专题01因动点产生的等腰三角形问题原卷版

1、备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，禾U用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思

2、想和数形结合思想进行准确的分类【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1 已知线段AB= 5厘米，以线段 AB为腰的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？2 .已知线段AB= 6厘米，以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C.已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB = AC,BA = BC,CA= CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可

3、以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC的/ A （的余弦值）是确定的，夹/A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法. 如图1，如果AB= AC,直接列方程；如图 2，如果BA= BC,那么- AC AB cos A ;如图3,如21果 CA= CB，那么AB AC cos A .2代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来.图3图1图2【典例分析】【例1】抛物线y点P为抛物线对称

4、轴2 2x bx c与x轴交于9CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交xA(-1,0), (5,0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D ,1求抛物线的解析式;2当VPCF的面积为5时，求点P的坐标;3当APCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.备用團【例2】如图1，抛物线y= ax2+ bx + c经过A(- 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线I是抛物线的对称轴.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l上的一个动点，当 PAC的周长最小时，求点 P的坐标；(3) 在直线I上是否存在点 M ,使厶MAC为等腰三角形，若存在，直

5、接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由.【例3】如图1，点A在x轴上，OA = 4，将线段OA绕点0顺时针旋转120°至0B的位置.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A、0、B的抛物线的解析式；(3) 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知A(0 , 2)，动点p在yx的图像上运动(不与0重合)，连17接AP，过点P作PQ AP，交x轴于点Q，连接AQ .(1) 求线段AP长度的取值范围;(2) 试问：点P运动过程中，QAP是否问定值？如果是

6、，求出该值；如果不是，请说明理由.(3) 当0PQ为等腰三角形时，求点 Q的坐标.【例5】如图1,在矩形ABCD中，AB 8 , AD 10, E是CD边上一点，连接 AE ,将矩形ABCD沿G .(1) 求线段CE的长；(2) 如图2，M，N分别是线段 AG，DG上的动点(与端点不重合)，且 DMN DAM，设AM x， DN y . 写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值； 是否存在这样的点 M，使VDMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.【例6】如图1 ,已知Rt ABC中，/ C = 90° AC = 8, BC = 6,点P以每秒1个单位的速度

7、从 A向C运 动，同时点Q以每秒2个单位的速度从 AtBtC方向运动，它们到 C点后都停止运动，设点 P、Q运动的 时间为t秒.(1) 在运动过程中，求 P、Q两点间距离的最大值；(2) 经过t秒的运动，求 ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；(3) P, Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得 PQC为等腰三角形.若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由.(、52.24，结果保留一位小数)图1【变式训练】1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2.3, 2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC ,过点P作PD P

8、C，交x轴于点D 下列结论： OA BC 23 ;当点D运动到OA的中点处时，PC2 PD2 7 ;在运动过程中，CDP是一个定值；当 ODP为等腰三角形时，点D的坐标为2,3其中正确结论的个数是（A . 1个B. 2个 2 .如图，在正方形 ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且当x=0 （即E、A两点重合）时,是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）当0< xv42 2时，P点最多有9个P点有6个 当P点有8个时，x= 2 2 - 2 当VPEF是等边三角形时， P点有4个A .B.C .D .3 .如图，在矩形 ABCD中，AD

9、 3AB 3 .10，点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点 M、4.如图，平面直角坐标系中,DEC相等，则MN矩形ABOC的边BO,CO分别在x轴，y轴上,A点的坐标为（8,6），点p在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足PBE s CBO，当 APC是等腰三角形时,P点坐标为A ( 0, 3),点 B (5, 0),有一动点P在直线 AB上， APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）C 4个D 5个6 .如图，点A、B、P 在 O O 上，且 /APB=50 ° 若点M是O O上的动点，要使 ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点 M有（）A . 1个 B. 2个

10、 C. 3个 D . 4个7.如图，AB是O O的直径，BC是弦，AB 10cm , BC6cm .若点P是直径AB上一动点，当VPBCcm .8 .如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON= 30°当/ A=时, AOP为等腰三角形.9. 如图，正方形 ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，点B落在B'处，若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为.10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 OABd矩形，点B的坐标为(5, 4),点P为线段BC上动点，当 POA

11、为等腰三角形时，点 p坐标为.CB0A511. 在Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=12点D在直线CB上，以CA CD为边作矩形 ACDE直线AB与直线CE DE的交点分别为F, G.(1) 如图，点D在线段CB上，四边形 ACDE是正方形. 若点G为DE的中点，求FG的长. 若DG=GF 求 BC的长.(2) 已知BC=9是否存在点 D,使得 DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.12. 在ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点 (点P不与点A , O , C重合).过 点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点 E和点F，连接O

12、E , OF .(1) 如图1,请直接写出线段 OE与OF的数量关系；(2) 如图2,当/ ABC=90时，请判断线段 OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由(3) 若|CF - AE|=2 , EF=2 ,3，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.13如图1，抛物线yX2平移后过点A( 8，,0)16和原点，顶点为 B，对称轴与x轴相交于点C,与原抛物线相交于点 DS阴影;(1) 求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积(2) 如图2,直线AB与y轴相交于点P,点M为线段0A上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM t，试探求： t为何值时 MAN为等腰

13、三角形； 为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx - 2与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C (0, - 2) , 0B=40A , tan / BC0=2 .(1 )求A、B两点的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点 M从点B出发以每秒 '个单位的速度向点 C运动，同2时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点 B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动.过点M作MP丄x轴于点E,交抛物线于点P.设点M、点N的运动时间为t( s),当t为多少时，AP

14、NE 是等腰三角形？15.抛物线y= Wx26x+ ,63与x轴交于点B (点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1) 如图1,连接CD，求线段CD的长;(2) 如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点， PF丄x轴于点F, PF与线段AC交于点E;将线段0B1沿x轴左右平移，线段 0B的对应线段是 O1B1,当PE+ EC的值最大时，求四边形 PO1B1C周长的最小2值，并求出对应的点 01的坐标；(3) 如图3,点H是线段AB的中点，连接CH ,将厶0BC沿直线CH翻折至 O2B2C的位置，再将 O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点 O2, C的对应点分别是点 O

15、3, C1,直线O3C1分别与直线AC , x轴交 于点M , N .那么，在 O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 AMN是以MN为腰的等腰 三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由.yjkJ彳Lr JU0OB <rS316如图：一次函数 y 未 3的图象与坐标轴交于 A B两点，点P是函数y 3x 3 ( 0 v x V 4)图象上任意一点，过点P作PML y轴于点连接OP.(1 )当AP为何值时，OPMt面积最大？并求出最大值;(2)当ABOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标.2 0).17.已知抛物线 F： y= x2+ bx+

16、c的图象经过坐标原点 0,且与x轴另一交点为(1 )求抛物线F的解析式;(2)如图1,直线I: y3x+ m (m>0)与抛物线F相交于点A (xi, yi)和点B (X2, y2)(点A在第3二象限)，求y2 - yi的值(用含 m的式子表示)；4(3)在(2)中，若m ,设点A '是点A关于原点O的对称点，如图2.3判断AA 'B的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P,使得以点A、B、A'、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知一次函数 ykx b的图象与反比例函数y 的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，若 x

17、OB AB，且 S oab152(1 )求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点 P的坐标19 .如图，抛物线与 x轴交于A， B两点，与y轴交于点C 0, 2，点A的坐标是2,0 ， P为抛物线上 的一个动点，过点 P作PD x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线 x 1 .(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内，且 PE -OD，求 PBE的面积.(3) 在(2)的条件下，若 M为直线BC上一点，在x轴的下方，是否存在点 M，使 BDM是以BD为 腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.20. AB与

18、。O相切于点 A，直线l与。O相离，OB l于点B，且OB 5, OB与。O交于点P , AP 的延长线交直线I于点C .(1) 求证：AB BC ;(2) 若0 O的半径为3,求线段AP的长；(3) 若在O O上存在点G，使 GBC是以BC为底边的等腰三角形，求O O的半径r的取值范围.21.已知在平面直角坐标系xOy中，直线li分别交x轴和y轴于点A 3,0 ,B 0,3 .(1)如图1,已知e P经过点O，且与直线li相切于点B，求e P的直径长;如图2,已知直线12 : y 3x 3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线12上的一个动点，以Q为 圆心，2.2为半径画圆 当点Q与点C重合时，求证：直线11与e Q相切； 设eQ与直线11相交于M ,N两点，连结QM ,QN 问:是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由22如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知A 2,2，B 2,0 ,C 0,2 ,D 2,0四点，动点M以每秒.2个单位长度的速度沿 B C D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t (秒).(1) 求经过 A、C、D三点的抛物线的解析式；(2) 点P在(1)中的抛物线上，当 3x2 27y2 M为BC的中点时，若 PAM PBM，求点P的坐标；(3) 当M在CD上