252圆的切线判定与性质课件精编版

1、 2.5.2圆的切线圆的切线 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为r，则： (1) 当当d r时直线和圆直线和圆没有没有公共公共点时点时,叫做直线和圆叫做直线和圆相离相离 .O .切点 A L切线 .O l 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系: 一般的，设O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，则有： （1）直线L和O相交 dr 注明注明:符号符号” “读作读作”等价于等价于”.它表示从左端可以推出右端它表示从左端可以推出右端,并且从右并且从右端也可以推出左端端也可以推出左端. ks5u精品课件 探究： 如图，如图，OA是是O的半径，经过的半径，经过OA

2、的外端点的外端点A，做，做l OA，圆心，圆心O到到 直线直线 l 的距离是多少？的距离是多少？一条直线一条直线 l 和和O有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？ 直线直线 圆心圆心O到直线到直线 的距离等于半的距离等于半OA l 当当d =r时，直线和圆有唯一公共点时直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆叫做直线和圆相切相切,这条直线叫这条直线叫圆的切线圆的切线，这个公共点叫切点这个公共点叫切点 O r A l 由此得出： 切线的判定定理切线的判定定理 ： 经经过半径过半径的的外端外端并且并且垂直垂直于这条于这条半径半径的的直直线线是是圆的切线圆的切线。 切线的判定定理切线的判定定理 ： 经经过

3、半径过半径的的外端外端并且并且垂直垂直于这条于这条半径半径的的直直线线是是圆的切线圆的切线。 几何符号表达：几何符号表达： O r A l OA OA是半径，是半径，OAOAl于于A A l是是O O的切线。的切线。 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） O l O O l A r A 判判 断断 r A r l 利用判定定理时，要注意直线须具备以利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件下两个条

4、件, ,缺一不可缺一不可: : (1)(1)直线经过半径的外端直线经过半径的外端; ; (2)(2)直线与这半径垂直。直线与这半径垂直。 例例1 如图。已知直线如图。已知直线AB经过经过O上的点上的点C，并且，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线求证：直线AB是是O的切线。的切线。 O A C B 1. 如图如图A是是O外的一点，外的一点，AO的延长线交的延长线交O于于C，直线直线AB经过经过O上一点上一点B，且，且ABBC，30. 求证：直线求证：直线AB是是O的切线的切线. BCOA如图如图,如果直线如果直线I是是O的切线的切线,A是切点是切点,那么半径那么半径OA与与L垂直垂直吗吗?

5、 反证法： l 与半径OA不垂直 假设直线 过圆心O做OB l 与点B 又 垂线段最短 OBOA O l A B 圆心O到直线 l 的距离小于半径 l 是O 即直线 与O相交，这与已知直线 l 的切线相矛盾 直线 l OA 如图如图,如果直线如果直线I是是O的切线的切线,A是切点是切点,那么半径那么半径OA与与L垂直垂直吗吗? O 切线的性质定理切线的性质定理: l A B 圆的切线圆的切线垂直垂直于于过切点的半径过切点的半径. 几何符号表示： l 切O于点于点 直线 l OA 切线的定理切线的定理：圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径 因为因为经过一点只有一条直线与已知直线垂

6、直经过一点只有一条直线与已知直线垂直 ，所，所以以经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；经过圆心垂直于切线的直线必经过切点； 反之反之,过切点且垂直于切线的直线也必过圆心过切点且垂直于切线的直线也必过圆心 由此得到切线的性质定理的推论：由此得到切线的性质定理的推论： 推论推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点过切点 推论推论:经过切点且垂直于切线的直经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心线必经过圆心 O. lA 例3 如图，AB是O的直径，C为O上的一点，BD和过点C的切线CD垂直，垂足为D， 求证：BC平分ABDABD C D A O B 例4 已知：如图，AB

7、是O的直径 分l l2 1 别是经过点A,B的切线 A 求证：l 1 l2 l1 O B l2 由此得出切线性质推论： 经过直径两端点的切线互相平行 想一想想一想 判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 切线判定有以下三种方法切线判定有以下三种方法: : 1. 1.利用切线的定义利用切线的定义: :与圆有唯一公共点的直线与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。是圆的切线。 2. 2.利用利用d d与与r r的关系作判断的关系作判断: :当当d dr r时直线是圆时直线是圆的切线。的切线。 3. 3.利用切线的判定定理利用切线的判定定理: :经过半径

8、的外端并且经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。垂直于这条半径的直线是圆的切线。 例例2 已知：已知：O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为为 B 半径作半径作O O。 D 求证：求证：O O与与ACAC相切。相切。 O A E C 小小 结结 例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? B D O O A E A B C C (1) (1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点 , ,则连结这点和则连结这点和圆心圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂直。再

9、证所作半径与这直线垂直。简记为：简记为：有交点有交点, ,连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2) (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线 , ,再证垂线再证垂线段长等于半径长。简记为：段长等于半径长。简记为： 无交点无交点, ,作垂直作垂直, ,证半证半径径。 练练 习习 如图，如图，AOBAOB中，中，OAOAOBOB1010，AOBAOB120120，以，以O O为圆心，为圆心， 5 5为半径的为半径的O O与与OAOA、OBOB相交。相交。 求证：求证：ABAB是是O O的切线

10、。的切线。 O A C B 练 习 如图如图, ,ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB为直径的为直径的O O交边交边BCBC于于P P， A PEACPEAC于于E E。 求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。 证明：连结证明：连结OPOP。 AB=AC,B=CAB=AC,B=C。 OB=OPOB=OP，B=OPBB=OPB， OBP=COBP=C。 OPACOPAC。 PEACPEAC， PEC=90PEC=90 OPE=PEC=90 OPE=PEC=90 PEOPPEOP。 PEPE为为0 0的切线。的切线。 O E B P C 例3 如图如图ABAB是是O O

11、的直径的直径.AE.AE是弦是弦, EF, EF是是O O的切线的切线,E,E是切点是切点,AFEF,AFEF, 垂足为垂足为F,AEF,AE平分平分FABFAB吗吗? ? F E A O B A 例4 ?如图如图CB是是O的切线的切线,C是切点是切点,OB交交O于于D, B30,BD=6cm,求求BC O D B C 练习：练习：如图如图,点点P在在0外，外，PC是是0的切线的切线,切点是切点是C.直线直线PO与与0交于交于A、B,试探求试探求P与与A的数量关系的数量关系. C . O A B P 课堂小结 1. 1. 判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点 直线直线l 与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线是圆的切线 l是圆的切线是圆的切线 l是圆的切线是圆的切线 2. 2. 常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？ 直