概率论与数理统计模拟试题

1、模拟试题A.单项选择题（每小题3分，共9分）1.打靶3发，事件 表示“击中 i发” ，i = 0 ,1 , 2 , 3 ° 那么事亠表示（A ） 全部击中；至少有一发击中;(C ) 必然击中;击中3发2.设离散型随机变量x的分布律为J临二紆二齐严二则常数A应(C)；(D)3.设随机变量二，服从二项分布B ( n , p )，其中 0 < p < 1n = 1 , 2, -么，对于任一实数 x，有lim1drt2二、填空题（每小题3分,共12分）P(AB)=1.设A , B为两个随机事件，且P（B）0,则由乘法公式知恳丄=1陥"闌口2.(2) = 0 97725

2、=0 977253.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为二，则4人中至多1人需用台秤的概率为： °4.从1, 2,，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不 相同的事件的概率等于三、（10 分）已知 M ,求证” ' .1四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求- 的分布函数：1 -I五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概

3、率为10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求：（1 ） 该地区居民患高血压病的概率 ；（2 ）若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量：和乔，其概率密度分别是 ：1又知随机变量试求w的分布律及其分布函数如果 与 厂相互独立，写出 （富F 的联合概率密度，并求下列事件的概率到时刻两家的元件都失效（记为A）， 到时刻一两家的元件都未失效（记为B）， 在时刻 环至少有一家元件还在工作（记为D）。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过 f 八、（10分）设二和厂是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

4、kg且强力服从正态九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25件作强力试验，算I 1 M* J话2（咼一好工沾吨得，问新产品的强力标准差是否有显著变化（分别取：二土和，已知厂；厂 厂，十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：濕度Xi0410152129365163重量刀皈77LQ30.6幼7P2.P39.4113.6125.1从经验和理论知二 与“5 之间有关系式：i二川'；二且各v独立同分布于-''JJ '。试用取小二乘法估计

5、a , b.概率论与数理统计模拟试题A解答一、单项选择题1.(B) ；2. (B);3.(D)二、填空题1898；7x 61. P(B)P(A|B) ；2.;3.256 ；4J*104=三、解：因-I'-5故可取其中uN ( 0 ,1 )，' ' , 且u与y相互独立从而"与y也相互独立又由于护 7*1)1245151515四、匚的分布律如下表:5 5 5 5 O V “ yvl<11<t<22 <<33 <x<44 <z五、-(i= 1，2，3） 分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者居民患高血压病也）二&am

6、p;戏,丄仏）二O.OS由全概率公式P(3) = X) = 0.106由贝叶斯公式六、（x , h） 联合概率密度其他(1 ) P(A)=(3 )F(Q) = P(A)工 1 - F(Z)三严 + e_?0 -七、证一：设事件A在一次试验中发生的概率为 p，又设随机变量则,；'1.-，二匕 1nnazDCpq<(p±± _ 1»13K £)(卓)二八、因为W二丄厂.cr乂严必二1 - 二上一丄十®卫十呂所以w的分布律为WatBAABj4+5w的分布函数为0 rf<0九、要检验的假设为'一 . 一 Xi 一 ，；>

7、; £T0 - 7 5八宁常j在 ct = 0.05 时，卞=40.11>36.41庁=勺95 住4=心弋思 1) 故在 二二J上时，拒绝：一认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大 当 a 0.01 时，/ 二 40 11 小294 和f(24)故在3 = ：i ：'.下接受【，认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异注：只：，5 '改为.也可疋冷送為=26,乞乂； =101傘I十、1 99=76218.17i-li-12>必=24628.6i-i为弩 _T "沉 S =67.51?- «x模拟试题C(A.B.D)一.填空题(每小题

8、3分，共15分)P(A) = HQ = F(C) = - ,P(AE) = P(3C) = 0, P(AC) = 1,1. 设AB, C是随机事件，I:则A B, C三个事件恰好出现一个的概率为 。2 . 设X, Y是两个相互独立同服从正态分布- 的随机变量，则E(|X-Y|) =。3.是总体X服从正态分布 N匸1 ,而厂：是来自总体X的简单随机样本,则随机变量"丁服从，参数为4.设随机变量X的密度函数Sx2t0 <x <1其他，Y表示对X的5次独立观察终事出现的次数，则5.设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本，则X的最大似然估计量.选择题(每小题3分，共15 分)

9、,则下列结论成立的是0 < P(A) V 1, 0 V P® < 1?卩3|为十= I( )(A) 事件A和B互不相容；(B) 事件A和B互相对立；(C) 事件A和B互不独立；(D) 事件A和B互相独立。2. 将一枚硬币重复郑 n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于()。(A) -1( B) 0(C) 1/2( D) 13. 设V】分别为随机变量 厂：的分布函数，为使 八 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()。3 222-,b = -3 设 -"-' “是来自正态总体'J- A -的简单随机样本，

10、三是样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布随机变量为（以酹=-i （疋-即1 启1糜二（乩-曲圧二y （jf. -X） 片7件，现从中随机抽取，记I若抽到轉品6 = 12,330,其它，试求：（1）随机变量3 -5.设二维随机变量 （X, Y）服从二维正态分布，则随机变量r 工-不相关的充分必要条件为（）°（B）总（X：）風王）=運厂-3（F）（o）e（x2）= £（ra）（D）烦巧二阁尸1+凤巧三、（本题满分10分）假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱， 然后从该箱中先后随机取两个零 件（取出

11、的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。四、（本题满分10分）假设在单位时间内分子运动速度X的分布密度为-x）?0 ex < 1求该单位时间内分子运动的动能二的分布密度，平均动能和方差。五、（本题满分10分）设随机变量 X与Y独立，同服从0,1上的均匀分布。试求：Z =|X-Y|Kl分布函数与密度函数.C2）P（|Z-EZ|<27dZ）.六、（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件、10的联合分布；（2）随机变量-：|；-：的相关系数。七、（本题满分15分）

12、设总体X的密度函数为厂00 CX丈他,兀”七，召是来自X的简单随机样本，试求：础最大似然估计C23魄否是融有效估计，为什么？&醍否是砧相和估计，为什么？八、（本题满分15分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了 研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了 10次试验，计算得牙甲二強96,聲=3351,耳二汕43盅=2 246,假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率匚1附：耳砒（9） = 6,5耳加仅刃二5為WO®） = 2.878,（18） = 2.5524,（1?） = 2.8609, i0X01（l 9） = 2.5395概率论与

13、数理统计模拟试题C解答f 丄（2入F F 0厨DY = （5）rmn逅2R&4世也二、 D A / WB （3E三 设尽=被挑出的是第覇口 = 1,2,4 =隔决取出的零件是一等品 J = 12 那么由题设知昭）=刊虽=1 I码）=訂典2）= 1由全槪率公式扁尸二尸厲疋的旳+尸（咼尸砂二|xllx2 =,|阳一尸的&）血国1如）=丄+11）x1 = 0.485572 504930292W空-:> o(xll)eIAlXL wkvlOJXIMe H 3 (D ，用0 >2。和 n 苍(k 【) jyh 薯 11=9 vv十 H 盅g 60 0x9Lo>CXQIX

14、2 I n H n d e 80 0 (二x)=ou000.0 n L o xg.o N HXB "XBI (疔込)3 H ("Jr WLOU 0 Hodxl + 8 On-H OXIXO + loxoxn.y).？ 60.0 noxroH XG 90 H s X000 H JXQI.OH 热OOOH 卸Q) oh(0)4h(lh nx)d 000 H (<4 H (0 H gumgunu w)氐 L 0 n (<)Q ns n EdKe忙念"超(W 二 xgLO n n vssg.o n 他袈 KMEE茫T或賦粮專曲"(21 Ns昭t=is

15、0 n弋世郦忠号K6 n xxfw E V H - ZGe V- Z:ZH 4 +2 畔 * IsEM ZQ 打 h (2)七、0）似然函数为In L(ff) = -win 2- win 9Elxj IG i-l令瞬=三十土耳01 = 0,得殆最大似然估计为A 1«*一对|Wi-11 r+a>1 ft co (2)S9= EX=xQ 9 dX =9dx = &即醍砒无偏估计。EX2 = x2& =20 J-9e JoXX-天2孑 |胛 +p2x = 22Q|X|= 2/_02 =02,贝忆0 = 2.£刀也 I = £i他胡气釦胡诰+ 因为丄

16、二兰DM（&）必 所以魄的有效估计。（3）因吩 O,D（0） = O Tg所以醍做相合估计。n八、 检验假设仏：尺=&,凤:思症亂因为 肖宀务鐸“】如（9,9） =心 所以要接受假设禺；&=各（2）检验假i殳: “一 n “乙，H；:戸甲 < “乙亍甲_示Z1«1«2 （刃1十总2 _ 2）j（如_ 1）詣十（勺一 i）d V勺+心二一46469查<-分布表得如05（18） = 2.5524,因f <-2.5524,故拒绝原假设打 仆*、即认为方案乙比方案甲显著提高得率。模拟试题D(A.B.C)一、填空题(每小题3分，共15分)1.

17、甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是。34p(x >o)= -f >o)=> o)= -2 设X和Y为两个随机变量，且,则.I 。3 .设随机变量X与Y独立-,且 'J '，则一 - 1 。4 .设是来自正态总体N ( 0 , 1 )的简单随机样本，令二 匸二二:= 二为使匚服从2 分布，贝 H a=,b=.5设由来自正态总体-二：的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5,则未知数段的置信度为的置信区间为 。二. 选择题(每小题3分，共15分)1.当事件A与事件B同时发生时，事件 C必发生，则()。

18、(A)P(C < 0()+刊占)-1F© >只丿)十尸(旬-1(U)FG = PAB)(D)FG = F(TU2 .设随机变量X服从指数分布，则随机变量 Y= min ( X, 2)的分布函数()。(A)是连续函数；(B)至少有两个间断点；(C)是阶梯函数；(D)恰好有一个间断点。3.设随机变量 X和Y独立同分布，记 U= X Y, V= X +Y ,则随机变量 U与V也( )。(A)不独立；(B)独立；(C)相关系数不为零；(D)相关系数为零。4设总体X服从正态，；' 分布，一一J -是来自X的简单随机样本，为使ct =月221弟一和d-l是厅的无偏估计量，则

19、A的值为（且4， 目丄©!亍3）匸广；片Vn - 1 2 ra（n - 1）5 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平.- r ,则在显著水平 二：二I二下，下列结论中正确的是（）。（A）必接受 一1；（B）可能接受，也可能有拒绝11；（C）必拒绝 ；（ D不接受，也不拒绝 、。三、（本题满分10分）三架飞机：已架长机两架僚机，一同飞往某目的地进行轰炸，但要到 达目的地，一定要有无线电导航。而只有长机有此设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且每架飞机炸毁目标的概率均为。在到达目的地之前， 必须经过高射炮阵地上空。此时任一飞机被击落的概率为，求目标被炸毁的概率。四、（本

20、题满分 10分）使用了小时的电子管在以后的亠：小时内损坏的概率等于,其中上是不依赖于二的数，求电子管在 T小时内损坏的概率。JT+F与兰五、（本题满分10分）设随机变量X与Y独立同服从参数为1的指数分布。证明.相互独立。六、（本题满分10分）设二维随机变量（X， Y）的联合密度函数为<j: <1D其它px > 11 r > 0)（1）计算二'；（2）求X与Y的密度函数；（3）求Z= X+ Y的密度和函数。七、（本题满分15分）设总体X服从正态分布是来自X的一个 样本，丁 L是未知参数。(1)(2)区域b-的最大似然估计量 b!; 亍 是否是工!的有效估计为什么八

21、、（本题满分15分）设有线性模型f、= ©十耳=2& + 包匕=2口一 B +岂 打=&十2占十昌 血=口 +方+岂 7（5 =其中 "厂4；.三一厂.二相互独立，同服从正态 丫 II -.分布:（1）试求系数"八的最小二乘估计；（2）求-<的无偏估计量；（3）求构造检验假设T/-'''的统计量。概率论与数理统计模拟试题D解答*1 0.752.-3竺4.7 - 1 >-15 4 4115.5S37243mnm二L月2D3.DA.D5.B三、设凤赳役有飞机到达目的地 占=伙有长机到达目的地 禺=治机利一架僚机到达目

22、的地 场=二架飞机到达目的地 A=标被炸毁则珂氐卜。基砒）=0«x0 2xflL2 = （M3畫申=2x也畫jk Mx0 = 512, Ja UA U=S；5 =J = J =04.2a：工且卫y|耳=0f= 03耳命丿二 03+03-f03f =V： 9上戌.'二口小-匚；I i计二X"故由年槪率必 式得*三戸£丄半.=_ 00.032 >.0.30.256a 0.51 +j;0.512x0.657 = 0.4S四.设随机变量丄表示电子管损坏前己使用的时数I即寿命)并设F伍肉 久的分布函数，根据题给条件得P* V+ Jr|AF <t=加 +

23、但由条件慨率公式有珂*汁沖、r= F什寬:厂= zlr+a(dr)pt<x<i 汁 Jx_F0«+Jx)-Fa) -PX> i-=1-F(f)F(f+ Jr) 一 F(fy = 21 一 F(j)Jzlr+ o(jr) lim 土址型=馳-尸即込咖十注意到初始条件尸(0) =(X于是积分后得 hil-F(/)>-zr|； lnl_F(幼=5 F(y 严3。) 于是朋分布函数为/>0r <0t>Qr<0因而所求慨率为F(r)= i-严尹.久的密度函数p(f)='即刘艮从指数分布。ixxm联合密度函数为&畑K耳3彳x> 0, j >0'其他由于函数/ = x+y!v = -,r>0,y > 0满足条件;（1游在唯_反函数tu >0,v>01 + v（2清一阶连续偏导数所如=从而©；广的联合密度函数为Vu孟无1-tri?(1+v)2K1u（Tdu &1”(l+li)2甩s仏M =乌王（石石；）|刀1 应已0： V> 00：其他故（口灰于Z7 = XH的密度函数为«）=rc" n>00u<0关于卩耳的密度函数为 从而张v）=Pu GO pr W 因此隨机变量=x+y与卩=半独立