人口指数模型

1、指数函数的数据拟合 世界人口预测问题下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿)年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968人口29.7 30.6 31.5 32.1 32.3 32.8 33.5 34.2 34.8211345603有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发 展人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供

2、依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口 增长模型：rtye其中t表示经过的时间，yo表示t= o时的人口数，r表示人口的年平均增长率。表3是19501959年我国的人口数据资料:年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207t0123456789(1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增

3、长模型， 并检验所得模型与实际人 口数据是否相符；解：设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r9.55196(1 r1) 56300,可得1951年的人口增长率r 10.0200.同理可得,2 r0.0210,r 30.0229,r 40.0250,5 r0.0197,r 60.0223,r 70.0276,8 r0.0222,r 90.0184.于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为令y0 55196则我国在1950195年期间的人口增长模型为r (r1 r2. r9) 9 0.0221y 55196 e 0.0221 t .t N由图4可以看出，所得模型与1950

4、1959年的实际人口数据基本吻合。根据表格3中的数据作出散点图，并作出函数图4（2）如果按表3的增长趋势，大约在 哪一年我国的人口达到13亿？ 将 y=130000代入 y 55196e0.0221t.t N.由计算可得t 38.76 39所以，如果按表3的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将 面临难以承受的人口压力.fun cti on y=ys1(a,t) y=55196*exp(a*t);t=0:9;y=55196 56300 57482 58796 60266 61456 6

5、2828 64563 65994 67207; a0=1；a,res=lsqcurvefit(ys1,a0,t,y)t1=0:0.1:9;y1=55196*exp(0.0220*t1);plot(t1,y1,t,y,*)例1已知1790 1990年间美国每隔十年的人口记录如下：（人口单位：106）年1790180018101820183018401850人口3.95.37.29.612.917.223.2年1860187018801890190019101920人口31.438.650.262.97692106.5年1930194019501960197019801990人口123.2131.

6、7150.7179.3204226.5251.4用以上数据检验Malthus人口（指数）增长模型方法一(1) 编写函数M文件fitl (图1)function y=fit1(a,t)rty=3.9*exp(a*(t -1790);yyoe(2) 输入并运行如下命令t=1790:10:1990;y二3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,1232131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4;a0=0.1; a,res= lsqcurvefit(fit1,aO,t,y) a =0.021

7、7res = 1.2724e+004(或 t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2, 62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4;f=inline( 3.9*exp(a*(t-1790) ,a,t);a,res=lsqcurvefit(f,0.1 ,t,y)人口增长模型的图形显示ti=1790:1990;yi=3.9*exp(a*(ti-1790);plot(t,y,o,ti,yi)方法二rt(1) 编写函数M文件fitl (图2) yy

8、efunction y=fit1(a,t) y=a(1)*exp(a(2)*(t 1790);(2) 输入并运行如下命令t=1790:10:1990;y二3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4;a0=0,0; a,res= Isqcurvefit(fit1,a0,t,y)a =13.86950.0148rtyyeres =1.8257e+003人口增长模型的图形显示ti=1790:1990;yi=a(1)*exp(a (2)

9、*(ti-1790);plot(t,y,o,ti,yi)gtext(人口指数函数)%注释(或 t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7 ,179.3, 204, 226.5,251.4;c,d=solve(c*exp(d*10)=5.3,c*exp(d*20)=7.2,c,d)f=i nlin e(a(1)*exp(a(2)*(t-1790),a,t);a,res=lsqcurvefit(f,3.9,0.03,t,y)a=13.86920.0148res =1.8257e+003精选3002502001501005001750