双曲线知识点及题型总结精华

1、双曲线知识点1双曲线定义:到两个定点Fl与F2的距离之差的绝对值等于定长 ( IF1F2I)的点的轨迹(| PFj - PF2| = 2a F1F2 ( a为常数)这两个定点叫双曲线的焦点.要注意两点：(1)距离之差的绝对值.(2 ) 2a | FiFa|时，动点轨迹不存在动点到一定点 F的距离与它到一条定直线 I的距离之比是常数 e(e 1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线2 2 2 22.双曲线的标准方程：x2 _y2=1 和y2-x2=1( a 0 ,b 0).这里 b2二C2-a2，其中 |FiF2 |=2c.a ba b要注意这里的a、b、c

2、及它们之间的关系与椭圆中的异同3.双曲线的标准方程判别方法是：如果X2项的系数是正数，则焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在 y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦 点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程 ，应注意两个问题: 系数法求解.正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定5.曲线的简单几何性质2 2x y厂1 ( a0, b 0)a b范围：x|a, y R对称性：关于 x、y轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点 A1 ( a, 0), A2 (a, 0)渐近线：yj1M 1M 2pX; |V-A;K1o K2A2 F

3、27若双曲线方程为2 x -2 a2b2渐近线方程2 x 2 a-0 =若渐近线方程为若双曲线与2 x2 a.by x a2一每=1有公共渐近线，可设为b2;十0=双曲线可设为22X 丄2.2ab上)特别地当为 x2 -y2准线：I1:2 x2a.by xa2丄-b2=( I 0，焦点在x轴上，:： 0，焦点在y轴=b时二 离心率e二2 =两渐近线互相垂直，分别为 y= _ x，此时双曲线为等轴双曲线，可设； bb- ；y= x, y=xaa22x= a , I2： x= a ，两准线之距为cc2K1K2 c2a焦半径：PF1 =e(x+)=ex + a ,(点P在双曲线的右支上xa )； c

4、2a*PF2 =e(x)=ex a ,(点P在双曲线的右支上 x王a)； c当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质(略)2 2 2 2与双曲线x- y =1共渐近线的双曲线系方程是2 y - (=0)a ba b2222X与双曲线X2a_y2 =1共焦点的双曲线系方程是b2yb2=1k6曲线的内外部点P(Xo,yo)在双曲线点P(x0,y0)在双曲线2 2x y22 =1(a0,b0)的内部a b2 2笃一占=1(a 0,b 0)的外部a b2y。T2 a b22Xqya2Xo1.b2：7曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为2 y b2(2)若渐近线方程为2若双曲线与笃ax2 y2x

5、22 牙=1 =渐近线方程：2abaybx= _2=0=双曲线可设为 a a b2 2 一爲=1有公共渐近线，可设为 x2 ba2_ yb2上).8双曲线的切线方程2xa2 bby x .a2 y_ _2 =(，. 0 ,焦点在x轴上, : 0，焦点在y轴2 2(1)双曲线 %-专=1(a 0,b 0)上一点P(X0,y。)处的切线方程是 辔-与 =1.a ba b2 2X y(2) 过双曲线 2 =1(a 0,b 0)外一点P(X0,y。)所引两条切线的切点弦方程是a b2 2XoX2ayoy 1 b2 (3) 双曲线笃-y -1(a 0,b 0)与直线Ax By 0相切的条件是 A2a2

6、- B2b2a b=c2.AB9线与椭圆相交的弦长公式若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB =胡 k2 X2 为=(1 k2)(x1 X2)2 -4x1X2=1； y2 沖=J(X1 X2)2 +(y1 y2)2AB , A、B两点分别为A(x 1, y”、Bg,y2)，则弦长(1 1)1(% y2)2 -4yiy2，这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想; k2咼考题型解析题型一：双曲线定义问题1. ab 0,b0）的左右焦点分别为e的最大值为5B. 52 2x yFi、F2,点P在双曲线的右支上，且I PFi I =4 I PF2 I ,7D. 7=（2 bo）的左、右焦点，过F1

7、且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于C .2B两点若 ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为（）A. 22x3.过双曲线M:|AB|=|BC|,则双曲线A.価B. . 32yC. 2D. 3B. = 1 的左顶点A作斜率为1的直线1，若1与双曲线M的离心率是（）的两条渐近线分别相交于B、C,且C.1035D. 24.在给定双曲线中,A.乙2过焦点垂直于实轴的弦长为C .2B. 22,焦点到相应准线的距离为D. 2 . 212,则该双曲线的离心率为（）27 =1（a0,b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个 b交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.（ 1,

8、2）B. （1,2）C.2,+ g）题型四：双曲线的距离问题2x5.已知双曲线aD.(2,+ g)2 21.设P是双曲线今=1上一点,a29若眄1|=3，则|PF2|等于（A.1 或 5双曲线的一条渐近线方程为3x 2y=0 , F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.2.已知双曲线)B.62 2=1的右焦点为4C.7D.912F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是3A.(,)33B. (-3, 3)D. - 3,33.已知圆C过双曲线x2y2石-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是题型五：轨迹问题1已知椭圆xA 0B 1CD

9、 2 +2y2 =8的两焦点分别为Fi、F2, A为椭圆上任一点。AP是/ AFg的外角平分线，且AP F2P=0. 则点P的轨迹方程是.2双曲线X2 y2 =4的两焦点分别为F、F2, A为双曲线上任一点。AP是/ F1AF2的平分线，且 AP F2P=0. 则点P的轨迹是（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D抛物线的一部分2 2 2 23求与圆（x-3） y =1及（x 3） y =9都外切的动圆圆心的轨迹方程 高考例题解析2x1已知F1,F2是双曲线y2 =1的左、右焦点，p、Q为右支上的两点，直线PQ过F2,且倾斜角为 则2PF+|QFPQ的值为（）A 4.2B 8C

10、2 2D随的大小变化答案：A解析：用双曲线定义列方程可解2过双曲线2x2-y2-2=0的右焦点作直线丨交曲线于A、B两点若AB|=4则这样的直线存在（）A 0条B 1条 C 2条D 3条答案：D解析：丨_x轴时的焦点弦长 AB=4最短为通径，故交右半支弦长为 4的直线恰有一条；过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条3.直线y- 5与曲线3x|x925=1的交点个数是A 0个B 1个C 2个D 3个答案：D解析：（0, 5）点为完整双曲线和椭圆的极值点，故y=5为其切线，当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交 于两点2 24. P为双曲线 务-卑-1上一点F为一个焦点，以 PF1为直径的圆与圆

11、x2 ya2的位置关系为a b（ ）A 内切 B 外切 C 内切或外切D 无公共点或相交答案：C解析：用两圆内切或外切的条件判断2x 2“5. 设F1,F2是双曲线y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足 F1PF90 ,则 PF1F2的面积为4（ ）0,-2k 0解得k的取值范围是-2ck-72k2 -22*2 -2(n)设0.A、B两点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)，则由式得_ 2k_ 2 -k2，2x2 卷=2i.k 2假设存在实数k,使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F (c,0). 则由FA丄FB得：x1x2(X1 c)(X2 c) wy2 =0.即(

12、X1c)(X2c) (kx1)(kx2 1)=0.整理得(k21)X1X2 (k -c)(x1 X2) c21 二 0.J 6把式及c代入式化简得25k22 6k -6=0.解得 k - -66或k=66-(-2一2)(舍去)55 6 +可知k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点.5(四川卷)9.已知两定点 斤(-&,0), F2C. 2,0),满足条件PF PF1 =2的点P的轨迹是曲线E ,直线y= kx1与曲线E交于A、B两点。(I)求k的取值范围；(n)如果 琵|=6巧,且曲线E上存在点C,使OA+OB = mOC,求m的值和 MBC的面积S。本小题主要考察双曲线的定义和性质

13、、直线与双曲线的关系、 点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。AB ,A =(2k ) 8(1 k )0石 +x2 = 一2k2 c0121 k2-2门X1X2 = 01 -k解：（I）由双曲线的定义可知，曲线E是以F.2,0 ,F2 .2,0为焦点的双曲线的左支,且 c = 2,a =1，易知 b =122故曲线E的方程为x -y = 1 x ： 0y = kx 1设A x-i, y1 , B x2, y2，由题意建立方程组1.x y =12 2消去 y，得 1 -k x 2kx-2=0 又已知直线与双曲线左支交于两点f21 k2 芒0AB = 丁1

14、 +k2-x2=.1 k2 x, x2 - 4x x2=.1 k2 -2k-k24 J22 21 k 2-k二 22 21-k21 F2再3 口-k2)整理后得28k4 -55k220 k2 = 5 或 k2 = 574依题意得2但 一 .2 :：k ： -1 k =275故直线AB的方程为x y 0勺T设C x0,y ，由已知 OA OB =mOC，得为， 沧壯二 mxmy。2x_, Ji , m = 0m m二 mxo,myo =丄2又片 x22k -1J45 8 j，I m m y点 c八4 5，y1yk X1X2 -2=学 2k -1642=1 得 m 二 4， m但当m二-4时，所得

15、的点在双曲线的右支上，不合题意 m = 4，点C的坐标为 -5, 2将点C的坐标代入曲线E的方程，得80mC到AB的距离为-x（ 严2 右2C,21 - 1ABC 的面积 S 6、3323练习题1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( , 7 , 0),直线y=x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是()2 222A. x y =1 B.1丄=1TT42. 双曲线虚轴的一个端点为A. , 3B. _62-23、已知双曲线xa2c. _632 y = 1 (a 0,b23M，两个焦点为FD.2 2乞土 =15 _21、F2,33b 0)的右焦点为2 2D.冬12 一 5/

16、 F1MF 2=120 ，则双曲线的离心率为()F,右准线与一条渐近线交于点 A , OAF的面积为(0为原点)，则两条渐近线的夹角为(A. 30oB. 45o4、已知双曲线的两个焦点为F1(-、.5,0)，F2C.5Q)，P是此双曲线上的一点，且 pr_pf2，|PR WPF2U2，则该双曲线的方程是2 2A. x _y =1 B.2 2丄=12C.乞2-y2 =1D. x2 _上 123322 244)C. 60oD . 90o5、已知F2是双曲线 笃与=1(a 0,b:0)的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边MF1的中 a b点在双曲线上，则双曲线的离心率是(A.

17、4 2.3B.3 -1的交点的个数是(6. 直线y= x+ 3与曲线-牛 +牛=1(A) 0 个 (B) 1 个 (C)7. 若双曲线x2 y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是2，则a+ b的值为()。(A) 1(B) 1(C) 1 或 1(D) 2 或22 2 2 22 28. 已知点F是双曲线 字一j= 1(a0, b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若 ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A . (1，+ )B. (1,2)C. (1,1 + .2)D . (2,1 + . 2)9. 设P为双曲线 1 y2= 1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点 M的轨迹方程是 .42 2 2 210. 求与圆A: (x+5) +y =49和圆B: ( x