与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证明(1)类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P=30°,O O的半径为1,贝U PB的长为 1.图 Z12- 1经典母题答图解：（1）证明：v O（* OBOC*Z OBC【解析】如答图，连结0C PC为0 0的切线，/ PC3 90°,在 Rt OCP中, v 0C= 1,Z P= 30°,0P= 20C= 2, PB= OP- 0B= 2- 1 = 1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半

2、径，得到切线与半径垂直.【中考变形】2017天津已知AB是O0的直径，AT是00的切线，/ ABT= 50°, BT交O 0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D(1) 如图Z12-2，求/ T和/ CDB的大小；(2) 如图，当BE= BC时，求/ CDO的大小.A图 Z12- 2解：（1）如答图，连结AC AT是。0的切线，AB是的直径， AT 丄 AB,即/ TAB= 90 °,vZ ABT= 50°,AZ T= 90°/ ABT= 40由AB是O O的直径，得Z AC* 90Z CA圧90°Z ABC= 40°,：Z

3、 CD圧 Z CA*40°中考变形答图a中考变形答图如答图，连结AD在 BCE中, BE* BC, Z EBC*50°， Z BCEfZ BEC*65°,：Z BAD=Z BC*65v OA* OD Z OD*Z OA* 65°,vZ AD（*Z ABC*50°, Z CD*Z ODZ AD（* 65° 50°* 15° .【中考预测】2017宿迁如图Z12 3, AB与OO相切于点B, BC为。O的弦，OCL OA OA与BC相交于点P.(1)求证：AP* AB；若O44, AB= 3,求线段BP的长.图 Z12

4、- 3中考预测答图 AB是OO的切线，二 OBLAB,:丄 OBA 90°,AZ ABFZ OBG 90°,v OCLAO / AOA 90°,Z OCBkZ CPO= 90°,vZ APB=Z CPQZ APB=Z ABP AFA AB; 如答图，作 OHL BC于 H 在 Rt OAB中, v OB= 4, A吐 3, OAA 32 + 42a 5,v AP= AB= 3, PCA 2.在 Rt POC中, PCA OC+ OPA 2 5,1 1v-PC- OHA-OC- OP2 2 'OHAOP- OC 4厢PC A W CHA OC OH

5、A 誓,v OHL BC - CHA BHBCA 2CHA16、:55 , BPA BC PCA55类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12 4 , A是OO外一点,AO的延长线交。O于点C,点B在圆上,A且A吐BC,证明：如答图,连结ob0B= OC A吐 BC, / A= 30°,OBC=Z C=/ A= 30° ,:丄 AO圧/ C+Z OBG 60° .vZ ABO= 180° ( Z AO+Z A) = 180° (60 ° + 30°) = 90°, AB丄OB又v OB为OO

6、半径，二AB是OO的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.【中考变形】1. 2016黄石如图Z12 5,O O的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B) , AD 丄CD(1)若BJ3, A吐5,求AC的值； 若AC是Z DAB的平分线，求证：直线 CD是O O的切线.图Z12 5中考变形1答图解：（1） v AB是OO直径，C在O O上,'Z ACB= 90 °,又v BC= 3, AB= 5,二由勾股定理，得AC= 4;证明：如答图，连结ocv AC是Z DAB的平分线， Z DAGZ BAC又 v ADLDC / ADGZ

7、ACB= 90° , ADCAACB / DCAZ CBA又 v OA= OC / OAGZ OCAvZ OA+Z OBG90°,OC+Z Ad OC圧90° ,直线CD是O O的切线.2. 2017南充如图Z12 6 ,在Rt ACB中 , Z AC圧90°,以AC为直径作O O交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是的切线;图 Z12- 6若CF= 2, DF= 4,求直径的长.中考变形2答图【解析】 连结0D欲证DE是O O的切线，需证ODL DE即需证/ 0D490°,而/ AC* 90

8、76;，连结 CD根据“等边对等角”可知/ ODEZ OCE= 90°,从而得证；(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结 OD CD AC 是OO 的直径，/ ADG 90° .Z BDG 90° .又 TE 为 BC的中点，1 DE= 2BC* CE, / EDC=Z ECDv OD= OC / ODGZ OCD Z EDOZ OD*Z ECDbZ OC*Z AC*90° . Z OD*90°,A DE是OO的切线;(2)设O O的半径为 x.在 Rt ODF中, OD+ DF* OF,即 x

9、2 + 42* (x + 2)2,解得 x* 3. AO O 的直径为 6.【中考预测】如图Z12-7, AB是OO的直径，点 C, D在O O上，Z A*2Z BCD点E在AB 的延长线上，Z AE亠Z ABC(1) 求证：DE与OO相切；(2) 若 BF*2, DF* 10,求O O的半径.c解：（1）证明：如答图，连结0D AB是。0的直径，:丄 AC* 90°,/ A+Z ABC= 90°,/ BO圧2Z BCD Z A= 2Z BCDZ BO圧 Z A,vZ AED=Z ABC Z BO+Z AED= 90°, Z OD昌 90°, 即卩 OD

10、L DE - DE与O O相切；如答图，连结BD,过点D作DHL BF于点Hv DE与O O相切，/ AC+Z BC亠 Z OD+Z BDE= 90 vZ Ad OBD Z OB圧 Z ODB /.Z BDE=Z BCD vZ AED=Z ABC /Z AFC=Z DBFvZ AFC=Z DFBFDB都是等腰三角形, FH= BH= 2bF= 1, H亠 DF FH= 3 ,在 Rt ODI中,OH+ DH= OD,即（OD- 1）2+ 32 = OD, OD= 5.即O O的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明(2)CFAOBE1.如图8, CD是O0的切线，切点为A,AB是O0的直径.E,

11、F O0上的点, 求证：/ DAEM FDE/A B.若EF/CD,求证： AEF是等腰三角形2. 如图7 O 0的半径为1,过点A(2, 0)的直线切 O 0于点B,交y轴于点C.(1) 求线段AB的长；(2) 求以直线AC为图象的一次函数的解析式.D3、在厶ABC中，AB=AC内切圆 O与边BC AC AB分别切于 D E、F.(1) 求证：BF=CE(2) 若/ C=30°, CE =2、3，求 AC.D4. 如图 10,在O O中，/ ACB=/ BDC=60, AC=/3cm ,(1)求/ BAC的度数；(2)求0 O的周长5已知：如图，AB是OO的直径，AD是弦，OC垂直

12、AD于F交O O于E,连结DE BE且/C=Z BEDA(1)求证：AC是O O的切线;(2)若 OA=10, AD=16，求 AC的长.6如图，MP切OO于点M，直线PO交OO于点A、B，弦AC / MP, 求证：MO / BC.P(2补充)连结CM,当四边形BCMO菱形时，求/ P的度数 或反过来问：当.P =30°时,判断四边形7如图，在 ABC中，AB=AC，以AB为直径的OO交BC于点M , MN丄AC于点N .(1) 求证MN是OO的切线；M(2) 若乂BAC=120°, AB =2，求图中阴影部分的面积.8如图， ABC内接于半圆，AB是直径，过 A作直线 MN若/ MACM ABC .(1) 求证：MN是半圆的切线；(2) 设D是弧AC的中点，连结 BD交AC于G 过 D作 DEL AB于 E,交 AC于 F.求证：FD= FGN9. 如图，半圆的直径 AB=10，点C在半圆上，BC=6.(1) 求弦AC的长；(2) 若P为AB的中点，PE丄AB交AC于点E,求PE的长.AB二AC, BC交OO于点D , AC交OO于点E10. 已知：如图， AB为的直径, E,BAC =45° .(1 )求.EBC