(1502)黄金分割专项练习30题

1、实用标准文档文案大全黄金分割专项练习21定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC =BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ABC 中，AB=AC=1，/ A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D .(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点;(2) 求出线段AD的长.2 .如图，用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB > AD ).C40cmAB(1) 若这个矩形的面积等于 99cm2,求AB的长度；(2) 这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出 AB的长度，若不能，说明理由；a/r - 1(3) 若这个矩形为黄金矩形(

2、AD与AB之比等于黄金比 3),求该矩形的面积.(结果保留根号)9. 在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当二： 二时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DC10. 如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中点E，连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形 AFGH .则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.12.已知4，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且ad2=bd?ab

3、，求的值.14.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长.B15人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？17.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且 AP >BP,设以AP为边长的正方形面积为 S1,以PB为宽和以AB为 长的矩形面积为 S，试比较Si与S2的大小.-118.如图，在平行四边形 ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点，即BE交DC于点

4、F,已知集二U,求CF的长.20.(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果AP BP那么称点P为线段AB的黄金分割点，设当于，则k就是黄金比，并且“618 .(1)以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰 APB (如图2),等腰 APB即为黄金三角形,满足底一腰 籐二底+腰-0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义:黄金三角形的定义为: ;(2)如图1,设AB=1，请你说明为什么 k约为0.618;(3) 由线段的黄金分割点联想到图形的黄金分割线”，类似地给出黄金分割线”的定义：直线I将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(

5、设S1V S2),如果学二¥，那么称直线 O I为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点，那么直线 CP是厶ABC的黄金分割线吗？请说明理由;(4) 图3中的 ABC的黄金分割线有几条？0.618，越给人21 在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD，先折出BC的中点E,再折出线段AE，然后通过折叠 使EB落到线段EA上，折出点B的新位置

6、B',因而EB'=EB .类似地，在 AB上折出点B使AB =AB 这时B 就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.25.如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC，已知/ ACE=108 ° BC=2 .（1）求/ B的度数；（2） 我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）11等于黄金比 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； 求AD的长； 在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使 PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法（不要求

7、证明）；若不存在，说明理由.28 折纸与证明 用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1）,先将一张正方形纸片 ABCD对折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的对角线BF 第二步：如图（2）,将AB边折到BF上，得到折痕 BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG > GD ）36°勺等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在 ABC中，已知：AB=AC，且/ A=36 °29.三角形中，顶角等于在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D，并连接BD （保留作图痕迹，不写作法）; BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；设 ，试求k的值；AC

8、 K(1)(2)(3)如图2,在厶AiBiCi中，已知AiBi=AiCi,/ Ai=108°且AiBi=AB，请直接写出口厂 的值.(4)130如图1, 点 C将线段AB分成两部分，如果書左那么称点C为线段AB的黄金分割点某研究小组在进行 课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为s £Si, S2,如果，那么称直线I为该图形的黄金分割线.S飞1(1) 研究小组猜想：在 ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 2),则直线CD是厶ABC的黄金分割 线.你认为对吗？为什么？(2)

9、 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3) 研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF / CE，交AC于点F, 连接EF (如图3),则直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4) 如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF / AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD黄金分割专项练习30题参考答案：1. (1)证明：T AB=AC=1 ,/ ABC= / C=1 (180°-/ A) =1 (1

10、80°- 36° =72 °2 2 BD平分/ ABC交AC于点D,/ ABD= / CBD= _/ ABC=36 °2/ BDC=180。- 36°- 72°72 ° DA=DB , BD=BC, AD=BD=BC ,易得 BDCABC , BC : AC=CD : BC，即 BC2=CD?AC ,2- AD =CD ?AC ,点D是线段AC的黄金分割点；(2) 设 AD=x，贝U CD=AC - AD=1 - x,2T AD =CD ?AC,2 Vs_ 1- Vc_X =1 - x，解得 X 仁，x2=45 - 1即AD

11、的长为22. 解：(1)设 AB=xcm，贝U AD= (20 x) cm,根据题意得x (20 x) =99 ,2整理得 x 20x+99=0 ,解得 X1=9, x2=11,当 x=9 时，20 x=11 ;当 x=11 时，20 1仁9,而 AB > AD,所以x=11，即AB的长为11cm;(2) 不能.理由如下：设 AB=xcm，贝V AD= (20 x) cm,根据题意得x (20 x) =101 ,整理得 x2 20x+101=0 ,因为 =202 4X101= 4V 0,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3) 设 AB=xcm，则 AD= (2

12、0 x) cm,a/r - 1根据题意得20 x=x,_ 2解得x=10 (妬-1),cm2.则 20 x=10 ( 3 ),_所以矩形的面积=10 ( 1) ?10 (3) = (400 800)3. 解：(1)t/ A=36 ° AB=AC ,/ ABC= / ACB=72 °/ BD 平分/ ABC ,/ CBD= / ABD=36 ° / BDC=72 ° AD=BD , BC=BD, ABC BDC , B D=_Qj 即 口 AD=_辺"AB BC5 AC AD52- AD =AC?CD .点D是线段AC的黄金分割点.(2)v点D是

13、线段AC的黄金分割点,2 _ 或 AP=2 -(匸-1) =3 -匸;/ AC=2 , AD=二-14. 解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图，(2) 作法：画线段AB作为三角形底边； 取AB的一半作 AB的垂线 AC ,连接BC ,在BC上取CD=CA . 分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为 E; 分别连接EA、EB ,则厶ABE即是所求的三角形.(3) 证明：设 AB=2，贝U AC=1 , BC=二，AE=BE=BD=BC - CD=：匸-1,' 1=:.C苓5 .解：(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则 AP=2 X=匸-1 ,(2)如图，点P是线段AB

14、的一个黄金分割点.6 .解：(1)设 AC=x，贝U BC=AB - AC=1 - x,2T AC =BC?AB,2二 x =1 X (1- x),整理得x +x - 1=0 , 解得 X1=, X2=H (舍去),(2) 设线段AD的长度为x, AC=I ,2T AD =CD ?AC,2X =| X ( I - x), X1=二 X2=-(舍去)，2 2线段AD的长度厂_AC ;2(3) 同理得到线段 AE的长度'' ' AD ;2上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段 AC和BC (AC > BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB :AC=AC :

15、 BC),则C点为AB的黄金分割点7.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：在 ABC 中，AB=AC，/ A=36 °/ ABC= / ACB=''=72 °2/ 1 = / 2,/ 1 = / 2= / ABC=36 °2在厶 BDC 中，/ BDC=180 °-Z 2 -/ C=72 °/ C=Z BDC , BC=BD ./ A= / 1 , AD=BC ./ ABC 和 BDC 中，/ 2= / A，/ C= / C, ABCBDC ,厂厂:' J，又 AB=AC , AD=BC=BD ,I I，2- AD =A

16、C ?CD ,即D是AC的黄金分割点& 证明： AB=AC , / A=36 ° °/ ABC=2 ( 180°- 36° =72° °2/ BD平分/ ABC ,交于 AC于D ,/ DBC=XZ ABC= X2°=36 ° °2 2 Z A= Z DBC ,又/ C=Z C , BCDABC , £<_?'/ AB=AC ,AC BC_/ AB=AC=2 , BC= :- 1,(匸-1)=2 X (2 - AD ),解得AD=. 一丨，AD : AC=(忑 b : 2

17、.点D是线段AC的黄金分割点.9. 证明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC，连接EF./ AE=BC , DF=BC , AE=DF=BC=AD ,又/ ADF=90 °四边形AEFD是正方形.BE=?J.:M£ 丫 1 - .矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形.黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DF CLAEB10. 解：设正方形 ABCD的边长为2,在Rt AEB中，依题意，得 AE=1 , AB=2 ,由勾股定理知 EB= 一 ： 一止-=.|h-广， AH=AF=EF - AE=EB - AE= - 1 ,HB=AB

18、 - AH=3 -；汁；- AH 2= (*_) 2=6 2 ,AB?HB=2 X ( 3 -") =6 - 2",2- AH =AB ?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点.11. 证明：(1)vZ A=36 ° / C=72 °/ ABC=180 ° - 36 ° - 72 °=72 °/ ADB=108 °/ ABD=180 ° - 36° - 108°=36 ° ADB是等腰三角形，/ BDC=180 °-Z ADC=180 °- 10

19、8°72° BDC是等腰三角形， AD=BD=BC .(2) vZ DBC= / A=36 ° / C= / C, ABC BDC , BC : AC=CD : BC ,2- BC =AC ?DC ,/ BC=AD ,2- AD =AC ?DC ,点D是线段AC的黄金分割点.212 .解：T D 在 AB 上，且 AD =BD ?AB , 点D是AB的黄金分割点 而点C是AB的黄金分割点，-迅AB=3 -三或 AD= 匸-1 , AC=3 - _, AC=AB= _- 1, AD=AB - CD= ； 1 -( 3 -訂.；)=2訂.-4,.I二 :或 I =_

20、二='.AC V5 12 AC 3-5213.解：矩形 ABFE是黄金矩形./ AD=BC , DE=AB ,.胚 _-DE 二BOAB =BC _ .2-荷 1 -仁荷-2 卫-I二 二：'' r ''. 矩形ABFE是黄金矩形.14 .解：T D为AB的黄金分割点AD >BD), AD=AB=10 匸-10,/ EC+CD=AC+CD=AD , EC+CD= (10- 10) cm .15. 解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得x: 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X0.618羽.1 (m).PD= 二川= I

21、I =,答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.16. 解：(1)在 Rt APD中，AP=1 , AD=2，由勾股定理知 AM=AF=PF - AP=PD - AP= - 1 ,DM=AD - AM=3 -".故AM的长为 -1 , DM的长为3 -;(2)点M是AD的黄金分割点.AM_V5 - ad r点M是AD的黄金分割点.17 .解：点P是线段AB的黄金分割点，且 AP > BP,2 AP =BP 很B ,2又 T Si=AP , S2=PB 很B ,二 Si=S2 -18解：四边形 ABCD为平行四边形,/ CBF= / AEB，/ BCF= / BAE ,

22、 BCFEAB ,.BC _ AE 即 AD CF丁卞，“，把AD= _ l：, AB=匸+1代入得,2解得：CF=2 故答案为：2 19 .解：矩形EFDC是黄金矩形, 证明：四边形 ABEF是正方形, AB=DC=AF ,又| 一一 ，二“ 1 - ,AD 2即点F是线段AD的黄金分割点. 了D屈卫 - 1 1 -* * ,DC 2矩形CDFE是黄金矩形.20.解：的矩形是黄金矩形;(1)满足(2)由 =k 得,BP=1 >k=k,从而 AP=1 - k ,AB由：二-得，bp2=ap >AB，解得k=/ k>0 , k=胡.618;2(3)因为点P是线段AB的黄金分割点

23、，所以AP二 BP设厶ABC的AB上的高为h,则Wc >Xh APBPXhBPABPCBP，Saabc 号ABXh:二 -'ABPC AABC直线CP是厶ABC的黄金分割线.(4) 由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点 Q,则AQ也是黄金分割线，设 AQ与CP交于点W，则过 点W的直线均是 ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.21解：根据已知条件得下半身长是160>0.6=96cm ,设选择的高跟鞋的高度是 xcm，则根据黄金分割的定义得:96+x=0.618,160+x解得：x£.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22. 解

24、：设正方形 ABCD的边长为2a,在 Rt AEB 中，依题意，得 AE=a , AB=2a ,由勾股定理知 EB="J 八=匸a, AH=AF=EF - AE=EB - AE=1) a,HB=AB - AH= (3 -") a；- AH2= (6 -2 _)兰2,_AB?HB=2a x( 3-“；.石)a= (6 - 2 ") a2, 2- AH =AB ?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点.23. 证明：设正方形 ABCD的边长为2,E为BC的中点， BE=1 AE= 汁一=",又 B'E=BE=1 , AB =AE - B E= =-

25、1, AB 一 L' ._点B 是线段AB的黄金分割点.B" B24. 证明：正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点, BE=1AE= . J ="，/ EF=BE=1 , AF=AE - EF= 匸-1 , AM=AF= ；.； = - 1 , AM : AB=（頁-1） : 2,点M是线段AB的黄金分割点.25. 解：（1）v BD=DC=AC .则/ B= / DCB，/ CDA= / A .设/ B=x，则/ DCB=x，/ CDA= / A=2x . 又/ BOC=108 ° / B+ / A=108 ° x+2x=108 , x

26、=36 ° / B=36 °（2）有三个： BDC , ADC , BAC ./ DB=DC，/ B=36 ° DBC是黄金三角形，（或 CD=CA，/ ACD=180 °-Z CDA -/ A=36 CDA是黄金三角形.或/ ACE=108 ° / ACB=72 ° 又/ A=2x=72 °, / A= / ACB . BA=BC . BAC是黄金三角形. BAC是黄金三角形，悅眉 ,:CI ，/ BC=2 , AC= 匸-1./ BA=BC=2 , BD=AC= "- 1 , AD=BA - BD=2 -（ 用

27、一1） =3- V 存在，有三个符合条件的点 P1、卩2、P3.i）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线C为圆心，CD为半径作弧与AB、BC 得到点 P1、P2.BC的交点为点 P3.ii）以CD为腰的黄金三角形：以点26 .证明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a , N为BC的中点， NC=BC=a.2在 Rt DNC 中，iL i-.又 NE=ND , CE=NE - NC= ( = - 1) a. ；L1 1 -' CD 亠2a _ 2故矩形DCEF为黄金矩形.27解:(1)图1图2图3(2)CM=AB (4 分)28.证明：如图，连接 GF，设正方形 AB

28、CD的边长为1，则DF=-.在 Rt BCF则 A F=BF - BA '=-'- 1 .2设 AG=A G=x，贝U GD=1 - x,2 2 2 2在 Rt A GF 和 Rt DGF 中，有 A'F +A'G =DF +DG ,解得x，即点G是AD的黄金分割点(AG >GD).29.解：(1)如图所示;E(2) BCD是黄金三角形.证明如下：点 D在AB的垂直平分线上, AD=BD ,/ ABD= / A ./ A=36 ° AB=AC ,/ ABC= / C=72 °/ ABD= / DBC=36 °又/ BDC= / A+ / ABD=72