导数的定义与运算

1、1导数的定义与运算1.平均变化率与瞬时变化率：平均变化率：已知函数y = f（x）,勺,齐是貝立义域内不同的两点，记：Ar = x,-x0. =X = /（州）一 /（兀）=/（兀）+ ） /（-vo），则当厶丫 工0时，=儿+） / （心）称作函数y = y（X）在区间心禺+心（或兀+心,X。）Av（无 +Av）一x0的平均变化率.瞬时变化率：当歼趋近于心时，即心趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的常数，lim = lim丿（+山）-/（%），那么这个值就是函数y = f（x）在点儿的瞬时变化率.At（）比ATO（X0+ Ax） _ x0点的导数通常用符号广（忑）表示，记作：fx = li

2、mZCVAV）Z（AO）z （x0+ Av）-x03导数的几何意义：函数y = /（x）在点心处的导数就是曲线y = /（A）在点Pg,/（无）处切线的斜率，即k =相应的切线方程是:儿=广（）匕一兀）4基本初等函数的求导:1C = O；(x11 = nx:(sinx) = cosx：(cosx) = -sinx ：(ax)f= a Ana；(g)(exY = ex:(lognx)f= !:(Inx =. xnax5导数的运算法则: (/(x) g(x)f= f(x)gx):2(fW g(x)y =广(x)g(x) + f(x)gXx)(特别地有(c f(x)Y = c f(x)，其中c为常数

3、)3(/(x)y =广(x)g(Q-/(x)g&)2 gM _(g(x)22在数学中，称点瞬时变化率耙誉耙/;：my为函数y =/（羽在(g(X)HO)2理6复合函数的求导：复合函数y = f(g(x)的导数和函数y = /() u = g(x)的导数间 的关系为y； = y： ；,即y对x的导数等于y对的导数与“对x的导数的乘积.1 2例：求y = ln(2x + l)的导数,y = nu.u = 2x + /. yrx= y：= -2 =-u2x + 用导数研究函数的性质：7导数与单调性：一般地，在区间( 0单调递壇r(x)o单调递邀fM 0常函数)=08.导数与极值:(1)极小值

4、点与极小值如图，函数y = f(x)在点x = a的函数值f(a)比它在点x = a附近其他点的函数值都小，广)=0：而且在点x = d附近的左侧fx) 0.则把点a叫做函数y = f(x)的极小值点，/)叫做函数y = fW的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y = f(x)在点x = b的函数值于)比它在点x = b附近苴他点的函数值都大,fb) = 0；而且在点x = b的左侧f(x) 0 ,右侧fx) 0,右侧fx) 0 ,那么f(心)是极大值.如果在刘附近的左侧f(x) 0,那么f(x“)是极小值.定积分：9.泄积分的定义：一般地，设函数y= /(x)在区间G,甸上有左 义，将

5、区间山,纠等分为个小区间，每个小区间的长度为山h n(Ar = -),在每个小区间上取一点，依次为召作和：S” = /()Ax + *)& + + g)Ax,如果当心TO(即时，SjS为常数，那么称常数S为函数/(X)在区间“上上的泄积分，记为：S=/(%)心.其中，/(X)称为被积函数，0,6称为积分区间，d称为积分下限，b称为积分上限.10.上积分的几何意义：定积分jMdx表示在区间1“，创上曲线y= fM与直线x=a, x=b以及x轴所用成 的平面图形(曲边梯形)的而积的代数和.即：7UX =5IMI方S鼬下方(在x轴上方 的面积取正号，在x轴下方的而积取负号)1当xa,b时，若

6、f(x) 0 ,由直线x = a, x = b以及x轴和曲线y = f(x)所用成fb的曲边梯形的而积S = f(x)dx2当xa,b时，若/(x)0,由直线x = x = b以及X轴和曲线y = .f(x)所围成 的曲边梯形的而积S =1 jx)dx 1= - f(x)dx图411.泄积分的性质：1f灯Wdx = kJ： jx)dx ( k为常数)：2/W g(x)x = fx)dx J：g(x)x :3J f(x)dx = j /(x)Jx +j f (x)dx(其中a c 0,671)；13.曲边梯形与而积：若两条曲线/(A), g(x) ( /(A-)(A-)与直线x = a,x = h (a 0 )在时间区 间上的泄积分，即：S=”(/)2变力做功物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=“移j0=c (c为常数) J dx