2-1因数与倍数

1、2-4空間中的平面重點整理1. 法線：垂直一平面之直線，稱為此平面之法線。2. 法線向量：與法線平行的向量稱為法線向量或法向量。3. 平面方程式：過P（x0, y0, z0），法向量為n = （a,b, C）之平面方程式為 a（xX0）+ b（y-y。）+c（z-Z0）= 0，可改寫為 ax + by+cz=d，其中 d =ax0 +by0 +cz0。（平面的法向量為此平面的特徵）4. 反之，設 a,b,c 亡 R， a2 +b2 +c2 H 0，則1ax + by +cz + d = 0表空間中 一平面的方程式。5.向量的外積:a =（ai，a2，a3）,b =（bi，b2，b3），則稱向量

2、a2a3a3aiaia2b2b/b3bi bib2ab =()a為兩向量的外積。（其中=ad - be)。6. 若 n 丄 a且 nib，則U n/(a 咒 b)。7. 平面族：設兩平面 Ei: aix+biy+ciz =di, E2: a2X+b2y= d2交於一線，則對任意h,k- R , h2 +k2 HO,h(aix +biy+ciz + di) +k(a2x+b2y+c2z+d2)=0 為包含此交線的平面方 程式。44附註：一般均假設為(aix + biy+CiZ+di)+k(a2X+b2y+C2z + d2)= 0。8. 設 E1 :+b1y+ C1Z=d1 ； E?: a?% +

3、b2y+ C2Z=d2，阮=(印山仆)，n2 =(a2,b2,C2)，其夾角為 0，則cos9 = 2a-,a2+b,b2+CiC2*1 Ml Ja/t2 +&2 Ja2b2C22而E1與E2之交角為0及兀-8。I9. E丄 Eq 吒= 1*2= 0 吒= 8182 + bb： + gCq = 0。10. E1/E2 G /*2。11. 點到平面的距離：設P(X0,y0,Z0)，E:ax+b y+cz + d=0;則點P到ax0 +by0 +cz0 +d平面 E 之距離 d(P,E) d(P,E) =0 0-。Ja2 +b2 +c212.平行平面的距離：設 E1 :ax+by+cz = d1,

4、E2 : ax+by+cz =d2，則 | * -d2 |d(E1，E2)= / fl。la2 +b2 +c2重要例題：例1.若一平面過A(2,1,3)且法向量為(3,-1,5)，求其方程式。類1.過點(3,0, -1)且與平面2X-3 y+ 5z=7平行的平面方程式為?類2.設A(14_3),B(5,6,7)，則AB的垂直平分面為Ans:1. 2x 3y+ 5z=1，2. 2x + y + 5z =21。例2.包含三點A(6, /,1),B(2,4),C(2,1,5)的平面方程式類1.求過A(0,1,2),B(-1,0,3),C(1,2,3)三點的平面方程式。Ans: 1. X y +1=0

5、。例3.求過兩點A(2,1,-1), B(1,1,2)並與平面E1 :7x+4y-4z+9 = 0垂直的 平面方程式。例 4. 一平面 E 與平面 E1 :4x-2y-Z-5 =0 , E2: 3x + y-z+1=0 均垂 直，且點(1,1,1)在E上，求E之方程式。類1.設一平面E過A(2,-1,0), B(3,0,5)且與xy平面垂直，求其方程式。類2.過點A(1,1,1)且垂直平面Ej :3x+y-z+1 =0與E2 ： 4x -2y -z - 5 =0的平面方程式為。Ans: 1. Xy3 = 0 , 2. 3x+y+10z = 14。例5.若平面E在x,y,z三軸的截距分別為a,b

6、,c試證：平面E的方程式為 3壬1。a b c例6.求過(-2,0,0), (0,3,0),(0,0,2)三點的平面方程式。類1. 一平面與平面3x + 2y + z +11=0平行，且其三軸之截距和為 22, 試求其方程式。類2.設一平面E與yz平面垂直，其y軸截距為5，z軸截距為-2，則此 平面方程式為Ans: 1. 3x+2y+ z-12=0, 2. 2y-5z-10=0。例7.求通過x+ 2y-3z +2=0與3x-2 y+ z-5=0的交線，且過點 (-3,1,7)的平面方程式。類1.包含x軸，且過(1,3,-1)的平面方程式為 。類2.求過兩平面2x + y-4=0與y+2z =

7、0的交線，且垂直平面 3x+2y + 3z-6 =0的平面方程式。Ans: 1. y+3z =0 , 2. x-z-2=0。例8.二平面2x +y -z =15與x-y - 2z = 8的銳夾角為兀類 1.設二平面 Ei：x + ky+z-27E2：x+J2y-z+1=0 的夾角為-,貝 q k =。E2 : 6x + ay + bz -1 = 0 ,E2 且 EE3，求 a,b,c。類 2.設 Ej :3x y + 2z7 = 0 ,E3 :2x-y + cz-3 = 0,若 E1/Ans:1.72 , 2. a=-2,b=4,c = -例9.平面E含有二點(0, -1,0),(0,0,1)

8、且與xy平面所夾之銳角為一，求E3之方程式。類1.包含直線(X-0且與平面y+ z-7 = 0夾角為一的平面方程iy+z+1=03式為？Ans:1. J6x +y+z+1=0。例10.設OABC四點不共平面，若OA,OB,OC兩兩互相垂直，且一 2OA =1,OB =1,OC =2，求點 O 到平面 ABC 的距離。Ans:-3例 11.求 3x + 2y-z+5 = 0 及 3x+2y-z 3 =0 之距離。類1.設P(1,3,3)與平面E:3x+6y+2z + d =0的距離為7,求d。別位於x軸，y軸，Z軸上，OA=OB=OC且D為OC中點，求O到平面ABC與O到平面ABD的距類2.如右圖的空間坐標中，O為原點，點A,B,C分離比。（86.自） 類3.求與平面Ei : x + 2y +3Z =6平行，且相距J14的平面方程式。類 4. E:x + y-2z+3=0,A(12-3),B(-5,-1,0), 若 AB 交 E 於 C , 求AC:BC =Ans:1.22 or-6，2. J2 :1，3. x+2y+3z = 8 or x+2y + 3z = -20，4. 4:1例12.求二平面2x + y - z=1, 4x -2y +