2.6三角函数在电工学中的应用解析

1、i 2.6 三角函数在电工学中的应用 旧课复习：正弦定理、余弦定理: a b c si nA sin B sine a2 =b2 +c2 JbccosA； 0 . 6丿2 4 4( t - 0). (1) 试指出它的角频率、频率、周期、幅值及初 相位各是多少？ (2) 设t = 0秒、t二0.0025秒时电流的瞬时值分别 为i。、-试比较i。与ii哪个较大？ (3) 试画出它在一个周期内的简图，并指出电流 在这个周期内的变化情况. 解:(1)角频率 =100二(rad/s), 100 二 频率 f 50(Hz), 2兀 2兀 1 周期 T =- = 0.02 (s), 幅值-=30(A), 初

2、相位% (rad). 4 (2) 当t = 0时，i = -15.2 ( “ - ”号表示流向),所以 i0 =15 2(安);当 t = 0.0025 时，i =0,所以 i0(安).因此， i比i1大. (3) 列表 JI 100兀t=x 4 0 71 2 31 3H 2 Jl 71 X + t = 4 100兀 0.0025 0.0075 0.0125 0.0175 0.0225 i 二 30sin 100二 t - 5 JI i = 30sin( 100兀t - I 0 30 0 -30 0 描点画图（图 2-14） i （安培） 从图 2-14 看出，在前半个周期内，当时间从 0,0

3、025 秒连 续变化到 0.0075 秒时,电流从 0 安逐渐增大到幅值 30 安; 当时间从 0,0075 秒连续变化到 0.0125 秒时，电流从 30 安 逐渐减小到幅值 0 安.在后半个周期内，电流的变化规律与 前半个周期内的情形相似，但流向相反. 例 3 图 2-15 是一个正弦交流电流的图象，根据图象求 出它的周期、频率、幅值和初相位，并写出电流 i关于时间 t的函数关系式. 解:根据图象可知， 电流的周期 T 二 0.25 - 0.05 二 0.2（S）. 所以频率f二丄 -5（Hz）. T 0.2 角频率川=2“f =10二（rad/s） 由图又知，幅值Im -10（A）,起点

4、 坐标为（-0.05,0）. 由正弦型函数起点坐标的求法，有 图 2-15 7 因此,该正弦交流电的函数关系式为 z H i 二 10sin （10 t ）. 2 正弦交流电的电压v随时间t变化的规律为 v = VmSin （毗 +屮 ）， 其中Vm是电压的最大值，称为幅值（或峰值）,同样称为 角频率（或圆频率），0称为初相位（或初相）,-4 称为t 时刻的相位 类似地，正弦电压的周期T =（单位:s）,频率 1 f （单位:Hz）, =2f（单位:rad/s） 在电工学中，正弦交流电的电流和电压都简称为 正弦 量.显然,正弦量由幅值、角频率和初相 位唯一确定. 课堂练习：习题 2.6 的 1

5、、2、3 题（请学生回答） 2.求两个同频率的正弦交流电合成举例 在电工学里，对交流电路的分析过程中，经常遇到对 同 频率的正弦量求和的运算，称之为同频率正弦量的合成.例 如: 设有两个同频率的正弦电流（单位:A）8 h = I im sin( t i), 2 = 1 2m Sin( 2 )， 把它们合成，即 i = ii i2 二 IimSin( t J GsirK t ) i又称为电流ii与i2的总电流. l f TT y 例 4 求两个同频率的正弦电流L = V3sin 100兀t +二I与 3丿 r 兀) i2 =sin 100兀t +相加的总电流. i 6丿 解:设L与i2的合成电流

6、为i ,则 i 订 i2 Jt JI sin 100 tcos cos100 二 t sin 6 6 ( 1100兀t + + sin 100兀t + 1 3 6丿 二 3 sin 广厂 Tt JI 广厂 K JI 13 cos + cos sin 100 兀 3 si n + s in i 3 6 3 6cos100t 二 3sin 1001 2 cos1001 送前100心冷+如00毗壮J+ sin 100 t cos100 t 9 二7sin(100 t 0), 2 其中 e o = arctanjj.因此合成电流i也是正弦电流，且与 i1、i2同频率 由上可见，用和角的正弦公式能求出两

7、个同频率的正弦10 量的合成结果，但计算非常繁琐.下面将给出一种较简单的 解法. 根据 2.3 节讨论的结果可知，正弦量除了用正弦型函数 或正弦波形表示之外,还可以用旋转向量来表示.画旋转向 量来表示正弦量,是繁琐的.在电工学中,通常只用初始位 置（t = 0）的向量来表示一个正弦量 ，它的长度等于正弦量 的幅值，它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位 .但 是我们应该具有这样的概念 :这个向量是以正弦量的角频 率作逆时针方向旋转的，它在纵轴上的投影（纵坐标）表示 正弦量的瞬时值. 在实际问题中我们所涉及的往往是正弦量的有效值 .因 此为了方便起见，常使向量的长度等于正弦量的有效值 .显 然

8、，这时它在纵轴上的投影就不能代表正弦量的瞬时值了 . 由电工学可知，正弦电流和电压的有效值与幅值的换算关 为了与物理向量（例如电场力、电场强度等）区别,表示 随时间而变化的正弦量的向量我们称为 相量,并在所注文 和Vm ,它们的有效值相量分别记作I和V . 由于正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定，因此 对应 ， ， 正弦电流i = I m sin t 相量 Im （或 I）. 对应 正弦电压V二VmSint亠0 相量Vm （或V）. 按照各个同频率的正弦量的幅值（或有效值）和初相位 画字上方打一 “.例如电流和电压的 幅值相量 分别记作I 系为：I二 11 出若干个相量的图形称为相量图.由

9、2.3 节讨论亦可知 两个同频率的正弦量相加 （相同物理量相加）,其结果是一 个同频率的正弦量,它们的相量之和,就是它们的和的相量 因此，我们可以利用两个同频率的正弦量 （相同物理量）的 相量图，采用平行四边形法则求它们的和相量 ，再通过解 三角形便可求得这两个同频率的正弦量之和的幅值和初相 位,从而得出两个同频率的正弦量的合成结果 . 例 5 已知两同频率的正弦电流 i1 8sin（t 60 ）安和 i? =6sin（ t - 30 ）安,求 i = h i2. 解:先作ii和i2的幅值相量I 1m和I 2m ,以 该两相量为邻边作一平行四边形，平行四边形 的对角线即为两正弦电流之和i的幅值

10、相量Im （图 2-16）. 因为ii和i2的相位差恰为90 ,所以i的幅值 而i的初相位 - = 6 =60 - arctan 60 - 37 , 8 所以 i =10sin ( t 23 )安. 例 6 在图 2-17 的电路中，设 i I1msin( t J= 100sin ( 45 )安, i2 = 12m sin( t 2)= 60sin ( t _ 30 )安, m X 12 试求总电流i. 解:根据表示正弦量的几种方法对本题分 别进行计算如下 (1) 用三角函数式求解 i 订 “2 二 limSin( t 1)+ JmSin( t 2) = iim( sin tcos cos t

11、sin J+i2m(sin tcos 2 cos tsin 2) =(l1mcos 1 l2mcos 2) sin t+( l1msin l2msin 2)cos t 设 i = | m sin ( t )= I m cos si nt l m sin cos -1 I m cosl1mcos12m cos 2 ImSin = limSin + l2mSin2, 因此总电流i的幅值为 Im = 0 序 0）; VimSin （ t o） （ Vm 0, 0）, 它们都是正弦型函数.掌握了正弦型函数图象和性质 也就掌握了正弦交流电随时间变化的 在电工学中，正弦交流电的电流和电压都简称为正弦 量，正弦量可以用相量来表示.有 . 对应 - 正弦电流i 1 m sin(t +甲0) - 幅值相量 Im （或有效值相量 I）. 对应 正弦电压 vVmsin(cot+w0)