2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(理科)含答案解析

1、2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1 .已知i为虚数单位，则i （2i+1）=（）A. 2+iB . 2- iC . - 2+iD . - 2- i2,已知集合 A=x|x2<1, B=x|log 2xv 1,则 AAB=（）A. x|一1vxv1B. x|0vx1C. x|0vx2D. x| - 1<x<23 .下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A . y=2xB . y=x3+xC . y= D. y= - log2xk4 .执行如图所示的程序框图，输出

2、的结果是（）第1页（共18页）A. 15B. 21C. 24D. 355 .已知向量=（苫，7）,E二仁 q）,其中xCR.则x=2"是清，工”成立的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.直线l ：1+*t厂2+多（t为参数）与圆C：y=l+2sin &（。为参数）的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心7.在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1则a的值为（A.D. 18 .如图，已知平面 a 9面3=l,3. A、B是直线且 DA，l, CB±l, DA=4 , AB

3、=6 , CB=8 . P 是平面l上的两点，C、D是平面3内的两点,a上的一动点，且有 ZAPD=ZBPC,则四棱锥P-ABCD体积的最大值是（）A. 48B. 16C. 2473 D, 144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 . （x2+-） 6的展开式中x3的系数是.（用数字作答）K10 .抛物线y2= - 8x的准线与双曲线Ci 或的两条渐近线所围成的三角形面积8411 .已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可 得这个几何体的表面积是（单位：cm2）.12.已知函数f （x）,则f(F(- 加)=；f (x)的最小值为.13.某慢性疾病

4、患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克.假设该患者的肾脏每 12小时从体内 大约排出这种药在其体内残留量的50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副 作用（此空填宥"或无"）.5. _14 .设Ai, A2, A3, A4, A5是空间中给定的5个不同的点，则使 £可二行成立的点M lt=l的个数有 个.三、解答题共6小题，共80分.解答

5、应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 .已知函数 fQ)= cos(; K)CO5K sixCR.(I )求函数f (x)的最大值；7T TT(n)若-1-,求函数f (x)的单调递增区间. 6316 .在某班级举行的 先旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A, B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对 A, B问题的概率分别为 二，弓.(I )记甲先回答

6、问题 A再回答问题B得分为随机变量 ，求E的分布列和数学期望； (n)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.17 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，等边4PAD所在的平面与正方形 ABCD所在的平面互 相垂直，。为AD的中点，E为DC的中点，且 AD=2 .(I )求证：POL平面ABCD ;(n )求二面角P-EB -A的余弦值；(m )在线段AB上是否存在点 M ,使线段PM与4PAD所在平面成30 0角.若存在, 求出AM的长，若不存在，请说明理由.AB18 .已知函数 f (x) =x2-lnx.(I )求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程;(n

7、)设 g (x)=x2 - x+t,若函数h (x) =f (x) g (x)屋上(这里e«2.718)第7页（共18页）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围.19.已知椭圆(a>b>0)的离心率,且点E上.(I )求椭圆E的方程；(n )直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点 CO,片).求4AOB (O为坐标原点)面积的最大值.20.在数列J an中，a1=0, an+l-an+ir，其中 m ®，nN*-(I )当 m=1 时，求 a2, a3, a4 的值；(n )是否存在实数 m,使a2, a3, a4构成公差不为0的等差数列？证

8、明你的结论;(出)当m>主时，证明：存在 kCN*,使得ak>2020.2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1 .已知i为虚数单位，则i （2i+1）=（）A. 2+iB , 2- iC . - 2+iD . - 2- i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用i2=-1,结合复数的乘法，即可得到结论.【解答】 解：由题意，i （2i+1） =i X2i+i= -2+i故选C.2,已知集合 A=x|x2<1, B=x|log 2xv 1,则 AAB=(

9、)A . x|一1vxv1B. x|0vx1C. x|0vx2D. x| - 1 < x< 2【考点】交集及其运算.【分析】先化简集合，即不等式x2<1,和对数不等式10g2xv1,再求交集.【解答】 解：集合 A=x|x 2v 1=x| - 1<x< 1 , B=x|1og 2x< 1=x|0 vxv2, 则 A AB=x|0 <x< 1,故选：B.3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. y=2xB. y=x3+xC.尸一十 D. y= - 1og2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断.【分析】根据奇函数的定义，

10、奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性, 以及一次函数和y=x3的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【解答】 解：A . y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；B. y=x3+x 的定义域为 R,且（-x） 3+ （- x） = - （x3+x）;.该函数为奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数； -y=x3+x在R上是增函数，该选项正确；C.反比例函数 产一（在定义域上没有单调性，该选项错误；D. y= - 1og2x的定义域为（0, +8）,不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误. 故选：B.4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.

11、 15B. 21C. 24D. 35【考点】程序框图.【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件, 退出循环，从而到结论.【解答】解：模拟执行程序，可得S=0, i=1T=3, S=3, i=2不满足 i>4, T=5, S=8, i=3不满足 i>4, T=7, S=15, i=4不满足 i>4, T=9, S=24, i=5满足i>4,退出循环，输出 S的值为24.故选：C.然后执行循环语句，一旦满足条件就5 .已知向量-D, b=（x, q）,其中xcr.则x=2”是成立的（）A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【考

12、点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】a_b,可得x2-4=0,解得x即可判断出结论.【解答】解：，x2-4=0,解得x=受.x=2"是4 _lE”成立的充分不必要条件.故选：A.6 .直线l ：（t为参数）与圆C：y=l+2sin 9（。为参数）的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心 【考点】 参数方程化成普通方程.【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程， 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到 已知直线的距离 d,判定发现d小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位 置关系为相交但不过圆心.【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程

13、得：（x-2） 2+ （y 1）2=4,，圆心坐标为（2, 1）,半径r=2,把直线的参数方程化为普通方程得：x - y+1=0 ,l" 1 + 1 L圆心到直线的距离 d= J ,广子241十（-1尸又圆心（2, 1）不在直线x - y+1=0上, 则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 故选：D."n+2y>27.在平面直角坐标系中，若不等式组1工（a为常数）表示的区域面积等于1,p -则a的值为（A.-iB-lC-iD【考点】简单线性规划.rs+2y>2【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件<l<x<2 的可行域，根卢式

14、一 y+liO据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2,构造关于a的方程，解方程即可得到答案.【解答】解：不等式组，1<X<2所围成的区域如图 ABCD所示，己国一 y+l）0.其面积为 1, A (2, 2a+1), B (2, 0), C (1, £), D (1, a+1) iCZ_i2a+L+a+4-Sabcd=i .=1 ,2X1解得a=.故选：B.-38.且如图，已知平面DA±l, CBH,a 群面 3=l,3. A、DA=4 , AB=6 , CB=8. 体积的最大值是(B是直线 P是平面 ）l上的两点，C、D是平面3内的两点,“上的一动点，且有

15、ZAPD=ZBPC,则四棱锥PABCDA. 48B. 16C, 2鼠百 D, 144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】 由面面垂直的性质可得 AD ±PA, BCXPB,由/ APD= / BPC可知PB=2PA,在平 面a内建立坐标系求出 P点的轨迹，得出P到直线l的最大距离，得出棱锥的最大体积.【解答】 解：二.平面a里面3=1,DA ±l, CBL, DA?平面3, CB?平面& DA，平面"CBL平面a, .PA?平面a, PB?平面 % .-.DA ±PA, CBXPB. / APD= ZBPC,PB=2PA.DA_BC 4 _

16、8PA WB，即 FA -PE，以直线1为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系, 则 A ( - 3, 0) , B (3, 0) .设 P (x, y),则 PA=/嬴于手，PB=JCl 3)，/,2也什3 )%/=/& - 3)。/,整理得(x+5) 2+y2=16 (y>0).P点的轨迹为以（-5, 0）为圆心，以4为半径的半圆.，当P到直线1的距离h=4时，四棱锥P - ABCD体积取得最大值.，棱锥的体积最大值为 vs梯院BCD吐/卷乂 （4+8） X 6X 4=48.故选：A.、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. （x2+-） 6的展开式中x3的系数是

17、 20 .（用数字作答） K【考点】二项式系数的性质.【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3,求得r的值，即可求得展开式中x3的系数.【解答】解：由于（x2+§） 6的展开式的通项公式为Tr+i=Cg?x12 3r,令12-3r=3,解得r=3,故展开式中x3的系数是C； =20,故答案为：20.10.抛物线y2= - 8x的准线与双曲线C；L - J二1的两条渐近线所围成的三角形面积为842sqrt2.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程, 计算即可得到所求值.【解答】解：抛物线y2=-8x的准线为x=2 ,解得两交点，由三角

18、形的面积公式,双曲线- 匚二1的两条渐近线为 y=84得这个几何体的表面积是3什4 （单位:【考点】由三视图求面积、体积.可得两交点为（2,、,（2, - V2）， 即有三角形的面积为-7>2 >2-/2=272. 故答案为：2-72.11.已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可cm2).【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积.【解答】 解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，底面圆的半径是1cm,母线长是2cm,几何体的表面积 S=兀12+兀1 >2+2 X2=3

19、兀+4 （cm2）,故答案为：3 ti+4 .12.已知函数f (x)=,则F(n-。)=1 ; f (x)的最小值为 0 .【考点】函数的最值及其几何意义；函数的概念及其构成要素.【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，根据基本不等式的性质以及函数的单调性的性质进行求解即可.【解答】解：f ( - 72)=log33=1,则 f (1) =1+2-2=1,即 历)=1,当x高时，f (x) =x+(-2彳灯2-2=2、4-2,当且仅当x=|,即x=/A时取等号，当 XV 1 时，f (x) =log3 (x2+1) *g31=0;故函数f (x)的最小值为0,故答案为：1, 0.13.某慢

20、性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克.假设该患者的肾脏每 12小时从体内 大约排出这种药在其体内残留量的 50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午 8点第一次服药，则第二天上午 8点服完药时， 药在其体内的残留量是 350毫克,若该患者坚持长期服用此药无 明显副作用(此空填宥”或无”).【考点】数列与函数的综合.【分析】由已知中，该药片每片 200毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出该药的 50%,我 们可设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为方毫克，由于上

21、午8点第一次服药，则第2天上午服完药时共服了 3次药，依次计算出31, 32,电的值，即可得到第2天上午服完 药时，药在他体内还残留量；先考虑该运动员若长期服用此药，此药在体内残留量，与400比照后，即可得到答案.【解答】 解：设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，则：31=200, a2=200+a 1X (1-50%) =200.5=300, a3=200+a2X (1-50%) =200+200 XI.5>0.5 =350故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克.该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为 Jn) =400 (1 - 0.5n),

22、当1 - 0, 5n-+oo时，药在体内残留量无限接近400长期服用此药，不会产生副作用， 即该生长期服用该药，不会产生副作用.故答案为：350,无.14.设Ai, A2, A3, A4, A5是空间中给定的5个不同的点，则使 £正=6成立的点M lt=l的个数有 1个.【考点】空间向量的概念；空间向量的加减法.【分析】分别设出Ai、A2、A3、A4、A5和M各点的坐标，得到向量 Hk= （k=1, 2, 3, 4, 5）的坐标,5 根据加法的坐标运算代入题中的向量等式k=0,化简整理可得点 M的坐标是唯一的.lc=l【解答】解：设 Ai (xi, yi, zi), A2(X2, y

23、2, Z2), A3(X3, y3, Z3),A4 (X4, y4, Z4), A5 (X5, y5, Z5)；再设 M (a, b, c),则可得 M%= (xi - a, yi - b, zi - c),MA?= (x2- a, y2- b, z2 - c),(X3- a, y3- b, Z3 - c),M%= (x4- a, y4- b, Z4-c),MAfj= (x5- a, y5- b, Z5 - c),£MAk=B 成立, k=lx 1/叼+父q 4町-5a0vity广V3飞十珈因此，存在唯一的点 M,使 £此=%成立.k=l一加o三、解答题共6小题，共80分.

24、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程i5,已知函数二匚口三（；一由£口3菖xCR.(I )求函数f (x)的最大值；TT TT(n )若&E 二，,求函数f (x)的单调递增区间. 63【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.【分析】(I )由三角函数公式化简可得 f (x) 当sin (2x+JJ),易得最值；TTTTTTTTTT(n)解2k兀-不2兑+了£2k冗尸不求出函数的递增区间，取 正的 24263即可.【解答】解：(I )由三角函数公式化简可得 式工)二COS1 - cas2z 1 11=sin2x+cos2x=221V22TVsin (2x

25、+；-K)COSK - sl Ji*-2(n)当 2k四一兀k(z时，。整专；当2x-hy2k花+号即"k8冗K+-2时，f (x)递增,'令k=°,且注意到小一元冗 冗，函数f (x)的递增区间为=3 a16 .在某班级举行的 先旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A, B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后， 获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对 A, B问题的

26、概率分别为 二(I )记甲先回答问题 A再回答问题B得分为随机变量 ;求E的分布列和数学期望； (n )你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【分析】(I) E的可能取值为0, 100, 300,分别求出相应的概率，由此能求出E的分布列和数学期望.(II)设先回答问题 B,再回答问题A得分为随机变量 q则刀的可能取值为0,200, 300 .分 别求出相应的概率，由此能求出刀的数学期望，由此能求出应先回答A所得分的期望值较高.【解答】(本小题满分13分)解：(I ) E的可能取值为 0, 100, 300.P(己

27、=0"。产(1 一部 A，P (己=10。珞位*)=1，睚与0。悬斗4Z 4 o第11页(共18页)100300(n )设先回答问题B,再回答问题A得分为随机变量Y,则刀的可能取值为0, 200, 300.p(n =0)=(1-鬲晶P(2二2。0)4。-春P"=300)4y 44 z 3yY的分布列为:Y200300第13页(共18页)E> Er, 应先回答A所得分的期望值较高.17 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，等边4PAD所在的平面与正方形 ABCD所在的平面互 相垂直，。为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2 .(I )求证：POL平面ABCD ;(n )

28、求二面角P-EB -A的余弦值；(出)在线段AB上是否存在点 M ,使线段PM与4PAD所在平面成30。角.若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由.【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法.【分析】(I)根据三线合一得出 AO LAD ,利用面面垂直的性质即可得出AOL平面ABCD;(II)以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面 PBE和平面ABE的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值；(III)假设存在符合条件的点 M (1, x, 0),求出平面PAD的法向量而，则|cosv国，而>|= -77,解方程得出x,根据x的范围判断.【解

29、答】 解：(I );PAD是等边三角形，。为AD的中点， .POLAD , 平面 PAD，平面 ABCD ,平面 PAD n平面 ABCD=AD , PO?平面 PAD, .PO,平面 ABCD .(n )取BC的中点F,底面ABCD是正方形，.,.OFXAD , .PO, OF, AD两两垂直.以。为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则 O (0, 0, 0), P (0, 0,6)，B (1, 2, 0), E ( 1, 1, 0),EP= (1, T, M)，E3= (2, 1, 0), 5?=(0，0, 6) 显然平面EBA的法向量为5p= (0, 0,正).5设

30、平面PBE的法向量为国二(x, v, z),则二FTn*EB=O，令 x=1 ,得品=(1, - 2, -V3) n * QP= 3, 1rJ=2V, |0P|=/3,，cosn, 0P>=二面角P-EB-A为锐角，二面角P-EB-A的余弦值为阵4(出)设在线段AB上存在点M (1, x, 0) (0vx或)使线段PM与平面PAD所在平面成 30。角，平面PAD的法向量为|5?= (0, 2, 0),画=(1cosv叫网l> = I一一一厂 | OF I I PM I 'J 4+在线段AB上存在点,符合题意.时,PM与平面PAD所在平面成30。角.M,当线段一 一 葭而 一

31、 H18.已知函数 f (x) =x2 - lnx .年上(这里e«2718)(I )求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n )设 g (x) =x2- x+t,若函数 h (x) =f (x) - g (x)在恰有两个不同的零点，求实数 t的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线 方程.【分析】(I )求出函数的导数，得到 f' (1)和f (1)的值，代入直线方程即可;(n )问题等价于t=x - lnx在序上恰有两个不同的实根，根据函数的单调性求出的范围即可.【解答】解：（I ）函数定义域为（0,

32、 +8）,f' (x) =2x-,(1) =1,第i5页(共i8页)又f即：等价于-lnx+x - t=0在七上恰有两个不同的实根,等价于t=x - lnx在、, e上恰有两个不同的实根,1 第一令 k (x) =x - lnx,则 k' Cx)=l _ =，当 户,1 )时，kz (x) v 0,k (x)在 e3.1)e递减;当 xC (1, e时，k' (x) >0, .k (x)在(1, e递增,故 kmin (x) =k (1) =1 ,又 kd)/kQ)二已一e e(1) =1,，所求切线方程为y- 1=x - 1,x y=0 ；e上恰有两个不同的零点

33、,)函数 h (x) =f (x) - g (x) = - lnx+x -1 在工kdXk(g),.k 19.已知椭圆E：、+$二1 （a>b>0）的离心率且点L 工-）在椭圆E上.（I ）求椭圆E的方程；（n ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点 （0,卷）.求4AOB d-h（O为坐标原点）面积的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】（I ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a, b,进而得到椭圆方程；（n）设A （x1，y1），B （x2, y2）,讨论直线AB的斜率为0和不为0,联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式

34、和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值.【解答】解：（I ）由已知，eJ="g, a2- b2=c2, a 2,点（1,乌）在椭圆上，.三十”义二1,解得a=2, b=1 . a 4b，椭圆方程为+ 二1；(n )设 A(X1, yi) , B (X2, Y2),. AB的垂直平分线过点(0, -y), .-.AB的斜率k存在. 当直线AB的斜率k=0时，xi= -X2, yi=y2,ii;r=.SAOB=：?2|x|?|y|二|x|?Ji _2J_当且仅当xi2=4-xi2,取得等号区1二士迎时， (S/x AOB)max=i ；当直线 AB的斜率k为时，设l ： y=kx+m (m用).产kx+如今 9 消去y得:LM2+4y=4i i+4k2) x2+8kmx+4m 2 - 4=0 ,由4 >0可得4k2+i >m2，xi+x2=一1+q/ '4m2 - 4xix2=尸，可得l+4k2AB的中