维单位坐标向量组构成的矩阵

1、解解 n维单位坐标向量组构成的矩阵e = ( e1， e2， ， en )是 n 阶的单位矩阵。由 |e| = 1 0，知r(e) = n ，即 r(e) 等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的。例例2 已知123102124157,. 试讨论向量组 1，2，3 及向量组 1，2 的线性相关性。 解解 对矩阵（ 1，2，3 ）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 (1，2，3) 及矩阵（1，2）的秩，由定理 4 即可得出结论。（1，2，3）=102022055=102011000, 可见 r( 1，2 ，3) = 2,由定理4知向量组 1,2 ,3 线性相关；

2、 r( 1，2)2，向量组 1,2 线性无关。102124157 例例3 已知向量组1, 2 , 3线性无关 ,令 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , 3 = 3 + 1,试证向量组1 , 2 , 3线性无关。证证 设有x1 , x2 , x3使x1 1+ x2 2 +x3 3 = 0,即 x1 ( 1 + 2 ) + x2( 2 + 3 ) + x3 ( 3 + 1 ) = 0亦即 ( x1 + x3 ) 1 + ( x1 + x2 ) 2 + ( x2 + x3 ) 3 = 0因 1, 2 , 3 线性无关 ，故有131223000 xxxxxx由于此方程组的系数行列式1011

3、1020011 故方程组只有零解 x1= x2 = x3 = 0，所以向量组 1 ,2 ,3线性无关。 定理定理5 （1）若向量组 a: 1 ,2, , m 线性相关，则向量组 b :1, 2 , m , m+1也线性相关。反言之，若向量组 b 线性无关，则向量组 a 也线性无关。 证证:记 a = ( 1 ,2, ,m ) , b = ( 1, 2 ,m ,m+1 ) 有r(b) r(a) + 1 ，若向量组a线性相关，则由定理4有r(a) m ,从而 r(b) r(a) + 1 m + 1,再由定理4知向量组 b 线性相关。 由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组必线性

4、相关。特别地，含有零向量的向量组一定线性相关。一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关。(2) 设111 jjjjrjrjrjaa,aaa( j = 1,2,m ) 即向量j添上一个分量后得向量j,若向量a:1, 2, m线性无关,则向量组b:1,2 ,m也线性无关,反言之,若向量组 b 线性相关,则向量组 a 也线性相关. 证证 记arm = ( 1,2,m ), b(r+1)m = ( 1, 2 , , m ),有r(a) r(b).若向量组a线性无关，则r(a) = m,从而r(b) m.但 r(b) m,故 r(b) m ，因此向量组 b 线性无关。 推论 若r维的向量线性无关,

5、在r维的向量组每个向量都添上n-r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关。 （3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时一定线性相关。 证证 m个n维向量1,2,m构成的矩阵 anm = (1,2,m),有r(a) n.若n m,则r(a) m,故m个向量1,2,m线性相关。 例例4 设有向量组it = (ai, ai2, ,ain ),(i = 1,2,m. m n ),试证向量组1t,2t,mt,线性无关，其中a1, a2, am 为m个互不相等且不等于零的常数。证证 因为1t = (a1, a12, a1m,a1n )2t = (a2, a22, a2m,a2n )

6、mt = (am, am2, amm,amn ) 前m个分量作成的行列式122221212mmmmmmaaaaaaaaa121211112111mmmmmmaaaa aaaaa 从而向量组1t = (a1, a12, a1m)2t = (a2, a22, a2m)mt = (am, am2, amm)线性无关，所以增加分量后所得的向量组 1t , 2t, , mt线性无关。 1210mjij i ma aaaa 例例5 设a是 nm 矩阵，b是 mn 矩阵，其中nm，若ab = e，证明b 的列向量线性无关。 证证 设b = ( 1, 2, , n )，其中1, 2 , , n 是 b 的列向

7、量，若x1 1 + x2 2 + + xn n = 0即 （ 1, 2 , , n ）= bx = 0 两边左乘 a得 abx = 0 ，即 ex = 0，从而x = 0，所以1, 2 , , n 线性无关。12nxxx 例例6 设向量 可由向量组1，2， ， m线性表示，但不能向量组 () 1，2， ,m-1 线性表示，记向量组（） ，1，2， ,m-1 ，则m能由（） 线性表示，但不能由()线性表示。证证 由于 可由1，2， ， m线性表示，即 11+ 22+ + m m又因为不能向量组 1，2， ,m-1线性表示，所以 m0，从而1121211mmmmmmm 故则 m 能由（） 线性表示。假设m能由()线性表示，则有m k11 + k22 + + km-1m-1 1 1+ 2 2+ + m m 11