现代控制理论复习题

1、百度文库让每个人平等地捉升口我现代控制理论复习题1二、（15分）考虑由下式确立的系统:$ + 3+ 3s + 2试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型,并画出能控标准型的状态变虽图。8解：能控标准形为能观测标准形为3 + u1对角标准形为:Ho ：三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对 系统求其状态转移矩阵。解：解法 容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是人=-1, A2=-2,它们是不相同的，故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值人=-1,人=-2的特征向量是取变换矩阵片=v2=-J因此，D = TArrl =0 -2从而，e

2、Al =厂 1oT ='11 e-f0 "_ 2 1 '.0-2i e-1-2_0-2t e-1 -12kee'-e'2Q+ 2e2t-e'+ 2不It解法2。拉普拉斯方法由于(si - A)-1 =S一 1-i"nr! ( c/ m "5 + 312 $ + 3det(5/ - A)s(s + 3) + 2-2 s5 + 31'2111 '(5+ 1)(5+ 2)(5+ 1)(5+ 2)S+ 15 + 25 + 15 + 2-2S-22十-1 2丄(5+ 1)(5+ 2)(5 + 1)(5 +2) J_s

3、+ 15 + 25 + 1s + 2-(0 = 0如=/7G/_A)T =一 2e + 2水力解法3。凯莱哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成0“ =«0(r)/ + d(f)A系统矩阵的特征值是-1和-2,故严=的_2讥）解以上线性方程组，可得厂 =5（。一4（/）因此,= q)a” +ax(t)A =2k -严一 2 严 + 2e'2f四. （15分）已知对象的状态空间模型x = Ax + Bu, y = Cx,是完全能观的，请画出观 测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设讣方法。解观测器设计的框图:观测器方程:x = Ax + Bu + L(y - Cx)=(A LC

4、)x + Bu + Ly其中：是观测器的维状态，L是一个®维的待立观测器增益矩阵。 观测器设计方法：由于det/lZ 一(A - LC) = det/lZ 一 (A - LC)7 = det/Z 一 (屮 一 C1 H )因此，可以利用极点配置的方法来确泄矩阵乙 使得at-ctl!具有给泄的观测器极点。具 体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。五、（15分）对于一个连续时间线性左常系统，试叙述Lyapunov稳左性左理，并举一个二 阶系统例子说明该定理的应用。解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳怎性定理：线性时不变系统i = Av在平衡点匚=0处渐近稳泄的充分必要条件是：对任意给

5、左的对称正泄矩阵Q、李雅普诺夫矩阵方程ATP + P4 = -0有惟一的对称正圧解P.A?P + PA = /在具体问题分析中，可以选取Q"其中的未知对称矩阵Pll P12P1 P22考虑二阶线性时不变系统：bdJ兀2原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程- 2f =-1 几-円2 - "22= ° 2门2 _2如=_1将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得进一步可得联立方程组从上式解出“2和“22,从而可得矩阵pPu 呵=卩/2 1/2'12 “221/2 1 .3S根据塞尔维斯特方法，可得= = >（） A. =detP

6、= ->024故矩阵P是正左的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范用渐近稳左的。G(s) =10($ + 1)($+ 2)六、（10分）已知被控系统的传递函数是试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ±jo 解系统的状态空间模型是 0 1ox =x +-2 -31y = 10 0x将控制器M = -人卜代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程该闭环系统的特征方程是det（AZ 一 ） = /I? +（3 + ）2 + （2 + 心）期望的闭环特征方程是（A + l- j）（2 + 1 + 刀=才 + 2兄 + 2通过几 + （3 + ）/1 + （2 +

7、心）=才 + 2/1 + 2可得3 + k =22 + &（）= 2从上式可解出因此，要设汁的极点配置状态反馈控制器是 七、(10分)证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。 证明对状态空间模型x = Ax + Bu y = Cx + Du它的等价状态空间模型具有形式x = Ax + Buy = Cx + Du其中:A=TAT'B=TB C =CT D=DT是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是 rtA,B = B AB = TB TArTB . (TAT''TB= TB AB .= TTelA.B由于矩阵T是非奇异的，故矩阵

8、V(Aj,和rrAB具有相同的秩，从而等价的状态空间模型具有相同的能控性。八、（15分）在极点配置是控制系统设讣中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系统 的哪些性能？对系统性能是否也可能产生不利影响？如何解决？解：极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。极点配置也有一些负而的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配宜后， 其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不 仅保持期望的动态性能，而且

9、避免了稳态误差的出现。现代控制理论复习题2二、（20分）已知系统的传递函数为G($) =25 + 5(5+ 3)(5+ 5)（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图:（2）采用并联分解方式，给出英状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答：（1）将GG）写成以下形式： 这相当于两个环节丄和空兰串连，它们的状态空间模型分别为:G(s) =2$ + 5s + 55+3$+5x2 = -5x2 + 绚 y = -5x2 +由于故可得给泄传递函数的状态空间实现是:I 水=-3X + u12 = X - 5X2 .y = 2勺-5X2 将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变

10、量图为:3 35 d串连分解所得状态空间实现的状态变量图(2) 将GG)写成以下形式：G（；S） =-0.5 + 5 + 32.5s + 5它可以看成是两个环节-竺和丄丄的并联，每一个环节的状态空间模型分别为:5 + 35 + 5f.Xj = -3,Xj -0.5it Im =五和= -5x2 +2.5m<Vi = xsV -由此可得原传递函数的状态空间实现：| £ = _3曲-0.5/I*? =-5x2 +2.5/+兀=舟+勺进一步写成状态向虽:的形式，可得:'-30'+-O.5' 0 -5?2_2.5对应的状态变量图为:百度文库-让毎个人平等地捉升自

11、我并连分解所得状态空间实现的状态变量图三、(20分)试介绍求解线性立常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子 为例，求解线性泄常系统的状态转移矩阵：答：求解状态转移矩阵的方法有：方法一直接计算法：根据状态转移矩阵的定义(f) = eA, = I + At+A212 + + 丄乂 "广 + 2!来直接计算，只适合一些特殊矩阵A。方法二通过线性变换讣算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵A变换成对角矩阵或 约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。方法三拉普拉斯变换法：= L($/ - A)'1 .方法四凯莱-哈密尔顿方法根据凯莱哈密尔顿左理和，可导出e川具有以

12、下形式：护=a0 (r)I + a, (t)A + a2(t)A2 + + %其中的(f), a2(t一(/)均是时间t的标量函数。根据矩阵A有个不同特征值12和有重特征值的情况，可以分别确左这些系数。 举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵-1 0A =0 -1所确左的自治系统的状态转移矩阵。由于(刃_上尸加=甌厂严宀)05+110I1S+1(D(/)= =r1(7-jy,o_-0旷四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个 零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出

13、来估计之前某个时刻的系 统状态。状态能观的判别方法：对于“阶系统x = Jx + Buy = Cx C CA1. 若其能观性矩阵匚=列满秩，则系统完全能观CAnl2. 若系统的能观格拉姆矩阵叫（0/）二非奇异.则系统完全能观。 举例：对于系统1 (T'0'X +1 1_1y = o lx其能观性矩阵'C'CA的秩为2,即是列满秩的，故系统是能观的。五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？（2）简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；（3）试通过数值例子说明极点配苣状态反馈控制器的设计。答：（

14、1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。（2）极点配宜状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。 直接法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。设状态反馈控制器i（=_Kx,相应的闭环矩阵是A-3K,闭环系统的特征多项式为detxJ-(-5)w由期望极点入，,4可得期望的闭环特征多项式(D (八人)=宀 ”】十也沪十十通过让以上两个特征多项式相等，可以列岀一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组 线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K。变换法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵T = Yc

15、Aj(TcA.Br设期望的特征多项式为久”+4-忆”一+2_22"2+ %而能控标准型的特征多项式为丁 +休/1+2广2 +心所以，状态反馈控制器增益矩阵是(3) 采用直接法来说明极点配巻状态反馈控制器的设计考虑以下系统"0 1 'X +2 -3.1设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2-和-3。该状态空间模型的能控性矩阵为rcj,5=P 1L1 -3_该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。设状态反馈控制器u = -Kx = -kQ 血卜将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程01A =, X2 _ 心- k、其特征多项式为detA7-(A-BK) = T

16、+ (3 + 心)2 2 + kQ由期望的闭环极点- 2和-3.可得闭环特征多项式百度文库让每个人平等地捉升口我(2 + 2)(/l + 3) = /l2+57i + 6通过可得由此方程组得到22 + (3 + )x-2 + /r0 =加 +52 + 63 +占二 5-2 + 心二6人二820因此，要设汁的极点配置状态反馈控制器二一心二-82卜六、（20分）给定系统状态空间模型x = Ax（1）试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳左性？（2）试通过一个例子说明您给岀的方法：（3）给岀李雅普诺夫稳定性立理的物理解释。答：（1）给左的系统状态空间模型无=Ax是一个线性时不变系统，根据线性时不变

17、系统稳泄性 的李雅普诺夫左理，该系统渐近稳雄的充分必要条件是：对任意给泄的对称正立矩阵0，矩 阵方程ArP + PA = -Q有一个对称正左解矩阵P。因此，通过求解矩阵方程ArP + PA = -Q, 若能得到一个对称正定解矩阵P，则系统是稳定的：若得不到对称正上解矩阵P，则系统是 不稳定的。一般的，可以选取Q = I°（2）举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统：原点是该系统的惟一平衡状态。求解李雅普诺夫方程："P+PA = -0，其中的未知矩阵pJPn PnPn P21将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得-10Pn+_0-1必2 一为了计算简单，选取

18、Q=2人则从以上矩阵方程可得:_5i = 一？"12 = 0求解该线性方程组，可得:P1】二如二1，円2=°判断可得矩阵P是正左的。因此该系统是渐近稳左的。（3）李雅普诺夫稳立性泄理的物理意义：针对一个动态系统和确泄的平衡状态，通过分析 该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳左性。具体地说，就是构造一个反映系统运动 过程中能就变化的虚拟能疑函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值 来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能虽随着时 间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至 在平衡状态处稳

19、定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳泄性。现代控制理论复习题3二、（20分）（1）如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型试简述其解决思路？（2）给出一个二阶传递函数G（沪声声的两种状态空间实现。G(s) =解：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是X>11s + ans *+ + dS + do若亿HO,则通过长除法，传递函数G（s）总可以转化成+d 二型+da(s)%严+ + % +5十1 + + G1S 十将可得一个状态空间实现0010010'000 X =X +000 10一 5一JV = 九2gk + d"串联法其思想是将一个加介的传递函数分解

20、成若T低阶传递函数的乘积然后写出这些低阶 传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写岀原来系统的状态空间模型。并联法其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若低阶传递函数的和，然后对每个低阶 传递函数确泄其状态空间实现，最后根据并联关系给岀原来传递函数的状态空间实现。(2)方法一：将G(s)重新写成下述形式：2$ + 5s+5每一个环节的状态空间模型分别为:丘1 = 一3可+ u= Xx2 = -5x2 +y = -5.x2 + 2”i又因为y =,所以±i = -3眄 + /<x2 二 X _ 5工2y = 2X - 5x2 因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为:-

21、30 '+丁/2.1 一 50方法二：将G(s)重新写成下述形式:G二-0.52.5+s+35+5每一个环宵的状态空间模型分别为:片-S.Vj -0.5/丁1=兀1X1) = + 2.5/小= -V2又由于*1 = 一3X -0.5?/<x2 = -5X2 + 25"7 =必+乃=习+兀2因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：_-30 -+- 0.5'主0 一 54 2.5方法三：将GG）重新写成下述形式:G（沪s2 +8$ + 15则系统的状态空间模型为:评分标准：问题（1）10分，由一个传递函数转换为状态空间模型思路清晰，方法正确10分: 问题（

22、2） 10分，两种状态空间实现方法各5分。三、（20分）（1）试问状态转移矩阵的意义是什么？（2）状态转移矩阵是否包含了对应自治系统的全部信息?（3）介绍两种求解线性左常系统状态转移矩阵的方法：（4）计算系统丘=°1的状态转移矩阵。-2 -3解：（1）状态转移矩阵的意义是决定状态沿着轨线从初始状态转移到下一个状态的规律， 即初始状态X在状态转移矩阵（H）的作用下,r时刻的初始状态X经过时间后转移到了时刻 J的状态X。（2）状态转移矩阵包含了对应自治系统的全部信息：对于自治系统A- = Ax, d）（0） = A（3）拉普拉斯变换法、凯莱-哈密尔顿法、线性变换法、直接讣算法。 方法一直

23、接计算法根据左义，死5+扫沪+我们已经知道上式中的矩阵级数总是收敛的，故可以通过计算该矩阵级数的和来得到所要求 的状态转移矩阵。方法二线性变换法如果矩阵A是一个可对角化的矩阵，即存在一个非奇异矩阵八 使得Ao'TAT1=D =00方法三拉普拉斯变换法/=厂何-4尸方法四凯莱-哈密尔顿法解一个线性方程组1 A石ao(01厶处麗- ! .1九尤爲eer其系数矩阵的行列式是著名的范徳蒙行列式，当)a,；I互不相同时，行列式的值不为零, 从而从方程组可得惟一解a,a,a。由eAt = aQ(t)I + 印(力4 + a2(t)A- + + c(n_x(t)AKA可得状态转移矩阵。(4) 方法一

24、：线性变换法，容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是人=-1,人=-2,它们是不相同的，故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应与特征值人=-1, 22 =-2的特征向量是取变换矩阵T =is'1 =因此,从而,方法二：拉普拉斯变换法，由于det(5l 一 A)adj(5l - A)_1$ + 35(5 + 3)+2 2' s + 3G + DG + 2)151G + 1)G + 2)-2G + DG + 2)2 15+15+2-2 21S+15+2G + 1)G + 2)11 一s + 15 + 2-12-Ls + 15 + 2S=2-訂-_ - 2e_r + 2e'2r-

25、eF±2e2r方法二：凯莱哈密尔顿法 将状态转移矩阵写成百度文库-让毎个人平等地捉升自我系统矩阵的特征值是-1和-2,故ef =戶二 G）-2c/i（f） 解以上线性方程组，可得Qq （?） = 2'f - e1%（“=宀严因此，宀兔（呼如.4 =（27 + A）e-： - CZ -F A）e'2t _2e* - e2t k - e21评分标准：每个问题5分。问题（1）状态转移矩阵的意义叙述完整5分：问题（2）判断正确 5分：问题（3）给岀两种求解线性泄常系统状态转移矩阵的方法5分；问题（3）方法和结果 正确5分。四、（20分）（1）解释系统状态能控性的含义：（2）给

26、出能控性的判別条件，并通过一个例子来说明该判别条件的应用；（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指左的状态，这 一控制效果在实际中能实现吗？为什么？解：（1）对一个能控的状态，总存在一个控制律，使得在该控制律作用下，系统从此状态 出发，经有限时间后转移到零状态。（2）通过检验能控性判别矩阵B AB AB是否行满秩来判别线性时不变系统的能控性。若能控性判别矩阵是行满秩的，则系统是能控的。 试判别由以下状态方程描述的系统的能控性：系统的能控性判别矩阵中，5 = BAB='1 ff"1_0 -1_0_0 0_1由于clet（reA, B） = det百度

27、文库让每个人平等地捉升口我即矩阵珥4 B不是满秩的，该系统不是状态完全能控的。（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指泄的状态，这 一控制效果在实际中难以实现，丁越小，则控制律的参数越大，从而导致控制信号的幅值很 大，这要求执行器的调节幅度要很大，从而使得在有限时间内完成这一控制作用所需要消耗 的能量也很大。由于在实际过程中，执行器的调节幅度总是有限的（如阀门的开度等），能 量供应也是有限制的。评分标准：问题（1）系统状态能控性的含义叙述完整6分：问题（2）能控性的判别条件4分, 举例3分；问题（3）判断正确3分，原因分析正确4分。五、（20分）（1）能够通过状态反

28、馈实现任意极点配置的条件是什么？（2）已知被控对象的状态空间模型为 0 1x =X +-3 -41y = 3 2x设计状态反馈控制器，使得闭环极点为-4和-5°（3）极点配置是否会影响系统的稳态性能？若会的话，如何克服？试简单叙述之？ 解：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是系统状态能控。（2）由于给出的状态空间模型是能控标准形，因此，系统是能控的。根据所期望的闭环极 点是-4和-5,可得期望的闭环特征多项式是 *（几）=貝2 +9 貝+20因此，所要设计的状态反馈增益矩阵是K = 20 3 9-4 = 17 5相应的闭环系统状态矩阵是A-BK =0 1-20 -9闭环传递

29、函数是G（s） = -s2十9s十20评分标准：问题（1）给出通过状态反馈实现任意极点配苣的条件6分：问题（2）状态反馈控制器设计方法正确7分：问题（3）判断正确3分，叙述克服方法4分。六、（10分）（1）叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳左性左理；一1 1 1 （2）利用李雅普诺夫稳沱性立理判断系统丘=x的稳泄性。0 -1_解：（1）连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳泄性左理：线性时不变系统x = Ax在平衡点兀=0处渐近稳立的充分必要条件是：对任意给龙的对称正圧矩阵0存在一个对称正定矩阵P，使得矩阵方程 AJP + PA = -Q 成立。离散时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳泄性左理；线性时

30、不变系统x伙+1） = Axk）在平衡点xe=O处渐近稳左的充分必要条件是：对任意给泄的对称正左矩阵Q.矩阵方程AtPA-P = Q存在对称正泄解矩阵P。（2）原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫方程atp+pa = -i其中的未知对称矩阵p= Pn A 2bi2 Py>.将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得24进一步将以上矩阵方程展开，可得联立方程组- Si =-1Pii - 2兀=02兀 _ 2Pq - -1应用线性方程组的求解方法，可从上式解岀"、“和”，从而可得矩阵P：1 211 1X1-43-41-21-4根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法，可得A

31、 =£>0,丄A? = clet ?- 14? >04Jj故矩阵P是正左的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范帀渐近稳左的。评分标准：问题（1）完整叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳泄性左理5分；问题（2）稳 龙性判断方法和结果正确5分。现代控制理论复习题4 百度文库让每个人平等地捉升口我二、(15分)建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础°已知一单输入单输出 线性定常系统的微分方程为：y(t) + 4y(r) + 3y(t) = u(t) + 6w(f) + 8w(f)(1) 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；(7分+ 3分

32、)(2) 归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的”阶微分方程建立系统状态空间模型的 思路。(5分)解：(1)方法一：由微分方程可得” + 6s + 842s + 5G(Q 二=1 + L +4£ +3匸 +4 + 3令厂 /、2$ + 51 2s+ 5%)=s' + 4s + 3 s + 1 5 + 3每一个环节的状态空间模型分别为：x2 = -3x2 + if1y = -x2 +H 二一勺 + U又因为yi二ni,所以Xj = -Xj + If因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为:对应的状态变量图为:方法二：由微分方程可得百度文库让每个人平等地捉升口我31G(

33、$)=+ 6s + 832 +4$+ 3每一个环节的状态空间模型分别为:划=_闷 + u 和 (x2 = -3.r2 +乃二3曲+"丿二_兀+心又因为yi二"1,所以 xx = f + u.Q °|， 了 = 3曲兀2 + M! x2 - 3兀1 - 3兀2 + "因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为："-1 0 +_1_>2_ 3_3_1_3-1 11 十“'LX2_对应的状态变量图为（2）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是1 33 Q若怎0,则通过长除法，传递函数G总可以转化成GG）= %尸节十声+5十心

34、叫dS +<7S +（7。（7（5）将传递函数c（s）/a（s）分解成若干低阶（1阶）传递函数的乘积，然后根据能控标准型或能观标准 型写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模 型。三、（10分）系统的状态转移矩阵不仅包含了对应自治系统的全部信息，而且在线性控制系 统的分析、设计中具有重要的作用。已知系统的状态转移矩阵如下：“ W + 在 J _ 广 + 2e "）=-t A -V-t A2e -4e e -4e（1）试给出对应自治系统的全部信息：（5分）（2）试列举状态转移矩阵的基本性质，并简述其意义。（5分）解：（1） 一个自治系统的全部

35、信息由英状态矩阵A描述，可由状态转移矩阵0确左一线性 定常系统的状态矩阵A。对任意的/,满足a）= A6（f）,而,、_2k + 2e» _*+ 2旷"0（/） = 24e2r er - 4e2r对等式= A<D取/=0,并利用0（0）=/,则可得状态矩阵A0 1 A - zl©（0） - 6（0）-、2 3（2）状态转移矩阵的基本性质：> <I>（0） = I, <D（r） = A<D（r）,包含对应系统自由运动的全部信息：>对任意的f和£，满足0（/+s匸0（/）9（s）,即利用状态转移矩阵可以从任意指圧的初

36、始时 亥的状态叫）岀发，以确立任意时刻/处的状态刃）：对任意的人满足0（/）=0（小 即可以由当前的状态信息确左以前的状态信息。四、（20分）实际被控系统通常是连续时间系统，但计算机控制却是一种基于离散模型的控 制，因此一种方法是对连续时间系统做离散化。那么请问（1） 一个能控能观的连续时间系统，苴离散化后的状态空间模型是否仍然保持能控能观性？ （2分）（2）以如下线性定常系统为例:0x =-111X+ U00y = 0 1>说明你的理由以支持你的观点。（10分）（3）令采样周期沧兀2初始状态爲卜;为，求“伙），使得（2）中离散化状态空间模型在第2个采样时刻转移到原点。（8分）解：（1）

37、不一定。（2）连续系统的状态空间模型是能控标准形，故系统是能控的。将状态方程离散化，设采 样周期为7；系统的状态转移矩阵为H(T) = A'1G(T)-IB =sin 7cos 7 -1因此，离散化状态空间模型为x(k +1)=Gy (幻 +cosT sinTsinr二-sinT cos 7x(k)十cosT 1皿)=01兀则离散化系统的能控性矩阵为1sin T 2 sin T cos T - sin TrcG.H=. “7cosT-l -sin* T + cos" Z-cosZsinTsin 27 - sin Tcos Tcos IT 一 cos Tdet（rfG./） =

38、 sin2Z-2sin7'所以，当sin2r=2sin T,即T=kn伙=0,1,2,）时，离散化系统是不能控的：当T珈伙=0,1,2） 时，离散化系统是能控的。同理，离散化系统的能观性矩阵为匚G.CR0 sin 厂1cos厂det(roG,C) = sinZ所以，sinr=0即T=k兀伙=0,12）时.离散化系统是不能观的：当珍兀伙二0丄2）时, 离散化系统是能观的。因此，一个能控能观的连续时间系统，其离散化后的状态空间模型不 一定仍然是能控能观的，主要取决与采样周期T的选择。（3）当采样周期T=7i/2时，离散化状态空间模型为x(k +1) = Gx 伙)+ Hu(Jc)=0-1严

39、)+X*) = 0lx()可得(a)(b)x(l)二 Gx(O) +血(0)x(2) = Gx(l) + Z7w(l)将式(a)代入式得即G2x(O) + GHii + H(l)二 x(2)-o r_ 01'丁+ 0-1 0-101-1站"+Lt器整理可得"(0)二一1, "(1) = 0五、(10分)证明：状态反馈不改变被控系统的能控性。证明一：采用能控性定义证明，具体见教材P125.证明二：考虑被控系统,则状态反馈后得到闭环系统Sk,其状态空间模型为X = A-BK)X + Bvy - Cx开环系统So的能控性矩阵为AB 闭环系统“的能控性矩阵为/(/

40、 EK).刃二岀(A - BK)B (A-BKB由于A-BK)B=AB-BKB(A - BK) B =(A- ABK 一 BKA + BKBK)B= B- AB(KB) - B(KAB - KBKB)以此类推，A-BKY'B总可以写成A"!B.A,n-B.AB,B的线性组合。因此，存在一个适当非奇异的矩阵"，使得rcK(A-BKBrcA,BU由此可得：若rank(r. A,B) = n,即有“个线性无关的列向量，则Vck(A-BKB也有“个线性无关的列向量，故rank(r“(A BK),B)=，命题得证。六、(20分)双足直立机器人可以近似为一个倒立摆装置，如图所示

41、。假设倒立摆系统的一 个平衡点线性化状态空间模型如下：百度文库-让毎个人平等地捉升自我"010 o'丁y00-1 01X =000 1x +0ll0011 0-1U kMy = i00 olvO7/./其中，状态变x = y y 0甸，y是小车的位移，0是摆杆的偏移角，“是作用在小车 上的动力。试回答（1）双足直立机器人在行走过程中彼人推了一把而偏离垂直而，那么根据倒立摆原理，请 问双足直立机器人在该扰动推力消失后还能回到垂直而位置吗？（2分）（2）如果不能，那么请你从控制学的角度，给岀两种能够使双足直立机器人在扰动推力消 失后回到垂直面位置的方法。（4分）（3）请结合倒立摆模型，简单叙述双足直立机器人能控性的含义。（4分）（4）在状态反馈控制器设计中，需要用到系统的所有状态信息，但根据倒立摆原理，可测 屋的状态信息只有