第一型曲线积分五

1、636492670.doc Page 16 of 10曲线积分是定积分的推 广，当积分域为空间曲线 或平面上的一条曲线时， 定积分推广为曲线积分。它们是一些物理问题的直 接抽象。§20.1 第一型曲线积分20.1.1. 第一型曲线积分的定义20.1.2. 第一型曲线积分的性质20.1.1,第一型曲线积分的定义1.实例：曲线形构件的质量i),为直线段-定积分设某物体的密度函数f(P)是定y 义在。上的连续函数，求质量？ii).为曲线段时匀质之质量M =f s.分割M1,M2,lll,Mn,T Q(第i小弧段 BM" J M n _1_ p/M iM2 / -Mi 1 A M1

2、一)x)，近似取P亡夏，加i &：f (P)，隙,其中组为Q的弧长引导学生先用定积分写出 直线段的质量.求和取极限M£f(R)g. 精确值一 nm =im： f(p),.(d 二哽：i)2.第一型曲线积分的定义定义1.设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L上的函数，对曲线L作任意分割T,分点为：A=M1,M2,ni,MnMn=B,把L分成n个可求长度的小曲线段Li =Mi JMi (i =1,2,IH,n), Li的弧长记为 餐,记IIT =max也称为分割T的细度，在Li上任取一点(。,北)(i =1,2,HI,n),若有极限nTm0： f( i, i) 6

3、= J且J的值与分割T与点(口,、)的取法无关定义积分四步骤：与定积 分一样，曲线积分是一个 特殊和式的极限，通过“分 割,作乘积，求和，取极限” 得到。20.1.3. 第一型线积分的计算也称为，对弧长的曲线积分则称此极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分,记作L f(x, y)ds弧长微元,被积函数1Lf(x,y)ds 寸积分曲线二 f«,”i) g.i ±积分和式用定义式与元素法来说 明，此几何意义。曲线形构件的质量M当f(x,y)表示Qh的线密度时，M = .f(x,y)ds.推广若L是空间可求长曲线段，类似地，定义 f(x,y,z)在空间曲线L上的第一型曲线 积分

4、为nL f (x,y,z)dsmJ f( ；, i, ；) . s. (2)i =1Ex.仿定义1 ,叙述此定义。z = f (x, y)! f (x,y)ds勺几何意义当f(x,y)表示立于L上的 柱面在点(x, y)处的高时，S柱面面积=jLf (x, y)ds.当f (x,y)三1时，L弧长=ds;函数f (x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分 记为例.判断下列结论是否正确：X1).设C是 x2+y2 =1,则 x2yds =4 1 x2yds, 其中Ci为C在第一象限部分。.).设C是x2 +y2=1,则bx2+y2 Rs=4L(x2+y2 Jds, 其中C1为C在第一象限部分。7)

5、.设C是右半圆周x2 +y2 =1, (x>0),则 Cx2yds =2 C x2 yds,其中G为C在第一象限部分。结合定义式，或几何意义 来讨论。20.1.2, 第一型曲线积分的性质(1),设fi (x, y)ds存在，G 为常数，(i =1,2, , k) k则工Qfi(x, y)ds也存在,且L i 土kkI i Cifi(x,y)ds =、:Cifi(x,y)dsL i 1i 1 L(2)若曲线段L由曲线L1,L2, ,Lk首尾相接而成，且 f f (x, y)ds (i =1,2, k)都存在，则f (x, y)ds也存在，且kL f(x, y)ds 八 L f(x, y)d

6、si 1 i关于第一型曲线积分也和 定积分一样，具有下述一 些重要性质，下面列出平 面上第一型曲线积分的性 质，对于空间第一型曲线 积分的性质，可自行仿次 写出川(3)若 f f (x, y)ds与g(x,y)ds都存在，且在 L 上 f (x,y) Mg(x,y),则f (x,y)ds< g(x,y)ds.(4)若f (x, y)ds存在，则 JJ f (x, y)| ds也存在， 且 | f (x,y)ds < |f (x, y)|ds.(5) 若f (x, y)ds存在L的弧长为s,则存在常 数c,使得 f f (x, y)ds =cs这里 inf f (x, y) <

7、c <sup f (x, y).LL片10中(t),中'(t)在 20.1.3.第一型竺竺31 依范卖. 定王I 20.1设有光滑曲线，L： ：；：(?),0汽响，f(x,y)是定义在L上的连续函数.则Lf(xy)ds = ；f ：(t) , ,- (t) /72(t)-77-2(t)dt.证明分析：来证：Lf(x,y)ds= f ：(t); (t)、F2(t)；FF2(t)dt(1)由曲线积分定义，说明：光滑曲线上的连续 函数的第一型曲线积分存 在.此定理同时给出了第 一型曲线积分的计算公 式.一一化为定积分(这是 第一型线积分的最基本的 计算公式)。幻灯片11nLf(x,y)

8、ds =如,f( ；, ) ：sLIT I %n=那01fo：3)： 2(.i) ： I )%t.,. 中值定理其中 、；2(t)/'2(t)dt = . 2( ；) -，-;2(i)ti, (.,.)=i),' ( .)，t： ；,.i，ti,也二maxt).(2)由定积分定义，1_'f :(t)(t).2(t)*，Qdtn7tm01f ()：()-2(；) =2(.i)，ti,记 n f .(.)，(,J*铲J) ； (J %)7(J t只要证，litm0 c- =0.作图，进行直观讲解.补积 分和式的分割，作积，求和, 取极限过程.幻灯片12: f &t)

9、W(t)底 k, P连续，:有界，即三M0WwhPl有：|f (邛(t)W(t)蜉M又；V取而不严而在h, P lh连续，一致连续， 即/君 A0,前>0,Vt：t"w 卜,日1且” <6,有：J-(t)十钎(ti) -J*曲/飞)| < &.At :二、,时,j诵痴)钝2 6 迹(十口(同&n:二二' M = M ；( F'：工) i 1晒二=0. /特殊情形的曲线方程，先 转化为参数方程，再用公 式即得。幻灯片14=xyds L :椭圆x =acost, i . . 4 y = bsint,(第像限).片注意：计算公式中，131.

10、定积分的下限Ct 一定要小于上限P；2. f(x, y)中x, y不彼此独立,而是相互有关的.特殊情形(1)若曲线方程为Liyix)a <x<b.则b =L f (x,y)ds= f xW(x)、1 +中(x)dx. (a <b)(2)若曲线方程为L:x=9(y)c<y<d.则d 2L f(x,y)ds= ( f 9(y),y 1 +中(y)dy. (c <d)ji解 I = 02 a coSt bsint (-asint)2，(bcost)2dt=ab jsintcost a2sin2t b2 coJ tdt=2ab2 f u2du(令u =寸 a2sin

11、2t +b2 co-t)a - b bab(a2 ab b2).3(a b)解法1由计算公式一一化 为定积分，解法2由积分变 量的不独立性(它们满足 曲线方程)，与积分的几何 意义。幻灯片例2设L是半圆周x=acost，, 0<t<n .15y=asint计算：(x2 +y2)ds .P.200例 1解法1： 1(x2+y2)ds=广(acost)2 +(asint)21/(-asint)2 +(acost)2dt=a31t =na3.解法 2:l上:x2 + y2 = a2(x2 +y2)ds =a2ds =na3.片162322y2 2=2 3 14= 4(2 2 -1) 30

12、幻灯片17推广：空间曲线设空间曲线L上的第一型曲线积分：x = (t) L:$y=*t), z = (t)tWU, P.函数平(t),中(t), ?(t)连续可导，则对L上的 连续函数f(x,y,z),有z f(x,y,z)Lz ox a(这是第一型线积分的最 基本的计算公式)Lf(xy,z)ds幻灯片18解法由计算公式。=：f (t) ,- (t) , (t):2(t) -1- 2(t) - 2(t)dt例 4 求 I = jjxyzds,其中 ：x=acos1, y=asin,z=ki 的一段.(0_i_2二)2 222解 I = 。 a cos t1 sin t1 k > a k

13、di=-1 Jika2Ja2 +k2.2片19例 5 求I = x2ds,P201 例 3,2222其中L为圆周"/：。.解由对称性，知x2ds =l y2ds = lz2ds.解法，由对称性(积分曲 线方程关于坐标的轮换对 称性)，与曲线积分的几何 意义。1222故 I - (x y z )ds32=a ds =3 L.(2na = ds,球面大圆周长)幻灯片20P. 201习题 1.计算(1) jj工4 一¥)小，其中L是以。(0.0). A(L0)巾(山1)为顶点的三角股;由定义或元素法，来介绍(2) (3)的推导过程。幻灯片物理意义21(1)当f(x,y)表示C上的

14、线密度时，M = * (x,y)ds;(2)曲线弧对x轴及y轴的转动惯量，I X = x2 fds,I y = L y2 用S(3)曲线弧的重心坐标xisyisx = , y 二 一p .Rds Ads片22思考题对弧长的曲线积分的定义中戾i的符号可能为负吗？1思考题解答&i的符号永远为正，它表示弧段的长度练习题： P201-202.1(6),3,5幻灯片25PJ01习题 1.计算理d一其中I是曲线卫二3号冷汽”的一段;解J到tds=胪J1 +2/十产亚Jo J 上=£ P tl(l +5 J。164n143幻灯片26P.初习趣工髅糯工.-如M 承球瓢航.：髭；沦豳栓解前提示

15、 工蠲写出圆冏L的参数方程是关博，解L为圆柱2/+ £2=a2与工=3相交的圆冏-其参数方程为j -1y-祭诒工，工=i2ms"0«ir)，v 2=a Va2sin£ + a2«Mfdr Jo片27P. 201习题.3.求攘缓尸时一叫的重心.t 3=E 1 1 4 COS/ /设其质量分布是均匀的.解 因 ds = /a2(l - cwt)2 + rt2in2tdf = Iosin yd；,M ±2u幽stn= 4o/.重心坐标设为fl, G) .则7=表| pa i - sin； )2« sin y匚f isin dt -y I4壮工,血口彳已亡2 w 上幻灯片28焉 I (ta ( ' uos/ ) - 2siti df=f sinfdr-l£ J(i 24sin 与 -Nin -y 卜宜二w- 3故重心型标为信严丁幻灯片29P.201习题 5.证明若函数在光滑曲线L； £=工（力，¥ =N/）三%3上连续，则存在点.使得，¥）d-Lf（工0。达3 1L其中AL为L的弧长，提示