4.1数学期望与方差

1、Chapter 4随机变量的数字特征(.numeral character of random var iable)§4.1数学期望与方差一、离散型乩匕的数学期望1、一维离散型?卩及其函数的数学期星Defl i&RV.x的分布律北XXiX2PPiP2 Xn Pn 00则X的数学期望记为：EX =xipi1=1egl 已知EV.X的分布律如下求1) EX 2) EX2X1013p0.10.20.30.4X21019EX =-1x0.1 + 0x0.2+1x03 + 3x0.4 = 1.4EX 2 = (-1)2 x 0.1 + 02x 0.2 + l2x 0.3 + 32x0.

2、4 = 4则X的函数的数学期望Ef(X) = f(Xi)Pi2、二维离散啓"及其函数的期莖 Defl 卫NFJi y.iym （）xxPj Plm关丹Pi.XiPi.njPl p.j . pnm.100关于丫 rJL - -J r ,mg、00则E（X） = Y".（边缘分布）E（Y） = YyjP.j1=1j=l=£乞（£內）（联合分布）=£儿（£必）i=lj=l7=1Z=1eg2 已知-10310.10.20.1200.20.4求 E(X) (2)E(y)(3)E(XK)则(X, y)的函数的数学期望OO 00E (/(X, Y)

3、g，y j )Pijj=l J=1二、连续型RV的期望1、一维连续型fV及其函数的数学期童Def 3 设RVXp(x)，若心)必绝对收敛, 则E(X) = xp(x)dxJ8Def 4 对于丫 = f(X E(Y)=f(x)p(x)dxJ00思考 是否任意分布的期望器在？2、二维连续型?V（X，Y） p（兀），则E（X） = Vxpx （x） dx （边缘分布：J00=+ + xpxy）dxdy （联合分布：J8 J8E（Y）=匚畑（J）dy=匸匚加（兀，y）dxdyE(f(X9Y) =ri+"f(x9y)p(x9y)dxdyJ00 J00eg3设(X，Y)t/(A)，且A由兀轴，y

4、轴及直线+H所围成,试彌 X，EY，E(XY)2(1-x) 0< x < 1兀"0其它1-T0o< j<2其它3 期望的性质普适）(1) ik=k (k为常数)(2) E(kX) = kEX(3) E(X±Y)=EX±EY(4) X与Y相互独立，E(XY) =EX EY0g4证明 E(X-EX) = E(X2)-(EX)2三、RV的方差Def 5 称D CX) = E(X-EX)2为X的方差称b(x)= Jd(x)为x的标准差00D.RV.的方差 DX=2g_EX)2pi1=1CR"的方差 D (X)= f+°°

5、;(x-EX)2p(xXxNotes 1. DX实质为期望S)X>0；2.个重要公 DX = E(X2)-(EX)2eg5 (1)甲乙哪一个射手发挥稳定?甲 8910P 0.30.10.6乙 8910P 0.2 0.50.3EX = 9.3EY = 9.1(2)殛g2 求 1) DX; 2) D(Y); 3) D(X+Y);-110.120030.20.10.20.4四、方差的性瞬)(1) Dk = O(*为常数)(2) D(kX) = /DX(3) X与丫相互独立，D(X±Y)=DX + DYNotesCD D CX±Y)=DX+DY±2E(X -EX)(

6、Y -EY).(2)当 X，X2,X” 相互独立时，D(£xJ = £d(XJ1=1 1=1eg6设一次试验成功的概现,若进行10嗽这 样的试验，则成功次對标准差的最大值为eg7袋中装有/个结构相同的小球，瑪上分别标有数字1,2,，n9从中任取次，每次取一个球看过数字后放回，若个数字的和为求EX与DXx=*1=1五、几个重要分布的腥与方差(1) X(l，p)，则E(X) = P D(X) = p a-p)(2) XG，p)，则E(X) = np D(X) = ®(l-p)(3) X卩，则E(X) = 2 Z>(X) = 2C4)RV.X U(a,bEX=b

7、+ a(a-b)2DX = v212(S)RV.X - E (2)9EX =-DX=222(6心.X N (“，CT2),EX=rDX = a2六、原点矩与中心妊£阶原点矩 E(X“) 那介中心矩E(X _EX)*1阶原点矩EX2阶中心矩 E(X- EX)? = DX7、设随机变量fi，X2，X3相互独立其中 X LZ0,6, X2 N(0,4), X3 P(3) 记丫 = Xi - 2X2 + 3兀，则EY = ?,z)y = ?8、设XE(1),则数学期lT(X+e-2x) = 10、设X与丫相互独立，分布密度團2 1IzO1 0 < z < ”(z) = 00 其它则 E(