新概念思维训练-小学五年级第讲圆与扇形-教师版

1、第15讲圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式 处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积； 学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。典型问题兴趣篇1 .已知一个扇形的圆心角为120。，半径为2,这个扇形的面积和周长各是多少？（ 刀取3.14）11解析：知道了圆心角，就相当于知道了扇形占圆面积的-,扇形的弧长也是圆周长的 -O331 22 .14 2 =4.19313.14 22 4 =8.1932 .已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为 60。，这个扇形的半径和周长各

2、是多少？（刀取3.14）1斛析：18.84 =3.14=一 =36 ,半径 r=66t 1周长：3.14 6 2 12 =18.2863 . （1）根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积.（/取3.14）（2）如图15.2,有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。 如果圆周率 /取3.14,那么花瓣图形的周长和面积分别是多少?困 15-1解析：1.圆的半径：4-4 = 1 周长:2面积：2 1 4 2 2 3.14 1 =15.142.如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上 4个。的面积减去4个，、的面积

3、，即加上 4X 3 4X 1 =1个半径为1的圆的面积.42所以花瓣组成的图形的面积为4X2X 21X1X1兀=16+3.14 = 19.14(平方厘米).4.如图15-3,求各图形中阴影部分的面积.(图中长度单位为厘米,刀取3.14)(2)(I)图 15-3.一 一 ， 9解析：1.用平移法阴影为三角形面积，3x3-2 = -22 .用平移法阴影面积为正方形面积，1父1 =1解析：1.考虑到重叠,3.14 22 -2 -2 2 =2.283 .(2 2-3.14 12)-2 3.14 12-：-2=224 .考虑到重叠，3.14父2 4父4=2=4.56. 2_5 .考虑到重叠，3.14父7

4、 丁47父7丁2=13.9656.图15-5中甲区域比乙区域的面积大 角形竖直的直角边的长度是多少？(57平方厘米，且半圆的半径是10厘米.其中直角三取 3.14)20厘米解析：（3.14x102 2 2 57）x2+20=10 （厘米）7 .求图15-6中阴影部分的面积.（ji取3.14）解析：我们只用将两个半径为 10厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积和即可,其中、面积相等.易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB的长度未知，单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如下图所示，则、部分变为一个以AC的直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有 AC=10

5、.两个四分之一圆的面积和为2X2X102X兀=50X 3.14= 157,而、部分的面积和4,1为1X10X10=50,所以阴影部分的面积为15750= 107（平万厘米）.28 .如图15-7,在3M的方格表中，分别以A、E为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是 90的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少？（ 刀取3.14）解析：3 3-3.14 3 4 - 2 2 -3.14 22 一： 4 =1.0759 .如图158,在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中， 裁出了 7个同样大小的圆铝板.问: 余下的边角料的总面积是多少平方厘米？解析：首先算出大圆和小圆的面积比，设小圆的半径为r,则大圆为3

6、r大圆面积：小圆面积=兀（3r）2 : nr2 =9 :1小圆的面积为36 + 9 = 4余下边角料的面积为：36 -7父4 = 8平方厘米10 . 一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I （图15-9）.让这个长方形绕顶点B顺时针旋转900后到达长方形H的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置.求A点经过的总路程的长度.（圆周率按3计算）A B CD E图 15-9解析：三次转动，每次 A点走的都是四分之一个圆周，只是圆周的半径不一样。第一次半径为4厘米，第二次半径为长方形的对角线，半径为5厘米，第三次半径为长方形的宽 3厘米。1八1八1八 八一，_M2nM4+M2nM5+

7、M2n 父 3 =18 厘米444拓展篇1. （1）已知一个扇形的半径为 2厘米，弧长为3.14,这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长.（ji取3.14）解析：1.由弧长公式l = 父2n得扇形为四分之一圆。3601 O 1.面积为：一父口2 = 父3.14父4 =3.14平方厘米 442 .首先算出来半径，56.52父2 + 3.14=36,半径为6厘米3 .半圆的周长为：3.14父6+6 M 2 = 30.84厘米2.如图15-10,求各图中阴影部分的面积.（图中长度单位为厘米，刀取3.14）图 15-10解析：1.利用平移法，阴影的面积

8、等于三角形面积的一半。10M10 + 2 + 2=25平方厘米2.先用分割法，将正方形分割为四个小正方形，在一个正方形中考虑重叠，阴影的年级为 个小圆面积的一半减去正方形的面积3.14x12 -2 -1父1 = 0.57平方厘米0.57 4 = 2.28平方厘米3 .如图15-11,直角三角形 ABC的面积是45,分别以B、C为圆心，3为半径画圆.已知图中阴影部分的面积是35.58.请问：角A是多少度？(刀取3.14)解析：利用三角形内角和为180度。以A点为原点，半径3厘米的扇形面积为：3.14x32 4-2.(45 35.58) = 4.71平方厘米4.7#（3.14父32）父360 =

9、60 度4 .图15-12是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径.如图15-13所示，让A点不动，把整 个半圆逆时针转60。，此时B点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？图 15-13(ji 取 3.14)解析：经过转化，阴影部分的面积就是扇形ABC的面积1父3.14父32 =4.71平方厘米65 .图15-14中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是 1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？图614S 15-15 解析：我们可以将图中空白部分分成8个形状相同、面积相等的小图形/= .其在圆内的位置如下图，有弓形 尸、部分面积为1

10、圆与等腰直角三角形 ABO的面积差,4即为 1 X12X 兀一lx 1X 1= 1X 3.14 0.5=0.285.424原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的4个的面积，即8个,/、的面积,而阴影部分面积又是整个图形面积减去4个的面积，即8个,、的面积.那么，原题图中阴影部分面积为4个圆面积减去16个，一f 的面积.所以，原题图中阴影部分总面积为4X12X兀一16x 0.285 = 4x3.14 4.56 = 8（平方厘米）.6 .图15-15中有一个等腰直角三角形ABC , 一个以AB为直径的半圆，和一个以 BC为半径的扇形.已知AB =BC=10厘米，那么图中阴影部分的面积为多

11、少平方厘米？（刀取3.14）解析：我们通过对图形的分析可以看出用直角三角形的面积减去扇形的面积，就为半圆内的空白部分，再用半圆的面积减去空白就可以了。21123.14 （10-2）-2（一父10M10父3.14父10 ） =28.5平方厘米287.图15-16是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的, 中阴影部分的面积是多少？（ 刀取3.14）其中圆的直径与扇形的半径都是4.图图 15-16解析：就是用扇形的面积减去里面正方形的面积1 八，2八八3.14 4 -4 4 - 2 = 4.564图 15-17图 J5JS图 15-198. （1）如图15-17,已知外面大圆的半径是4,求正方形以及里面小

12、圆的面积.（答案用刀表示）（2）已知图15-18中正方形的边长为2,分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积.（答案用刀表示）解析：1.里面正方形的面积为 4x2x2x4+2=32圆的面积为：:32-：-4= 8二2.扇形的半径为正方形对角线的一半。用正方形的面积减去一个扇形的面积，就可以得到一 个空白的面积1 12 2 -(2 2 -一 : 2) 4 二2嵬 -42 49.图15-19中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形.请问：两个阴影部分的面积之差是多少？(刀取3.14)解析：用长方形的面积减去四分之一圆的面积就可得到大阴影加上小四分之一圆减去上面阴

13、影的面积12_1_ .2_ _3.14 5 -5 2 - 3.14 2 =6.48544(ji 取 3.14)10. (1)根据图15-20中给出的数值，求这个图形的外周长和面积.(2)如图15-21,有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(刀取3.14) ,6 图 15-20解析：如图，小狗的活动范围是a、b、c、d、e五个部分，都是扇形，其中 b和e一样,解析：1.周长为一个圆的周长加上一个长方形的周长2 3.14 1 (4 2) 2 =18.28面积为 3.14 12 4 4 1 2 2 =23.142.3.14 父5+5父6 =45.7厘米

14、11.如图15-22, 一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周小狗的活动范围是多少平方米?都是空地.绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置. (建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，c 和 d 一样。所以活动范围的总面积为：Sa + Sb + Sc + Sd2-5Se2 2 + 0 盂 22 +6 父2122父=+22 M3 6 03 6 03 6 0一 728一 一一70n + Tt+ ti =86冗定258 。55edcba图 15-25图 15-2612. （1）图15-23中正方形的边长是 4厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫

15、过的面积有多大？（ 刀取3.14）（2）图15-24中等边三角形的边长是 3厘米，圆形白半径是 1厘米.当圆形绕等边三角形滚图 15-24动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 刀取3.14）解析：1.远走过的面积就是四个长方形，加上一个半径为 图12-劭圆走过的面积。4 4 2 3.14 22 = 44.56平方厘米2的圆走过的面积2.雨中你走过的面积就是三个长方形加上一个半径为3 3 2 3.14 22 =30.56平方厘米超越篇1 .如图15-25,边长为4的正方形中依次挖去了四个半圆.阴影部分的面积是多少？（答案用ji表不）2 .如图15-26,直角三角形的三条边长度为6、8、1

16、0,它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积是多少？（答案用 刀表示）3 .图15-27中是一个半径为10厘米，中心角为 135的扇形，D点、E是弧BC的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 刀取3.14）阴影部分的面积而图形可以通过平移得到图形,而图形是一个圆心角为图 15-284 .如图15-28所示，有7个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面积是多少？解析：题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与6个60的扇形，即一圆.所以，原题图中阴影部分面积为1个完整圆与6个工圆，即2个圆的面积.即原题图中阴影部分面积为2X10=205 .图15-29中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆 的直径为12厘米，该零件的面积为多少平方厘米？（ 刀取3.14）太屐!困 15-29解析：如图可知，小半圆的半径为大半圆的一半，因此零件面积为1 o 1027影=$大半圆-5小半圆=二二 62-二 32=42.392226 .把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转90度.如果它的直角边长为10,求它的