数学期望练习

1、1一对一授课教案离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础梳理离散型随机变量的均值与方差XX1X25Xi5XnPP1P25Pi5Pn1一般地，若离散型随机变量 X的分布列为则称 E =捲 P! X2P2 ,XnPn 为 E的均值或数学期望，简称期望.称 D =(XE )2P1+(X2- E )2P2+ , +(Xn-Ej2Pn为随机变量的均方差, 简称为方差，式中的 E是随机变量 的期望.标准差：D 的算术平方根、D叫做随机变量的标准差，记作2均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差DX表示X对EX的平均 偏离程度，DX越大，表示平均偏离程度越大，说

2、明X的取值越分散； DX越小，表示平均偏离程度越小，说明X的取值越集中稳定。正态分布：1.正态分布密度函数：1（7122f（x）： e - ,（ c 0, - xv8）J2g其中n是圆周率；e是自然对数的底；X是随机变量的取值；为正态分布的均值；6是正态分布的标准差正态分布一般记为 N（,；2）-2.正态分布N（；2）是由均值和标准差6唯一决定的分布3. 正态曲线的性质：正态分布由参数 卩、6唯一确定，如果随机变量 N（卩，6 2），根据定义有：卩=E ,6 =D。正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与X轴不相交。（2）曲线关于直线x = 卩对称。（3）曲线在x = 时位于最高点。（

3、4）当x 卩时，曲线上升；当 x 卩时，曲 线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x轴为渐近线，向它无限靠近。（ 5）当 一定时，曲线的形状由 6确定。6越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散； 6越小，曲 线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。4. 标准正态曲线：当口 =0、6 =1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是中小学个性化辅导专家悦羞一对一f(x)=1 e2 ,42(-g = 1.28，则().A. n= 8, p= 0.2 B . n=4, p= 0.4 C . n= 5, p= 0.32 D . n = 7, p= 0.45解析 XB(n, p) , E(X)=

4、 np= 1.6 ,D(X) = np(1 p) = 1.28 ,n= 8,p= 25. (2010 上海)随机变量E的概率分布列由下表给出：E78910该随机变量E的均值是P0.30.350.20.15解析由分布列可知 巳 E ) = 7X 0.3 + 8x 0.35 + 9X 0.2 + 10X 0.15 = 8.2.答案 8.2 6设随机变量EN ( , d),且 P ( E C)，贝U C 等于()A.0 B. dC.卩 D.卩解析：由正态曲线的图象关于直线x= 对称可得答案为 D. 答案：D7. 随机变量E服从正态分布 N (0, 1),如果P ( E 1) =0.8413，求P (

5、 1 E 0).解：I E N (0, 1) , P ( 1 E 0) =P (0 E 5为标准A, X3为标准B已知甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为6 元/件；乙厂执行标准 B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符 合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数 X的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望 曰X1)= 6,求a, b的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分

6、布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望. 在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性? 说明理由.注：(1)产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望产品的零售价(2) “性价比”大的产品更具可购买性.审题视点(1)利用分布列的性质P+ F2+ R+ F4= 1及E(X1) = 6求a, b直 先求茨的分布列，再求 E(X2) , (3)利用提示信息判断.解 因为 巳 X) = 6,所以 5 x 0.4 + 6a+ 7b+ 8 x 0.1 = 6,即 6a+ 7b= 3.2.又由X的概率分布列得 0.4 + a + b+ 0.1 = 1，即a+ b=

7、0.5.|6a+ 7b= 3.2 ,a= 0.3 ,由解得a+ b= 0.5 ,|b= 0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：9 中小学个性化辅导专家悦考一对一所以X345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)= 3X 0.3 + 4X 0.2 + 5X 0.2 + 6X 0.1 + 7X 0.1 + 8X 0.1 = 4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. 乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等

8、于6，价格为6元/件，所以其性价比为6=1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于据此，乙厂的产品更具可购买性.4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84=1.2.【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后 可能获利10%可能损失10%可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为2,44如果投资乙项目，一年后可能获利 20%也可能损失20%这两种情况发生的概率分别为a和B ( a+ 3 = 1) .(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益=回收资金投资资金 ), 求X的概率分布及 日X) ； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的 平均收益，求a的取值范围.解(1)依题意，X的可能取值为1,0， 1 ,X的分