第十章第节高斯公式

1、高高斯斯 ( gauss ) 公公式式12一一. 高斯高斯 ( gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成 , 的方向取外侧 , 在 上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式dxdydzzryqxprdxdyqdzdxpdydz dsrqpcoscoscos 高斯 ( gauss ) 公式 dxdydzzrrdxdy 只证函数 p( x, y, z ), q ( x, y, z ), r ( x, y, z )3),(:),(:2211yxzzyxzz证明证明: 设yxdyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21 xy型区域zyxyxd231321

2、dxdydzzrdzzryxzyxz),(),(21yxddxdyyxryxr) ,() ,(),(2yxz),(1yxzrdxdy yxddxdyyxr) ,(),(2yxz),(1yxzyxddxdyyxryxr ) ,() ,(),(2yxz),(1yxz又所以dxdydzzrrdxdy yxddxdyyxddxdyyxr) ,(rdxdy312 4类似可证类似可证dxdydzzrrdxdy dxdydzyqrdxdyqdzdxpdydz dxdydzzryqxpdzdxq dxdydzxpdydzp 三式相加，即得所证gauss公式：若不是xy型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干个x

3、y型区域，在在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 ,故仍有5gaussgauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos(dsrqp 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯高斯 ( gauss ) 公公式式56二、简单的应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()( 其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的

4、空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. .xozy113解解, 0,)(yxrqxzyp 7, 0, 0, zryqzyxp dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113dzzrrdrd301020)sin( 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式78使用使用guass公式时应注意公式时应注意:1.1.rqp,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ;2 2. .是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件; ;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. .高斯高斯 ( gauss ) 公式公式892例

5、例dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(223231.上半球的下侧上半球的下侧是是2222rzyx:解解.)(12220的上侧的上侧加一平面加一平面ryxz 11111dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(2232311dxdydzyy)(12233421r 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式9101dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(2232131dxdyyxxyd22drrrdr020 332r 1133421r 332r 334r 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式1011xyzo例例 3 3 计算曲面积分计算曲面积分 dszyx)co

6、scoscos(222 , ,其中其中为为 锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面 0 z及及)0( hhz 之间的部分的下侧之间的部分的下侧, , cos,cos,cos 是是在在),(zyx处处 的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. . h 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式1112xydxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyd)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在

7、 11高斯高斯 ( gauss ) 公公式式1213dvzyx)(2 xydhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxdxy 其中其中 xydhyxdzyxdxdy22, 0)(1222dszyx)coscoscos( .214h xyzo h 1 xyddszyx1222)coscoscos( 1222dxdyzdzdxydydzxxyddxdyyxh)(222xydhyxzdzdxdy222,高斯高斯 ( gauss ) 公式公式1314 112222)coscoscos(dszdszyx xyddxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dszyx)coscosc

8、os(222421h 4h .214h xyzoh 1 xyd高斯高斯 ( gauss ) 公式公式1415:问题问题dxdyyxeydzdxxdydziz22.,所截部分外侧所截部分外侧被被为为2122zzyxz?公式公式能否加减两平面用高斯能否加减两平面用高斯高斯高斯 ( gauss ) 公式公式1516三、通量与散度例中例中在第二类曲面积分的引在第二类曲面积分的引流量的概念流量的概念设向量场设向量场kzyxrjzyxqizyxpzyxv),(),(),(),( 是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, , 单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .

9、 dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( sdv,rqpv 其中其中,dxdydzdxdydzsd.称为有向曲面元称为有向曲面元高斯高斯 ( gauss ) 公式公式18171、通量的定义设设有有向向量量场场kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为rdxdyqdzdxpdydzsda称称为为向向量量场场),(zyxa向向正正侧侧穿穿过过曲曲面面的的通通量量. .的电通量的电通量单位时间通过单位时间通过为电场强度为电场强度如如,esdei的磁通量的磁通量单位时间通过单位时间

10、通过为磁感应强度为磁感应强度,bsdbi18极限极限vsdamv lim存在存在, , 2. 2. 散度的定义散度的定义: :adiv= = vsdamv lim 处的通量强度处的通量强度反映了在点反映了在点),(zyx高斯高斯 ( gauss ) 公公式式2019散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式sdadvzryqxp)(sdavdvzryqxpv11)(sdavzryqxp1),()( sdavzryqxpm1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,zryqxpadiv高斯高斯 ( gauss ) 公式公式2120:说明说明、散度是一数值。、散度是一数值。1),(zyxfu 、梯度：、梯度：2kzfjyfixfzyxgradf),(向量向量5例例kxzjxyieaxy)sin()cos(2adiv求求:解解zryqxpadiv)cos()sin(22xzxzxyxyexy高斯高斯 ( gauss ) 公公式式2221思考与练习思考与练习1. 设 为球面2222rzyx的外侧, 为 所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确 ?(1)dxdyrzdzdxrydydzrx333333dvr3r4(2)dxdyrzdzdxrydydzrx333333dvrzzryyrxx33333331rdxdyzdzd