矩阵可交换性质教材

1、矩阵可交换的条件及其性质摘要： 矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。本文 通过对可交换矩 阵理论的深入研究， 对矩阵的可交换做了深入的探讨， 归纳总结了矩阵可交换的条件及性质， 给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法 .关键词： 矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the core of

2、 the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words: Matrix ； Commutation ； The Com

3、mutation Of Matrix目录1 引言 - 1 -2 可交换矩阵的基本定义 - 1 -3 矩阵可交换的条件 - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件 - 3 -4 可交换矩阵的性质 - 5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法 - 5 -5.1 定义法 - 5 -6 结论（结束语） - 9 -7 致谢 - 10 -参考文献 - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容 . 本文从可交换矩阵的定 义出发，通过对矩阵理论的深入研究， 总结归纳了矩阵可交换的充分条件、 充要 条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法， 对矩阵理论 的研究具有重要的意义（

4、文中的矩阵均指 n阶实方阵） .2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即 AB BA，这是由于在乘积中一 方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义 . 所以当矩阵 AB 有意义时，矩阵 BA未必有意义；另一方面，即使矩阵 AB 、 BA都有意义时， 它们的级数也未必相等 . 因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二 个因子的列数 . 由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义 .定义 2.1 1 对于两个 n阶方阵 A, B，若 AB BA,则称方阵 A与B是可交 换的。3 矩阵可交换的条件3.1 矩阵可交换的充分条件定理 3.1.1（1）设 A 、

5、 B至少有一个为零矩阵，则 A、 B可交换；（2）设 A、 B至少有一个为单位矩阵，则 A、 B 可交换；（3）设 A、 B至少有一个为数量矩阵，则 A、 B 可交换；（4）设 A 、 B均为对角矩阵，则 A、 B可交换；（5）设 A、 B均为准对角矩阵，则 A、B 可交换；（6）设A*是A的伴随矩阵，则 A与A* 可交换；（7）设 A是可逆矩阵，则 A与A 1可交换;（8）设 AB E，则 A、 B可交换 .证明： （1）对任意矩阵 A，均有： A0 0A， 0表示零矩阵；（2）对任意矩阵 A，均有： AE EA， E表示单位矩阵；（3）对任意矩阵 A，均有： A（kE） （kE）A， k

6、为任意实数；（4、5）显然成立；（6）AA* A*A A E ；（7）AA 1 A 1A E ；（8）当AB E时， A 、 B均可逆，且为互逆矩阵 . 定理3.1.2（1）设AB A B,其中 , 为非零实数,则A, B可交换;（2）设Am AB E,其中m为正整数, 为非零实数,则A, B可交换 证明（1）由 AB A B 可得A E B E E即故依定理3.1.1 8 得1B E A E E ,于是BA A B E E, 所以BA A B AB;(2) 由 Am AB E 得A Am 1 B E,故依定理 3.1.1 8 得Am 1 B E, 于是Am BA E,所以可得 AB BA 定

7、理3.1.3(1) 设A可逆,若AB O或A AB或A BA,则A, B可交换;(2) 设A, B均可逆, 若对任意实数 k, 均有A A kEB,则A, B可交换2证明(1) 若AB O,由 A可逆得 B A1AB A1 AB O, 从而 BA O , 故AB BA; 若 A AB, 同理可得B A 1AB A 1 AB E,故 AB BA; 若 A BA, 则B B AA 1 BA A 1 E, 故 AB BA (2) 因A, B均可逆, 故由 A A kE B得A kE可逆, 且 B A kE 1 A, 则A B A kE B A kE 1 A1 B A kE A A kE B AA k

8、A A kE 11BA A kE A kE 1 BA AB 两边取转置可得 AB BA. 或由A 1B 1 A kE B 1 A kE 1 AB 1 A kE 1A 1 A kEB 1 A2 kE 1 A kEB 1 A kE A 1 A kE11B 1A 1两边取逆可得 AB BA.3.2 矩阵可交换的几个充要条件定理 3.2.1 下列均是 A,B 可交换的充要条件 A2 B2 (A B)(A B) (A B)(A B) (A B)2 A2 2AB B2 ; (AB) AB ; (AB)* A* B*证明：(1)由 (A B)(A B) A2 AB BA B2及(A B)( A B) A2

9、AB BA B 2可证得；(2)由 (A B)2 A2 AB ba B 2可证得；(3) 分别由 AB BA， (AB) AB 两边取转置可证得；(4) 分别由 AB BA，(AB)* A*B* 两边取伴随可证得 .定理3.2.2 可逆矩阵 A, B 可交换的充要条件是 AB 1 A 1B 1.证明 分别由 AB BA, AB 1 A 1B 1 两边取逆可证得 定理3. 2.3( 1) 设 A, B均为(反) 对称矩阵, 则 A, B可交换的充要条件是 AB为对称 矩阵;(2) 设A, B有一为对称矩阵 ,另一为反对称矩阵 ,则A, B可交换的充要条 件是 AB 为反对称矩阵证明(1) 设A,

10、 B均为对称矩阵 , 由定理3.2.1(3) , AB A B AB , 因此 AB为对称矩阵 ;若A, B均为反对称矩阵 ,则 AB AB A B AB因此 AB也为对 称矩阵.仿(1) 可证 (2)定理3.2.4 6 设 A, B 均为对称正定矩阵 , 则 A, B 可交换的充要条件是 AB 为对称正定矩阵 .证明 充分性由定理 3.2.3(1) 可得, 下面证明必要性因, A B为对称正定矩阵 ,故有可逆矩阵 P, Q,使A PP , B QQ于是AB PPQQ , P 1ABP P Q PQ所以P 1ABP为对称正定矩阵 , 其特征值全为正数 .而AB与P 1ABP相似, 从而AB的特

11、征值也全为正数 ,因此 AB为对称正定矩阵定理3.2.5 A PCP 1, B PDP 1,则 A与 B可交换的充分必要条件是 C、 D 可交换 .证明 因 AB BA, A PCP 1, B PDP 1, 得C PAP 1, D PBP 1,CD PAP 1 PBP 1 P AB P 1 P BA P 1 DC , 所以 C、 D可交换.另一方面 , CD DC , AB P 1CP P 1DP P 1CDP P 1 DC P BA, 所以 C、 D可交换.4 可交换矩阵的性质设 A,B 可交换，则有(1) ABm BmA,(AB)k AkBk,AlB BAl,其中m,k,l 都是正整数；证

12、明 ( 1)由 AB BA 可得ABm AB B BAB B B BA BmAm个m 1个m个同理可证 (AB)k AkBk,AlB BAl.(2)Af (B) f(B)A,其中 f (B)是B的多项式，即 A与B的多项式可交换；(3) Am Bm (A B)(Am1 Am 2BBm1)(Am 1 Am 2BBm 1)(A B)m(4) (A B)mCmkAm k B k ) (矩阵二项式定理) .k05 与已知矩阵可交换的矩阵的求法5.1 定义法求此类矩阵的基本思路是：按定义，设未知数，列齐次方程组，求通解。例 求与 A 1 2 可交换的矩阵1 -1解 根据定义，设与 A 可交换的二阶矩阵为

13、 x1 x2 ，即x3 x41 2x1x2= x1x21 2 ，则有，1 -1x3x4 x3x41 -1x1x22x1x2x12x3x22x4 ，即2x1x2x22x2x40x3 x4 2x3 x4x1 x4 x2 x4x 2x x 02t u 2tx1 2x3 x4解出 x1 2t u,x2 2t,x3 t,x4 u. 所以 t u 就是与 A 可交换的矩阵 .5.2 对角矩阵的可交换矩阵的求法定理 5.2.1 若 A diag (a1, a2 ,.,an), ai a j ，其中( i, j 1,2,.,n)，则A 与任意同阶方阵可交换；001例 设 A 1 0 0 , 求所有与 A 可交

14、换的矩阵 .010a1 解 设与 A 可交换的矩阵 B b1a2b2a3b3ai,bi,ci R i 1,2,3AB由 AB BA, 得100b1 b2b3a1a2a3010c1 c2c3b1b2b3a1a2 a3 0 01a2a3a1b1b2 b3 1 00b2b3b1c1c2 c3 0 10c2c3c1, a1b2,a2 b3 ,a3b1, b1c2 , b2c1c2c31 a1a3 c10a2c2BAc3, b3 c1 ,c1 a2, c2 a3 , c3a1c30故所求a1 a2a3Ba3a1a2a2a3a1同样可以求得与 A 可交换矩阵也是a1 a2B a3 a1 a2 a3a3a2

15、a1定理 5.2.2 若 A diag(a1,a2,.,an),ai a j ，其中(i, j 1,2,., n)，则与 A可 交换的矩阵一定是对角矩阵；5.3 一般方阵 A 的可交换矩阵的求法 一般地，对于任意的方阵A (aij)nnnnFnn，可化为 jordon 标准型：A2An其中 Aii1iki ki01100001110并且 1， 2， n 中有一些可以相等 .例5 已知10阶方阵 A 的Jordan 标准型为110012即存在U 可逆,使A UAU 1则 A 的初等因子为4X14设与 A 可交换的矩阵X11X AX 21X 22X23X 24X 32X33X 34X 42X 43

16、X 44X31X 41X 12 X13其中 Xij 为矩阵块 , X A的分块方法与 A相同,则12X13 X14 X23 X24 X31 X 32X 41 X 42其他 X11, X12 , X 21 , X 22 , X 33 , X 34, X 43 , X 44使不为零的上三角形矩阵 ; 又 1 4与 1 4的最大公因式为1 4所以 X11有4个非零参数.同理 1 4与 1 3的最大公因式的次数为 3,所以 X 12和X 21都有3个非零参数以此类推 , 可将 X A 表示成abcdefg0000abc0ef00000ab00e000000a000000X A0hklmpq00000h

17、komp000000h00m0000000000rst00000000r000000000wz其中啊a,b,c,d,e,f,g,h,k,l,m,p,q,r,s,t,w,z为非零参数,则与 A可交换的矩 阵 X A UAU 1由以上求法可以看出 ,如果n阶方阵A的特征艮没有重根 ,则与A可交换的 矩阵只有数量矩阵和零矩阵a1例 已知 Aa2其中a1 a2an两两不等 . 证明与 A 可交换的矩an阵只能是对角矩阵证明 设B与 A可交换，并对 A分别按列（行）分块，记为a11a21a12a22a1na2n2， ， n =，则an1an2annBA 1,ABa1a2an= a1 1，a2 2，ann

18、a1a2a1a2anan因为 BA AB, 即a1a11a1a21a2 a12a2a22an a1nan a2na1a11= a2a21a1a12a2a22a1a1na2a2na1an1a2 a2nan annanan1an an2an ann那么 aj aij ai aij ，又因ai aj ，可见 aiji j ，即A是对角矩阵 .例 武汉大学 1997 求所有的与 10 1 相乘可交换的 2 2 实矩阵，里 是非零实数 .x1 x2 解 设 x3 x422R22x1 x2 1 1x1x3 x4 0 1 0x1 x21 x3 x4，于是，x1 x1 x3,x1 x3 x2 x4 ,x3 x3,x3 x4 x41解得 x3 0,x1 x4,x2 为任意实数，所以与 0可交换的实矩阵为6 结论（结束语）baa0，其中 a, b为任意实数 .7 致谢参考