洛必达法则农科F版

1、洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或称称为为那那末末极极限限大大都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当 xfxfxfxfxaxxax例如例如,lim0 xtgxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(; 0)(lim,0)(lim)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfxfaxaxaxaxax 那那末末或或为

2、为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在设设定理定理1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则. .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时及及时时当当 xaxax证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxfxf,),(0 xau内任取一点内任取一点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xfxf则有则有)(

3、)()()()()(1111xfxfafxfafxf )()( ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limaxfxfax ,)()(limaffa .)()(lim)()(limaffxfxfaax 例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原式原式. 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(0lim.(0,0)xxx

4、ababx求)00(解解0lim.1xxxa inab inbainb原式注：注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例：求例：求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、运算过程中有非零极限因

5、子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例5 5解解.tansinlim20 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原式原式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfxfaxaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且

6、都存在且及及可以除外可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在设设定理定理2.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时及及时时当当 xaxax)0(lim)2);0(lnlim)16 为正整数，为正整数，求求例例nexxxxnxx）（）（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原式原式解解 xnxexlim)2xnxenx 1lim xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！无穷大量无穷大量的的阶阶数数依依次次递递增增。、xxxexx ln型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2l

7、im 原式原式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式000sin1 cossinlimlimlim22xxxxxxxx xx. 0 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型。不定型。00型型00,1 ,0.

8、 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 通过通过)(ln)()()(xfxgxgexf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0型。型。例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1 10 0解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 11 1解解.)(limln10 xxctgx 求求)(0 ,)()ln(ln1ln1ctgxxxectgx 取对数得取对数得)ln(ln1lim0ctgxxx xxctgxx1sin11lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1 12 2.)sin11(sinlimsinsin11lim3030 xxxxxxxxxx 注意：注意：洛必达法则只用于洛必达法则只用于)( )00(用洛必达法则过程中要及时化简用洛必达法则过程中要及时化简, 并灵活结合其他并灵活结合其他求极限方法求极限方法.1212sinlim30 xxxx洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用,lim:xxxxxeeee