曲线的大致形状。 答： 幅频 H0u 相频 0 7. 对于已知 m，c，k 的系统判定其频响特性曲线大致形状 (1) m=2450kg, c=39600Ns/m k=320000N/m 计算出 =0.707 (2) m=2450kg, c=28000Ns/m k=320000N/m 计算出 =0.5 (3) m=2450kg, c=16800Ns/m k=320000N/m 计算出 =0.3 (4) m=245

22、0kg, c=44800Ns/m k=320000N/m 计算出 =0.8 答： 单自由度系统的频响特性为 H( ) 1 k 2m j c 可以 为参数来研究 H( ) 的变化特性。c 2 mk 已知 m，c， k 的情况下，计算出，即可判定频响特性曲线的大致形状 改用系统固有参数表示的频响特性为 1 H( ) k1 1 1 2 j2 其幅值 11 h u2 u k 1 2 2 (2 )2 相位角 12 h tg 11 2 n 图中从下往上依次表示 的取值为 1，0.7， 0.5，0.4，0.3，0.2，0.1，0 经过简要推导可知 22 当 时，存在峰值，出现在 1 2 处 当 时，曲线单调

23、递减 22 这里 h 总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并且激励频率 越高迟后越大； 当激励频率等于系统固有频率时， 响应与激励的相位差 ，与阻尼比 2 无关 2.4 非简谐激励下的强迫振动 2 1、f(t)=3t 2+1 (t ) 为周期为 2 的周期函数，将它展开成傅里叶级数 答案： f(t)= 1 12 n1 ( 1)n n2 cosnt 2、设 x(t) 如图所示，试求其傅里叶级数展开。 答案： 4 x(t) sin5k t k 1,3,5. k 答案： 3. 设 x（ t）如图所示，试求其复 Fourier 级数展开。 X BK j e k 5.710 j

24、1 k 4 con(5k t 5.710) x(t) k 1,3,5,. k 4 sin(5k t 5.710 ) k 0,2,4,. 4. 求下列周期为 2 的函数的 Fourier 级数展开。 x (1) f x 0 x 2 2 1 答案： 1 sin nx (2) n 1 n f (x) x2， x 0,2 答案： 4 2 1 4 2 cosnx sinnx 3 n 1 n2 n (3) x, x 0 f x ； 0, 0 x 答案： 2 cos(2k 1)x ( 1)n 1 2 sinnx 4 k 0 (2k 1)2n 1 n （4） 1 x x 0 fx 1 x 0 x 2 () c

25、os nx 答案： n 1 5、 f(x) 是周期为 2 的周期函数，将它在 ( x)上的 表达式为 ,x 22 f(x)= x, x ，将 f(x) 展开成傅里叶级数 22 ,x 22 ( 1)n 1 2 n 答案： f (x) 2 sin sinnx (x ( 2n 1)n, 0, 1, 2 n 1 n n 2 6、 已知 :m 9 已知 0 101 ,c=10.1 0.1 ,k 110 50 50 , f (t) 90 = 2 ,激振力频 率 =3rad/s, 试用“振动计算实用工具”计算系统的稳态响应 7、单自由度系统受到激振力 f 的作用， f 的变化规律如图所示递减三角脉冲，初始条

26、件为： x0 x0 解：应用 当 t t0 时，大于 t0 的部分积分为零，所以 8. 物体振动时受到与运动方向相反的动摩擦力作用，动摩擦系数 u 0.3，物体的质量可集 中在一点 m 2kg ，振幅 xu 20cm ，弹簧系数 k 6N / cm，求等效粘性阻尼。 解： fm mg u w 4fmxuceq xu2 4 fm ceq eqxu3.14 4 2 9.8 0.3 2.162 6 2100 0.2 9. 结构阻尼是材料本身的内摩擦阻尼，其耗散的能量与振幅平方成正比，求结构阻尼常数 0.0155，质量 m 2kg ，弹簧系数 k 6N / cm时的等效粘性阻尼。 解： 0.0155

27、0.00028 600 3.14 10. 已知一个非线性阻尼振动系统，系统受到 150N 的干摩擦力，系统稳态响应为 x(t)=0.007sin(5t+60 ) ，求系统的等效阻尼。 答： Ceq 5456N s/m 第三章 单自由度振动理论的应用 1. 如图 3-1 所示的模型，质量受到正弦激励， f(t)= asin( t) ,m=170 千克， k=7000N/m ， c=1700Ns/m，作质量位移的频响曲线 图 3-1 答案： H( ) 1 1 2 j2 HV ( ) H( ) k 下图为计算工具中本模型的一族幅频曲线 (仅形状一致，横纵坐标需乘相应系数 ) 0 0 0 系统参数 m

28、,c,k 决定阻尼比 当 时，存在峰值，出现在 1 2 处 当 时，曲线单调递减 22 本题 =0.779，形状应介于上图最下方两条曲线之间。 下图为计算工具中本模型的一族相频曲线 (仅形状一致，横坐标需乘相应系数 ) 这里 h 总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并 且激励频率越高迟后越大； 当激励频率等于系统固有频率时， 响应与激励的相位 差 ，与阻尼比 无关 2 2. 图 3-2所示为简化车辆在路面上通行的振动模型， y(t)= asin( t) ，m=1000kg, k=350kN/m ， c=18700Ns/m，求质量位移的频响曲线 答案： H( ) 1-(1

29、2 j2j2) HV( ) H( ) 下图为计算工具中本模型的一族幅频特性曲线 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 1.0 2. 3. 0 4.0 本题阻尼比 =0.5，因此曲线同上图中下起第三条曲线 下图为相频曲线 180 150 120 90 60 30 0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 3. 已知频响函数曲线 H 2 ，当 =0.1 ，0.3，0.5，0.7时，分别画出幅 1 2 2 j 频曲线级相频曲线的大致形状。 答： 幅频 H 0u 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 0.0 1.0 2. 0 3. 0 4

30、. 0 相频 0 4. 已知频响函数曲线 H 2 j ，当 =0.20，.51，时，分别画出幅频曲线 1 2 2 j 及相频曲线的大致形状。 答： 幅频 H0u 90 60 30 0 -30 -60 -90 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 相频 0 5. 已知频响函数曲线 Hx=0.00104sin(60t- /2) (cm) 2 输入： p(t)=F=16sin60t 输出： v(t)=x(t) j ，当 =0，0.1，0.5 ，1 时，分别画出幅频曲 1 2 2 j 线及相频曲线的大致形状。 答： 幅频 H0u 180 150 120 90 60 30 0 0.0 1.0 2.0

31、3.0 4.0 相频 0 6. 在如图所示系统中 ,已知 m=2kg , C=256N ?s/cm, K=20N/cm , 激励力为 F=16sin60t ( 式中 t 以 s 计， F 以 N 计 )。以质量 m 的位移作为输出。 1) 试求系统的稳态响应。 2) 试确定系统的输入，输出方程 3) 求出系统的频响表达式并画出频响图。 3) 0.5 H u,v 2 998.6 2 12791.7 j y=(4/9)sin(3t/2) 的规律上下浮动。桶的 水的阻尼力与相对速度成正比，阻尼 7. 空桶重 39. 2kN ，浮在水面上，而水面的高度按 水平截面积均为 5m2。如初始位移和初速度为零

32、， 系数 C=16kN ?s/m，求桶作强迫振动的稳态响应。 答： 1)x= 0.00095sin(3 t / 2 30 ) cm 2)输入： p(t)=y=(4/9)sin(3t/2)输出： v(t)=x(t) 3) 0.00025 12.25 2 3.99 j u,v 8. 确定图 3-18 所示系统的稳态响应。假定 T(t) Tsin t 。 T ( t ) 9. 在如图所示系统中 ,已知 m=2kg , K=20N/cm , 激励力为 F=16sin60t ( 式中 t 以 s 计，F 以 N 计)，C=256N?s/cm。试求系统的稳态响应。 10. 求下图中系统右支撑端有简谐运动

33、xs asin t 时的振动微分方程。 1) 试求系统的稳态响应。 2) 试确定系统的输入，输出方程 3) 求出系统的频响表达式并画出频响图。 答案： 1)振动方程： mx Cx Kx Kasin t 稳态响应： x Bsin( t ) 其中 B (1 2)a2 (2 )2, tg (12 2) 2）输入： p(t)=Kx 2= Kasin t 输出： v(t)=x(t) 1 3) H u,v a 121 2 j 11. 求 如 下 图 所 示 系 统 在 两 端 都 有 支 撑 运 动 时 的 稳 态 响 应 。 图 中 x1 asin t ， x2 3asin2 t ，式中 2 2K F

34、500 sin t kg ，同时在弹 2 簧固定端有支撑运动 答案： x a sin t asin2 t 35 12. 如下图所示的弹簧质量系统，在质量块上作用有简谐力 2 m 100kg s xs 0.3 sin t cm ，试写出此系统的稳态响应。已知， 答案： x 0.32 sin t 0.677 sin 42 13. 主 动 隔 振 的 力 学 模 型 如 图 所 示 ， 其 中 m=1000kg ， k=4000N/m, C=800N ?s/m, feq(t) 2000sin(4 t)N ，以作用在 m上的力为激励时 (1) 输出为基础上产生的力时， 求稳态响应函数， 并写出其频响函

35、数绘出曲线； (2) 当输出为 m 的位移时， 求稳态响应 函数写出频响函数并绘出曲线。 (1)u(t) feq(t) 2000sin(4 t)N v(t) fT 824.92sin(4 t 126 ) ; Hu,v( ) (1 0.8j) 3 0.8j (2) u(t) feq(t) 2000sin(4 t ) N 1 v(t) x(t) 0.16sin(4 t 165); Hu,v( ) 4000( 3 0.8 j) 14. 如图所示为一个惯性力激励系统，me 4kg ，偏心距 e 0.04m，以 5rad /s 的 角速度运动，总质量 m=100kg ，弹簧刚度 k=400N/m ，阻尼

36、 c=50N ?s/m，求物块 m 的位 移响应，并绘出系统的频率响应曲线。 25 答案： u(t) 4sin 5t ； v(t) 0.01sin(5t 39.8) Hu,x 100( 5.25 1.5625 j ) 15. 一 机器重 4410N，支承在弹簧隔振器上，弹簧的静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产 2 生偏心激励力 F 2.54 N ， 为激励频率， g 为重力加速度，不计阻尼，机器转速 g 为 1200r/min 时求： a) 传入地基的力； b) 机器的振幅。 答案： a) Fmax 514.7N ; b) X 0.0584cm 第四章 二自由度系统振动 4-1 如图，已知

37、 m22m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20=x10 x20 0，试用“振动 计算实用工具”计算系统的固有频率，主振型以及相应 图3-1 答案： 固有频率： n1=3.162277rad/s ， n2=5 rad/s 主振型： 系统响应： x1 0.4cos3.1622777t 0.8cos5t x2 0.4cos3.1622777t 0.4 cos 5t 4-2 已知 :m 9 0 101 ,c= 10.1 0.1 ,k 110 50 50 90 , f (t) = 2 ,激振力频 率 =3rad/s, 试用“振动计算实用工具”计算系统的稳态响应。 4-3 如图所示，

38、已知质量比 0.1,固有频率比 =0.909, 放大系数 r =1.55, 0.1846 ， m1=11,k1=100, 根据程序求动力吸振器弹簧的刚度及其质量 x1 x2 k1 k2 c m1 c2 m2 图 3-2 答案： m2= 1.1 k2= 8.26281 4-4 求图示系统运动微分方程 F(t) 图 3-3 4-5 求图示两种双摆系统的微分方程，并进行线性化 c L1 L1 k a2 L2 a1 m1 1 a2 L2 m1 m2 m2 (a) 图 3-4 (b) 4-6 质量为 M 的水平台用长为 L 的绳子悬挂起来， 半径为 r 的小球，质量为 m ，沿水平台 作无滑动的滚动，试

39、求系统运动微分方程 LL x a M m r 图 3-5 4-7 在风洞实验中，可以将机翼翼段简化为图示两种模型，机翼作为刚体重心G 处，质量为 m ，对重心的转动惯量为 JG 。模型 1 由弹簧 k 和扭簧 k0支撑机翼。 模型 2 由两根弹簧 k1,k2 支撑机翼。试导出两种模型的运动微分方程 ko k1 k2 (b) (a) 图 3-6 4-8 一辆汽车重 17640N，拉着一个重 15092N 的拖车。若挂钩的弹簧常数为 171500N/m。试 确定系统的固有频率和模态向量。 x2 x1 图 3-7 m1 答案： n1 0; n2 14.38; u 1 1 1T; u 2 1 0.85

40、6 T 4-9 一个电动机带动一台油泵。电动机转子的转动惯量为J1 ，油泵的转动惯量为 J 2，它们 通过两个轴的端部连接起来。 试确定系统的运动微分方程、 频率方程、 固有频率和模态向量。 答案： n1 0; n2 d1 d22 G (J1 J2 ) 44 32J1J2(d14l2 d24l1) u 1 1 1T; u 2 1 J1 /J2 T 4-10 试确定图 3-9 所示皮带传动系统的固有频率和特征向量。两皮带轮的转动惯量分别为 J1 和 J 2 ，直径分别为 d1 和 d2 。 J1,d1 J2,d2 图 3-9 答案： n1 0, u 1 1 r1 /r2 ，刚体运动； r2 r

41、2 n22k(r1r2 ), u 2 1 d2 J1 /d1J2 J1 J2 4-11 写出图 3-10 的运动方程及频率方程， 设静止时， 钢绳 k1为水平， 起重臂与铅垂线成 0 角，机体可视为刚体。 答案： k1 图 3-10 m1l 2 3 0 cos2 0 k2l 2 sin2 0 k2l sin 0 k2lsin 0 x k2 n4 k2 3 (k1 cos2 0 k2 sin2 0) n2 m2 m1 3k1k2 m1m2 2 cos2 0 0 1 1 2 m k1 m k2 图 3-11 4-12 解定图题 3-11 系统的固有频率，假设两圆盘直径相等。 答案： n21.2 (

42、a b)a2 b n1.2 2 4 22 式中 ak1r2 ,bk2r2 m2 m2 2 mr 2 mr r 2 r 2 4-13 试确定图 3-12 系统的固有频率，略去滑轮重量。 k2 图 3-12 答案： n4 k1 k2 k2 2 k1k2 0 m1 m1 2m2 n 2m1m2 4-14 一建筑物，当研究其受水平地震时，可简化为如图所示的力学模型。如建筑物重 42 2.254 103N ，高25m，转动惯量为 Jc 686 104kg m2，土壤水平刚度系数为 3 k 735000N / m，扭转刚度系数为 k0 3381 103N m/rad ，试求建筑物的固有频率和 固有振型（建

43、筑物重力不考虑） 答案： n1 0.557, n2 2.25, r1 0.00072, r20.000467 4-15 如图 3-14 所示的行车，梁的弯曲截面矩 I1 105 cm4 ，E 210GN / m2 ， L 45m。 小车 m2重 11760N，另挂一重物 m1 ，其重量为 49000N，钢丝绳弹簧常数 k 343000N /m， 试确定系统的固有频率和振型比。 m1 图 3-14 答案： n1 3.75; n2 20.65; r1 0.798;r2 5.22 4-16 一重块 W2自高 h 处自由落下，然后与弹簧 - 质量系统 k2 W1 k1一起作自由振动，如 g 图 3-1

44、5 所示，试求其响应。已知 W1 W2 W,k1 k2 k,h 100W / k 。 W 图 3-15 x2 W / k16.67sin( n1t 1) 2.418sin( n2t 2) ； n1 0.618 kg/W ， n2 1.618 kg/W ， 1 6 3137 , 2 2 3010 。 4-17 一卡车简化成 m1 k m2 系统，如图 3-16 所示。停放在地上时受到后面以等速v驰来 的另一辆车 m 的撞击。设撞击后，车辆 m 可视为不动，卡车车轮的质量忽略不计，地面视 为光滑，试求撞击后卡车的响应。 图 3-16 mv 1 答案： x1(t sin nt) ， x2 m1 m2

45、r n mv 1 m1mvm2 (t 1n sin nt)； k(m1 m2) m1m2 m1 m2 4-18 一机器重 W1 900N ，如机器转速 n 1800转/分，有偏心质量 m 0.5kg ，偏心距 e 1cm ，减振器重 W2 22.5N ，试求： （1）减振器弹簧刚度 k2 多大，机器振幅为零？ （ 2）此时减振器振幅多大？ （ 3）如要使减振器振幅不超过 2mm，应如何改变减振器参数？ m em W1 图 3-17 答案： (1)k2 815N / cm;(2) B2 2.2mm;(3) k2 897N /cm,W2 248N 4-19 如图 3-187 所示，一刚性跳板，质量

46、为 3m，长l ，左端以铰链支承于地面，右端通过 支架支承于浮船上，支架的弹簧常数为 k ，阻尼系数为 c ，浮船质量为 m 。如果水浪引起一 F F0 sin t 的激励力作用于浮船上。试求跳板的最大摆动角度max 。 答案： 图 3-18 max F20ml(2kk22m)2 2c(2 c)2 4-21 图示为拖车模型，设拖车车厢质量为 m ，车轮质量为 m1 ，拖车对挂钩点 o 的转动惯量 为 Io ，板簧刚度为 k ，轮胎刚度为 k1，车厢与车轮间的阻尼力与相对速度成正比，阻尼系 2x 数为 c ，拖车速度为 v ，假设挂钩点 o 在垂直方向无位移， 路面波由公式 y y0 (1 co

47、s2 x) l1 表示， 其中 x vt 。试求系统的振动微分方程及当系统共振时拖车的牵引速度 (临界牵引速 度) L 第五章 多自由度系统振动 5-1 写出图中所示轴盘扭振系统的刚度矩阵。 K1 K1 0 0 答案： K K1 K1 K2 K2 0 0 K2 K2 K3 K3 0 0 K3 K3 5-2 写出图示弹簧阻尼质量系统的刚度矩阵和阻尼矩阵。 000 0CC3 6 5-3 写出图中所示梁的柔度矩阵。梁本身的质量忽略不计，抗弯刚度为E I。（提示：用材料 力学简支梁的挠度公式） 答案： 3 9 11 7 l 11 16 11 768EI 7 11 9 5-4 下图中三级摆的广义坐标为

48、振动的微分方程。 1 ， 2 ， 3 ， m1 m2 m3 m ; l1 l2 l3 l 求自由 1 3 0 2 0 2 2 1 2 0 0 1 1 0 0 0 a1 0 0 a1 0 0 2 3 3 a13 a13 a13 1 2 2 a13 1 1 3 3 ml2 I3 I1 I2 0 2 1 2 1 答案： Z2 为 2 ，系统的轴的刚度分别为 K1跟 K 2 ，且减速器的齿轮的转动惯量略去不计。试建 Z1 立系统的自由振动微分方程 答案： mgl 0 0 5-5 下图所示船用动力装置， 它由两个同样的发动机组成， 惯量分别是 I1跟 I 2 。发动机的转速相同，带动转动惯量为 它们的回

49、转部分对于转轴的转动 I3 的螺旋推进器旋转。设转速比 式中： a11 K12 2 K1K2 2 2K1 2 K2 a12 K12 2 2 2K1 2 K2 K1K2 2K1 2 K2 5-6 如图所示弹簧质量系统， m1 m2 m3 m ; K1 K2 K3 K ,建立系统运动微分方 程。 答案： 10 m 0 1 00 0 x1 0 x2 x3 1 0 x1 2 1 x2 0 1 1 x 5-7 图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常数为EJ，上有集中质量 m1m2 m3m，在第 一个质量上作用有激振力 Pcos t 。试建立其运动微分方程。 5-8 在图示系统中， 各质量只能沿铅垂方向运动。

50、 求系统的无阻尼强迫振动的运动微分方程。 在质量 4m 上作用有铅垂激振力 P0 cos t ， 400 1 6 2 0 1 1 J 020 2 kt 2 3 1 2 001 3 0 1 1 3 答案 5-9 一汽车简化模型如图所示，各尺寸均以标出，求汽车的自由振动微分方程式。 mbz1 K1(a b)z1 K1(a b) y1 0 答案： m1 y1 K1z1 (K K1) y1 0 maz2 K2(a b)z2 K2(a b) y2 0 m2 y2 K2z2 (K K2) y2 0 5-10 如图所示的三自由度系统，若 J1 2J2 ， J2 2J3 kt1 2kt2 kt2 2kt3 ，

51、求系统自由振 动微分方程式。 坐标的振动 5-11 一发电机厂的汽轮机及其隔振系统的简化模型如图所示，导出对x y 微分方程。 mx 3Kx 6Ks 0 答案： 振动微分方程： my 3 Ky 0 9ms2 6Ksx 27Ks 2 0 5-12 求如图所示的 的固有频率及主阵 K1 6 K M 4m 。 弹簧质量系统 型。设 K 2 K ， 答案： m x1 x2 x3 K x4 x5 5 10 x1 x2 x3 0 x4 x5 求自由振动的微分方程式。 5-13 一轴盘扭振系统如图所示， 100 1 010 2 K 001 3 1 答案： I 0 1 01 1 2 0 13 第五章 （二 ）

52、 5-1 如图所示弹簧质量系统， m1 m2 m3 m ; K1 K2 K3 K ,求各阶固有圆频率及 主振型。 p1 0.445 K , p2 1.247 K , p3 1.802 K mmm 答案： 0.445 1.247 1.802 A10.802 , A20.555 , A12.247 , 1.000 1.000 1.000 5-2 对指定的广义坐标 1， 2， 3 ，求图示三级摆， 当第一、 二两质量上作用有简谐激振力 F0 sin t时的 2 稳态响应，其中 F0是常数， 2 2g 。 5l 答案： 1 2 5F0 4mg 5 sin t 5-3 图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常

53、数为EJ，上有集中质量 m1m2 m3m，在第 一个质量上作用有激振力 Pcos t 。假设各阶主阵型阻尼比 i 0.01（i 1,2,3）。已知激振 5-4 在图示系统中， 各质量只能沿铅垂方向运动。 在质量 4m 上作用有铅垂激振力 P0 cos t ， 求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼，假设振型阻尼比 频率 1.8 768EJ ml3 求各质量的稳态响应。 2k i 0.02（i1,2,3）， 2 1.25 ，求系统的稳态响应。 m 5-5 如 图所 示的汽 车在 Ic mab的 情形下 的固 有 频率， 设 a 2.3m，b 0.94m ， 3 m 5.4 103Kg ，