毕业论文：积分中值定理的推广及应用

1、毕业论文：积分中值定理的推广及应用海南大学毕业论文设计题目积分中值定理的推广及应用学 号姓 名年 级学院信息科学技术学院系别数学系专业信息与计算科学指导教师完成日期年 月 日摘 要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用我们将它主要分为以下几 个方面积分中值定理积分中值定理的推广积分中值定理中值点的渐进性积分中 值定理的应用我们讨论了定积分中值定理第一积分中值定理第二积分中值定理而且还给 出了这些定理的详细证明过程在此基础上我们还讨论了在几何形体上的黎曼积 分第一中值定理它使得积分中值定理更加一般化此情形对于讨论一般实际问题 有很显著作用在积分中值定理的推广方面我们由最初的在闭区间讨论函数的

2、积分中值定 理情形转换为在开区间上讨论函数上的积分中值定理这个变化对于解决一些实 际的数学问题更为方便不仅如此我们还将几何形体上的黎曼积分第一中值定理 推广到第一第二曲线型积分中定理和第一第二曲面型积分中值定理情形有关点的渐进性我们对第一积分中值定理的点的做了详细的讨论给出详细 清楚的证明过程而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形其 它证明过程只做简要说明对于应用我们给出了一些较简单的情形如估计积分值求含有定积分的极限 确定积分号比较积分大小证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判 别法这两个定理的证明关键词积分中值定理推广 应用渐进性AbstractThe main co

3、ntent of this paper are the mean-value theorem and its application it will be mainly divided into the following respects integral mean-value theorem the generalation of integral mean-value theorem the asymptotic property of the intermediate point of integral median point the application of integral

4、mean-value theoremWehave discussed the definite integral mean-value theorem the first meanvalue theorem the second integral mean-value theorem and have given a detailed proof of these theorems process On this basis we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem on the geometry

5、It makes the integral mean-value theorem is more general the case has asignificant role in the discussion of practical issues in generalIn the promotion of integral meanvalue theorem we have discussed the integral mean-value theorem of function in the initial closed interval in the case of discussin

6、g it in the open interval the change has more convenience in solving some practical mathematical problem In addition we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometry to the situationof the firstand second type curve in integraltheorem and The second type surface integral

7、 mean-value theoremAbout the Progressive of point we have discussed the point of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process While the gradual issues of the second integral mean value theorem has been demonstrated one of these situations And the other process of proving has

8、been expressed in briefAccording to applicationwe presented a simple situation for example estimate integral value solve the limits of definite integral define integral sign compare the magnitude of integral value prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testKey words integral mea

9、n-value theorem promotion applyprogressive 目录1 引言 12 积分中值定理的证明 221 定积分中值定理 222 积分第一中值定理 323 积分第二中值定理 324 几何形体上黎曼积分第一中值定理 63 积分中值定理的推广 931 定积分中值定理的推广 932 定积分第一中值定理的推广 933 定积分第二中值定理的推广 1134 第一曲线积分中值定理 1235 第二曲线积分中值定理 1236 第一曲面积分中值定理 1337 第二曲面积分中值定理 144 第一积分中值定理中值点的渐进性 165 第二积分中值定理中值点的渐进性 206 积分中值定理的应用

10、 2361 估计积分值 2362 求含定积分的极限 2463 确定积分号 2464 比较积分大小 2565 证明函数的单调性 2566 证明定理 257 结论 29谢辞 30参考文献 311 引言随着时代的发展数学也跟着时代步伐大迈步前进其中微积分的创立也极大 地推动了数学的发展积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学 分析课程中的它在数学分析的学习过程占有很重要的地位并且对于后续课程的 学习也起着较大作用在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下通常情况下积分中值定理包含第一积分中值定理第二积分中值定理而在此 我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理即在一个区间上的情形还讨论了在

11、几何形体上二重三重积分的情形的积分中值定理并且这两个定理在各个方面的 应用都较为广泛比如物理学和数学我们将积分中值定理加以应用把微积分体系 中比较基础的东西找出更为简单的解决方式数学中一些定理的证明数学定理命 题几何应用含定积分的极限应用确定积分符号比较积分大小证明函数单调性估 计积分值虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐但 是我们任然可以把它当作一个基础定理解决一些现实问题此外在 20 世纪国内外定在有关积分中值定理的中间点渐进性质研究就已经有很显著的成就数学家们不但将较为简单的情况下一个区间上的情形论述第一 第二积分中值定理的渐进性质论述透彻而且还加以推广包括有定积分

12、中值定理 的逆问题及其逆问题的渐近性第一曲线型积分渐近性甚至还将积分线由有限改 为无穷的情形他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化本课题的研究过程为讨论和分析积分中值定理然后将其加以推广讨论各个 积分中值定理中的中间点的渐进性质最后论述了积分中值定理在各方面的应用 问题课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理推广渐进性将各方面的应用如估计积分值求含有定积分的极限确定积分号比较积分大小证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分 中值定理并把其以论文的形式整理出来2 积分中值定理的证明21 定积分中值定理定理 1 定积分中值定理如果函数在闭

13、区间上连续则在区间上至少存在一个点使下式成立证明 因为f X在ab上连续所以f x在ab上有最大值M和最小值m即我们对不等式进行积可得有积分性质可知由于对不等式同时除以可得此式表明介于函数的最大值和最小值之间由闭区间上连续函数的介值定理在闭区间上至少存在一点使得函数在点处的值与这个数相等即应该有成立将上式两端乘以即可得到命题得证备注 1 很显然积分中值定理中公式在与之间不论或都是成立的22 积分第一中值定理定理 2 第一积分中值定理如果函数在闭区间上连续在上不变号并且在上是 可积的则在上至少存在一点使得成立 证明由于在上不变号我们不妨假设并且记在上的最大值和最小值为和即将 不等式两边同乘以可知

14、此时对于任意的都有成立对上式在上进行积分可得此时在之间必存在数值使得即有成立 由于在区间上是连续的则在上必定存在一点使成立此时即可得到命题得证23 积分第二中值定理定理 3 积分第二中值定理如果函数在闭区间上可积而在区间上单调则在上 至少存在一点使下式成立2-2特别地如果在区间上单调上升且 那么存在使下式成立2-3如果在区间上单调下降且那么存在使下式成立2-4证明由题设条件知在区间上都是可积的由积分性质可知也是可积的我们先 证明 2-3 式即在非负且在区间上单调上升的情形下加以证明 对于 2-4 式证明是 类似的最后我们再将其推导到一般情形即可证明 2-2 式在区间上取一系列分点使记其中为在上

15、的幅度即再将所讨论的积分作如下 改变将积分限等分为如下等份并且记则因为在上可积且区间是有限的所以在上有界此时我们不妨假设估计如下由于可积所以当时有从而有从而可知我们记由于函数在闭区间上可积那么函数是上的连续函数并且有最大值和 最小值和记为很显然从而因为是非负的并且在区间上单调上升即有成立所以有下式成立即有成立从而可以得到其中满足由于函数连续则在之间存在一点使成立从而有 公式 2-3 成立即成立 2-3 式得证对于单调下降且的情形即公式 2-4 的证明过程是类似的证明略2-3对于是一般单调上升情形我们作辅助函数其中为单调上升且此时公式 对于是成立的即存在使成立这就证明了公式 2-2对于是一般单调

16、下降的情形此时应用公式 2-4 同样可得到 2-2 式此命题得证24 几何形体上黎曼积分第一中值定理定理 4 第一中值定理若在上黎曼可积则存在常数使得 成立这里的介于在上的上确界和下确界之间证明假设 由命题可知由积分性质对不等式在上进行黎曼积分可得即有 其中为几何形体的度量此时即可得到是介于和之间从而有 成立其中为位于之间的一个数命题得证定理 5 二重积分的中值定理假设函数在闭区域上连续其中是的面积则在上 至少存在一点使得成立 证明由于函数在闭区域上连续假设在闭区域上的最大值和最小值分别为即对不等式在区域上进行二重积分可得其中为闭区域的面积我们不妨记由上式还可得到由于将不等式除以可得由于函数在

17、闭区域上连续则在上至少存在一点使得 成立将上式两边同乘以即可得到从而命题得证定理 6 三重积分的中值定理设函数在空间闭区域上连续其中是的体积则在 上至少存在一点使得成立证明由于函数在闭区域上连续假设在闭区域上的最大值和最小值分别为即 对不等式在区域上进行三重积分可得即其中为闭区域的体积我们不妨记由上式还可得到由于将不等式同除以即可得到由函数在闭区域上连续则此时在上至少存在一点使得成立将上式两边同乘以即可得到命题得证3 积分中值定理的推广31 定积分中值定理的推广定理 7 推广的定积分中值定理 如果函数在闭区间连续则在开区间至少存在 一个点使得下式成立证明作辅助函数如下由于在闭区间连续则在上可微

18、且有成立由微分中值定理可知至少存在一点 使得成立并且有此时即可得到下式命题得证32 定积分第一中值定理的推广定理 8 推广的定积分第一中值定理 若函数是闭区间上可积函数在上可积且 不变号则在开区间上至少存在一点使得成立证法 1 由于函数在闭区间上是可积的在上可积且不变号令很显然在上连续 并且 由柯西中值定理即可得到命题得证证法 2 由于函数在上可积且不变号我们不妨假设而函数在闭区间上可积我们令假设是在闭区间上的一个原函数即此时我们有下式成立3-1由于则有以下我们分两种情形来进行讨论1 如果由 3-1 式可知则此时对于有成立2 如果将 3-1 式除以可得3-2我们记3-3此时我们又分两种情形继续

19、进行讨论i 如果 3-2 式中的等号不成立即有成立则此时存在使得我们不妨假设其中因为则有此时至少存在一点使得即有成立从而结论成立ii 如果 3-2 式中仅有一个等号成立不妨假设因为此时必存在其中使得恒有 成立我们则可将 3-3 式可改写为因为则有3- 4 又注意到必有于是3- 5下证必存在使 若不然则在上恒有及成立从而如果由达布定理在上有这与矛盾 如果 这与 3-5 式矛盾所以存在使定理证毕33 推广定积分第二中值定理定理 9 推广定积分第二中值定理 如果函数在闭区间可积在区间上可积且不 变号则在上必存在一点使得成立证明过程详见参考文献 934 第一曲线积分中值定理定理 10 第一型曲线积分中

20、值定理 如果函数在光滑有界闭曲线上连续则在 曲线上至少存在一点使成立其中为曲线的弧长证明因为函数在光滑有界闭曲线上连续所以存在其中对不等式在闭曲线上进行第一类曲线积分可得其中为曲线的弧长并且由于将上式同除以常数即可得到由于函数在曲线上连续故由闭区间上连续函数的介值定理在曲线上至少存在一点使成立左右两边同除以常数即可得到结论从而命题得证35 第二曲线积分中值定理定理 11 第二型曲线积分中值定理如果函数在光滑有向曲线上连续则在曲线上至少存在一点使得成立其中为光滑有向曲线在轴正向上的投影其中符号是由曲线的方向确定的证明因为函数在有界闭曲线上连续所以存在其中对上式进行第二型曲线积分可得3-6其中为有

21、向光滑曲线在轴上的投影此时我们不妨记并且分以下两种情况进行讨论1 假设将 3-6 式除以可得因为在上连续故由介值定理则在曲线上至少存在一点使成立即有成立2 同理当式左右两边同时除以可得因为在上连续故由介值定理则在曲线上至少存在一点使成立即有成立由上面证明过程可得命题得证36 第一曲面积分中值定理定理 12 第一型曲面积分中值定理设为平面上的有界闭区域其中为光滑曲面 并且函数在上连续则在曲面上至少存在一点使成立其中是曲面的面积证明因为在曲面上连续所以存在且使得成立我们对上式在上进行第一类曲 面积分可得其中为曲面的面积且因为两边同除以有由于在曲面上连续故由介值定理在曲面上至少存在一点使成立两边同时

22、乘以可得命题得证37 第二曲面积分中值定理定理 13 第二型曲面积分中值定理若有光滑曲面其中是有界闭区域函数在上 连续由此在曲面上至少存在一点使成立其中是的投影的面积证明因为函数在曲面上连续所以存在使得对上式在曲面上进行第二类曲面 积分可得其中为投影在曲面上的面积并且我们记1 若则上式除以有由于在曲面上连续故由介值定理在曲面上至少存在一点使两边同时乘以有2 同理若则上式除以有由于在曲面上连续故由介值定理在曲面上至少存在一点使两边同时乘以有由以上证明过程可得从而结论成立4 第一积分中值定理中值点的渐进性定理 14 假设函数在上阶可导其中在点的直到阶右导数为 0而不为 0 即并且 有在点连续函数在

23、可积且不变号并且对于充分小的 在上连续且则第一积分中值 定理中的中值点满足证明对任意我们做一个辅助函数如下 一方面当时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则 由积分中值定理和洛比达法则可以得到从而4- 1且有成立另一方面由积分中值定理和洛比达法则可得由洛比达法则则有因此可得4- 2比较 4-1 式与 4-2 式可以得到定理 15 假设函数在上连续存在并且有阶导数有 成立并且在点连续不变号 则第一积分中值定理中的点满足证明对任意的构造辅助函数如下一方面当时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则有由于则且函数阶导数则上式等于4-3另一方面由积分中值定理则对使用洛比达法则可得4-

24、4比较 4-34-4 式我们可以得到定理 16 设函数在上阶可导在点连续函数阶导数且并且在点连续不变号则第 一积分中值定理中的满足证明对任意的我们构造辅助函数如下一方面由于时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则有由于函数在上阶可导且函数在上阶可导则上式等于4-5另一方面由积分中值定理对使用洛比达法则可得4-6比较 4-54-6 式我们可以得到5 第二积分中值定理中值点的渐进性定理 17 假设函数上单调并且在点的右导数存在且有在上可积在点的右极限存在且则第二积分中值定理中的满足证明对于任意的构造辅助函数如下一方面当时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则可得5- 1另一方面

25、由第二积分中值定理有5- 2比较 5-15-2 式知即可得到将此定理推广即可得到以下定理定理 18 假设函数在上单调在内有直到阶导数在点连续在点的右导数满足在上可积在点的右极限存在且则第二积分中值定理中的满足证明构造辅助函数证明可仿造定理 17 证明过程略定理 19 假设函数在上单调函数在点的右导数存在并且有在上存在直到阶导 数且有在点连续并且满足则第二积分中值定理中的点满足证明构造辅助函数证明可仿造定理 17 证明过程略定理 20 假设函数在上单调在上有直到阶的导数在点连续并且在点的右导数满足在上存在直到阶导数在点连续且满足则第二积分中值定理中的点满足 证明构造辅助函数证明可仿造定理 17

26、证明过程略6 积分中值定理的应用61 估计积分值例 1 估计的积分解由于即于是此时可得到估计的积分值为例 2 估计的积分解设则其次假设和则单调下降并且有于是其中因此例 3 证明等式证法 1 由第一积分中值定理可知 其中位于和之间的某个值证法 2 由第二积分中值定理可知得其中位于和之间的某个值于是62 求含定积分的极限例 4 求极限解利用广义积分中值定理则63 确定积分号例 5 确定积分的符号解由积分中值定理可知其中又在上不恒为 0 则有即的符号为正号64 比较积分大小例 6 比较积分和的大小解当时从而有于是我们有即小于等于65 证明函数的单调性例 7 设函数在上连续其中试证在内若为非减函数则必

27、为非增函数 证明利用分歩积分法将化为 对上式求导可以得到由积分中值定理可得若为非减函数则有成立因此可以得到故为非增函数命题得证66 证明定理例8 证明阿贝尔判别法如果在上可积单调有界那么收敛证明由假设条件利用第二中值定理在任何一个区间上其中存在使得因为在上可积则收敛所以对于任何存在使得当时成立又由根据柯西收敛原理可推知积分收敛备注 2 当讨论无界函数广义积分时可将阿贝尔判别法可改写为假设在有奇点收敛单调有界那么积分收敛证明对应用第二积分中值定理证明过程略备注 3 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时则含参变量的广义积分的 阿贝尔判别法可写为 假设关于为一致收敛关于单调即对每个固定的作为的函数是

28、单调的并且关 于是一致有界的即存在正数对所讨论范围内的一切成立那么积分 关于在上是一致收敛的 证明由于关于是一致收敛的则对于任意正数存在当时成立因此当时将看成给定常数则由积分第二中值定理中的公式因为对任意的都有则因此关于在上是一致收敛的命题得证例 9 证明狄里克莱判别法如果有界即存在使得单调且当时趋向于零那么积分收敛证明因为所以对任意的存在当时又因所以同样我们有由第二积分中值定理只要就有所以积分收敛命题得证备注 4 当讨论无界函数广义积分时我们可将狄立克莱判别法写为设在有奇点是的有界函数单调且当时趋于零那么积分收敛证明对应用第二积分中值定理证明过程略备注 5 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为设积分对于和是一致有界的即存在正数使对上述成立又因为关于是单调的并且当时关于上的一致趋于零即对于任意给定的正数有当时对一切成立那么积分关于在上是一致收敛的证明由所假设的条件可推知对任何有而由和上式可推知当时因此关于在上是一致收敛的命题得证7 结论本课题通过讨论积分中值定理对积分中值定理内容如积分中值定理的定义 推广渐进性质应用加以说明使得我们对积分中值定理有一个大概的了解本文论 述得还是比较完全的对于积分中值定理的各个方