小学奥数-容斥原理(教师版)

1、容斥原理蚪知识梳理）森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象 说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见 了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140种。” 这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠

2、被算了两次，应该再减去一，是 139种。”这个故事说明了一个 数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部 分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和 =属于A类元素个数+属于B类元素个数一既是A类又是B类的元素个数。即 AU B = A+B - A A B容斥原理2如果被计数的事物有 A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和 =A类元素个 数+ B类元素个数+C类元素个数

3、一既是 A类又是B类的元素个数一既是 A类又是C类的元素 个数一既是 B类又是C类的元素个数 +既是A类又是B类而且是 C类的元素个数。即 AU BU C = A+B+C - A AB - B AC - C PA + A ABAC特色讲解）容斥原理1【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有 4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和B类元素个

4、数”的总和。15+12-4=23【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15例2 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有 40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。40- (4837) =29 人。【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸，有 64人订了少年报

5、，有 48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？(0 j工J归人阴人a【解析】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64+48=112人，比总人数多112 96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。【例3】 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有 12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？【解析】由“ 16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用1

6、6+12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：(16+1220) +2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是 4+20=24人。【例4】五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？【解析】(24+28-32 ) + 2=10【例5】在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的

7、45人中又统计过一次。因此，75+45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的 20人，就是只懂英语的人数了：75 20=55人。【小试牛刀】40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有 30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？【解析】19人【例6】在1至1000这1000个自然数中，能被 5或11整除的自然数一共有多少个?【解析】如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被 5整除的自然数。如果把大圆内的200个自然数和小圆内 90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求

8、出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数一既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。【解析】 能被5整除的自然数有多少个？1000 + 5=200有 200 个。能被11整除的自然数有多少个？1000 + 11=9010 有 90 个。既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？1000+55=1810 有 18 个。所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90-18=272个。【小试牛刀】60名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、59、60的顺序依次报数，再让报数是 4的

9、倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？【解析】 从1到60中，4的倍数一共有：60+4=15个，6的倍数一共有：60 + 6=10个，既是4的倍 数又是6的倍数有：60+12=5个。一次都不转的学生是：60- ( 15+10 5) =40个，转两次的学生有5个，所以面向老师的学生还有 40+5=45个。【例7】有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？【解析】240厘米长的绳子每隔 4厘米作一个记号，这样一共有：240 + 41=59个记号；

10、每隔6厘米作一个记号，这样一共有：240 + 61=39个记号。而两者每隔 12厘米重复一个记号，这样一共重复了： 240+ 12 1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39 19=79,所以绳子一共被剪成了 79+1=80 段。容斥原理2【例8 某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有 2人，试说明，这个报名表有误。【解析】按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=

11、29 人，与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。【小试牛刀】某校六（1）班有学生 45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是 A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是 B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是 C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为 X。注意：这个题说的每

12、人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为 A类B类和C类的总和。25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3【例9 从1至1000这1000个自然数中，不能被 3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个?【解析】能被3整除的自然数有多少个?1000 + 3=3331有333个。能被5整除的自然数有多少个?1000 + 5=200有200个。能被7整除的自然数有多少个?1000 + 7=1426有142个。既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个?1000+ 15=6610有66个。既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个?1000 + 21=4713有47个。既能被5整除又能

13、被7整除的自然数有多少个?1000 + 35=2820有28个。能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个?1000 + ( 3X 5X 7) =955有9个。能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有:333+200+142- ( 66+47+28) +9=457 个。所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000- 543=457【小试牛刀】分母是 1001的最简分数一共有多少个?【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于 1001=7X 11X13,所以就是找不能被7, 11, 13整除的数。由容斥原理知：在11001中，能被7或11或13整除的数

14、有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（ 个）,从而不能被 7、11或13整除的数有 1001-281=720（个）.也就是说，分母为1001的最简分数有720 个.【例10】如下图，在长方形 ABCD, AD=15厘米，AB=8厘米，四边形 OEFG勺面积是9平方厘 米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】三角形ABD三角形AFQ三角形ACDO可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于 ADXAB+ 2=15X8+2=60 （平方厘米）。阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）（三角形AFD面积-四边形DEFGS积）=(60+60) - (60-9) =6

15、9 (平方厘米)。【小试牛刀】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为 38 .若A与B、B与C的公共部分的面积分别为 8、7, A、B、C这三张纸片的公共部分为 3.求A与C公共部分的面积是多少？【解析】设 A与C公共部分的面积为x,由包含与排除原理可得： 先“包含：把图形A、B、C的面积相加：12 +28+16 =56,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了 1次，因此要排除掉.再“排除” ：56-8-7-x,这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回. 再“包含”：56-8-7-x+3,这就是三张纸片覆盖的面

16、积.根据上面的分析得：56 87 x+3=38,解得：x=6 .【例11】某校五年级有120名学生，订故事大王的有85人，订儿童漫画的有 90人,62人，同时订儿童漫订优秀作文选的有 70人，同时订故事大王和优秀作文选的有画和优秀作文选的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有 5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了故事大王和儿童漫画的有多少人？【解析】 设同时订故事大王和 儿童漫画的有X人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5 , X=43,所以恰好只订故事大王和儿童漫画的有43-21=22人。容斥原理中的最值问题【例12】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给1

17、00盆花浇水，已知甲浇了 30盆，乙浇了 75盆，丙浇了 80盆，丁浇了 90盆，请问恰好被 3个人浇过的花最少有多少盆？【解析】为了恰好被 3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了 45盆，丙浇了 50盆，丁浇60盆了，这时共有100 30 =70盆花，我们要让这70盆中恰 好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45 +50 +60 140 =15 盆.【小试牛刀】甲、乙、丙同时给 100盆花浇水.已知甲浇了 78盆，乙浇了 68盆

18、，丙浇了 58盆，那 么3人都浇过的花最少有多少盆 ？【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为 68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端.于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆.【小试牛刀】例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？【解析】100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为 30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇 2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以.我们假设 70盆都

19、被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇 2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为 27盆.，曲家庭作业）1 .某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有 35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？【解析】 把懂英语和懂日语白人数加起来得35+34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：6921=48人。2 .在边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为1厘米的方框，把5个这样的方框放在桌面上 （如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米?【解

20、析】( 102-8 2) X 5-1 2X 8=172 (平方厘米)3 .张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了 32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次?【解析】 三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进 100-43=57次。张宏和王刚、王刚和 李立共投进的次数为 32+46=78次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去共投 进的次数，就是王刚投进的次数，列式为 78-57=21次，所以王刚投进了 21次。4 .育新小学举行各年级学生画展，其中有 18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的。现在知道五、六

21、年级共展出 22幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？【解析】其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅，20幅不是五年级的，换句话说，就是一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的 2倍加上五、六年级张数的和，一共是 18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。从而可以求出一至四年级共展出16 + 2=8张。5 .五（4）班的同学中有32人喜欢音乐，27人喜欢美术，音乐和美术都喜欢的有11人，请问：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人？【解析】 通过你自己画图，观察图可以看出：32+

22、27 11=48人，就表示五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共的人数。答：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有48人。6 .某一个班共有学生 50人，参加文艺活动的有 28人，参加体育活动的有 30人，并且全班每人至 少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？【解析】30+28=58人表示全班的总人数 50人和公共部分重复统计了一次的总数量，58 50=8人,这里的8个人就是这个班这两项活动都参加的人数。7 .分母是385的最简真分数有多少个？【解析】385=5X 7X 11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11

23、整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240 个。8 .一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。请问：两道题都做错的有几个人？【解析】 我们用A圆表示第一题全对的，B圆表示第二题全对的，两圆公共部分表示两题全对的，长方形表示参加考试人数，长方形内两个圆外表示两道题全错的人数。因为第一题对的有25人，两道题全对的有10人，因此第一题对第二题错的有15人。又因为第二题18人做错，18人比15人多3人。3人，因此这三

24、人只能是第一题错，第二题也错，即两道题都错的有9 .在1到2004的所有自然数中，既不是 2的倍数，也不是 3、5的倍数的数有多少个?【解析】1至U 2004中是2的倍数的有1002个，3的倍数的有668个，5的倍数的有2004/5=400 个，6的倍数的有 334个，10的倍数的有2004/10=200 个，15的倍数的有2004/15=133 个，30的倍 数的有2004/30=66 个。所以不是 2、3、5 的倍数有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 个.（“”表示对内的数取整.）10 .有50个女孩，她们的皮肤有白的或浅黑色的，眼睛则是蓝色的或褐色的，如果有14个蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，请问：褐色眼睛浅黑肤色的女孩有多少个？【解析】建议同学们画一个 “统计表”，因为褐色眼睛女孩是 18人，所以蓝色眼睛女孩是：50-18=32 人。又因为蓝眼睛白肤色女孩是14人，所以蓝眼睛浅黑肤色女孩是32-14=18人。又因为浅黑肤色女孩是31人，所以褐色眼睛浅黑肤色女孩有31-18=13人。11 . 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合