一次函数与三角形面积

1、.一次函数相关的面积问题思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。1、求直线 y = -2x +4 ，y = 2x -4 及 y 轴围成的三角形的面积。2、已知正比例函数y = 2x 与一次函数 y = x +2 相交于点 P，则在 x 上是否存在一点A ，使 SPOA=4?若存在，求出点有坐标；若

2、不存在，请说明理由。3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M 点，交 x 轴于点 N（ -6，0），已知点 M在第二象限，其横坐标为-4，若 SNOM=15，求正比例函数的解析式。yMNOx4、如图，直线 l1 的解析表达式为y=-3x+3，且 l1 与 x 轴交于点 D ，直线 l 2 经过点 A，B ，直线 l1 ，l 2 交于点 C l1yl 2（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 l 2的解析表达式；OD 3x3（4，0）（3）求 ADC 的面积；A2BC（4）在直线 l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ，使得图 11;. ADP 与 ADC 的面积相等，请直接 写出点 P

3、 的坐标15、如图，直线 L 的解析表达式为y = -x +2，且与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B，在 y 轴上有一点 C（0，4），动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动。（1）求 A 、B 两点的坐标；（2） COM的面积 S 与 M的移动时间 t 之间的函数关系式；（3）当何值时 COM AOB，并求出此时 M点的坐标。yCBOAxM一次函数（动态问题）举一反三： 如图（十二），直线 l 的解析式为 y=-x+4，它与 x 轴、 y 轴分别相交于A、 B 两点平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方形以每秒1 个单位长度的速度运动，它与x

4、 轴、 y 轴分别相交于 M 、N 两点，设运动时间为t 秒（ 0t 4）（ 1）求 A、B 两点的坐标；（ 2）用含 t 的代数式表示 MON 的面积 S1 ；（ 3）以 MN 为对角线作矩形OMPN ，记 MPN 和 OAB 重合部分的面积为S2 ，当 2t 4 时，试探究 S2 与 t 之间lyly的 函 数关系式；BmBmE P值 时 ，在直线 m 的运动过程中， 当 t 为何NNPPFS2 为 OAB 面积的5 ？OMAxOMAx16图十二;.【答案】解（ 1）当 x=0 时， y=4；当 y=0 时， x=4 A(4，0)，（B 0，4）；（ 2）MN AB， OMOA1， OMO

5、N t， S11 OMON1 t 2 ；ONOB22（ 3）当 2t 4 时，易知点 P 在 OAB 的外面，则点 P 的坐标为 (t， t) ,F 点的坐标满足xt，即 F (t，4t ) ，同理 E(4t， t) ，则PFPEt (4- t ) 2t 4， 所以yt，4S2 SMPNS PEFS OMNS PEF1 t 21 PEPF1 t 21( 2t 4)( 2t 4)3 t 28t 8 ；22222当 0t 2时， S21212514550，t25 2，两个都不合题意，t ， t164，解得 t12222舍去；当 2t 4 时， S23 t28t85，解得 t33，t 47，223综

6、上得，当 t7或 t3 时， S2 为 OAB 的面积的5 316模仿操练： 如图，直线 yx4 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（ A.B 两点除外），过 M 分别作 MC OA 于点 C，MD OB 于 D（ 1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（ 2）当点 M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（ 3 ）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为a（0 a 4)，正方形 OCMD 与 AOB 重叠部分的面积为S试求 S 与 a 的函数

7、关系式并画出该函数的图象6、在ABC 中，CRt, AC4cm, BC5cm, 点 D 在 BC 上，且以 CD 3cm, 现有两个动点P、 Q分别从点A 和点 B 同时出发，其中点P 以 1cm/s 的速度，沿AC 向终点 C 移动；点Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动。过点P 作 PE BC 交 AD 于点 E，连结 EQ。设动点运动时间为x 秒。;.（ 1）用含 x 的代数式表示AE 、DE 的长度；（ 2）当点 Q 在 BD （不包括点B、 D）上移动时，设EDQ 的面积为 y(cm2 ) ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 3）当

8、x 为何值时，EDQ 为直角三角形。APEBQDC7、如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4 3) ，点 B 在 x 正半轴上，且 ABO 30动点 P 在线段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒 3 个单位的速度运动，设运动时间为t 秒在 x 轴上取两点M，N 作等边 PMN （ 1）求直线 AB 的解析式；（ 2）求等边 PMN 的边长（用 t 的代数式表示） ，并求出当等边 PMN 的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t 的值；（ 3）如果取 OB 的中点 D ，以 OD 为边在 Rt AOB 内部作如图 2 所示的矩形 ODCE ，点 C 在线段 AB上设等边 PMN 和矩形

9、 ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当0 t 2 秒时 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值yyAPACEMO NBxODBx（图 1）（图 2）;.8、两块完全相同的直角三角板ABC 和 DEF 如图 1 所示放置，点C、 F 重合，且BC、DF 在一条直线上，其中 AC=DF =4，BC=EF=3 固定 Rt ABC 不动，让 Rt DEF 沿 CB 向左平移，直到点F 和点 B 重合为止设FC =x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y（ 1）如图 2，求当 x= 1 时， y 的值是多少？2（ 2）如图 3，当点 E 移动到 AB 上时，求 x、 y 的值；（ 3）求 y 与

10、 x 之间的函数关系式；9、（重庆课改卷）如图1 所示，一张三角形纸片ABC ， ACB=90,AC=8,BC=6. 沿斜边 AB 的中线 CD 把这张纸片剪成AC1D1 和BC2 D2 两个三角形 （如图 2 所示） .将纸片AC1D1 沿直线 D 2 B（ AB ）方向平移（点 A, D1, D2 , B 始终在同一直线上） ，当点 D1 于点 B 重合时，停止平移.在平移过程中，C1 D1 与 BC2交于点 E, AC1 与 C2 D2、BC 2 分别交于点F、P.（ 1）当AC1D1 平移到如图3 所示的位置时，猜想图中的D1E 与 D2 F 的数量关系，并证明你的猜想；（ 2）设平移

11、距离D 2 D1 为 x ，AC1D1 与BC2 D 2 重叠部分面积为y ，请写出 y 与 x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；;.（ 3）对于（ 2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原ABC 面积的 1 ？若不存在，CC1 C24C2请说明理由 .C1PFEADB AD1D2BA D2D1B图 1图 2图 3A10、已知：如图， ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点P、 Q 同时从 A 、 B 两点出发，分别沿 AB 、 BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时， P、Q 两点停止运动设点 P 的运动时间为 t（ s），解答下

12、列问题：（ 1）当 t 为何值时， PBQ 是直角三角形 ?（ 2）设四边形 APQC 的面积为 y（cm2 ），求 y 与 t 的关系式；是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是t 值；不存在，说明理由；PBQCABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的;.三角形面积与函数解析式的几种题型一、利用面积求解析式1、直线 y2xb 与坐标轴围成的三角形的面积是9, 则 b =_.（分类讨论）2、已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，直线 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把 , AOB的面积分为 2： l 两部分，求直线 名的解析式3、如图 ,

13、已知直线PA： y xn(n 0) 与 x 轴交于 A, 与 y 轴交于 Q,另一条直线 y2x m(m n)与 x轴交于 B, 与直线PA交于 P求 : (1)A,B,Q,P四点的坐标 ( 用 m 或 n 表示 )5, 求两个函数的解析式 .(2) 若 AB=2,且 S 四边形 PQOB=64、已知直线yx2 与 x 轴、 y 轴分别交于A 点和 B 点，另一条直线ykxb (k0) 经过点 C (1,0) ，且把AOB 分成两部分（ 1）若AOB 被分成的两部分面积相等，则k 和 b 的值（ 2）若AOB 被分成的两部分面积比为1： 5，则 k 和 b 的值;.5、已知一次函数 y3 x

14、3的图象与 y 轴、 x 轴分别交于点 A、 B，直线 y kx b 经过 OA 上的三分之2一点 D，且交 x 轴的负半轴于点C，如果 S AOBS DOC ，求直线 y kx b 的解析式二、利用解析式求面积1、直线 ykxb过点 A（ 1， 5）和点 B(m, 5) 且平行于直线yx ， O 为坐标原点，求AOB 的面积 .2、 如图，所示，一次函数ykxb 的图像经过A ， B 两点，与 x 轴交于 C求：（ 1）一次函数的解析式；（ 2）AOC 的面积3、已知 : 直线 y2x4 与直线 yx3 , 它们的交点C的坐标是 _, 设两直线与x 轴分别交于 A,B,则 S ABC=_,设

15、两直线与 y 轴交于 P,Q, 则 S PCQ=_.4、一次函数 y1 k1 x4 与正比例函数 y2k2 x 的图象都经过 (2,-1),则这两个函数的图象与x 轴围成的三角形面积是 _.5、已知，直线y=2x+3 与直线 y=-2x-1.(1) 求两直线交点 C的坐标 ;(2) 求 ABC的面积 .(3) 在直线 BC上能否找到点 P, 使得 SAPC=6，若能，请求出点 P 的坐标，若不能请说明理由。;.6、如图，直线y -43x+4 与 y 轴交于点 A，与直线 y 4 x+ 4 交于点 B，且直线 y 4 x+ 4 与 x 轴交于点5555C，求 ABC的面积。ABCO7、已知直线y

16、kx b 经过点 A （ 0， 6），且平行于直线 y2 x .（ 1）求该函数的解析式，并画出它的图象；（ 2）如果这条直线经过点 P（ m， 2），求 m的值；（ 3）若 O为坐标原点，求直线 OP解析式；（ 4）求直线ykxb 和直线 OP与坐标轴所围成的图形的面积。三、关于面积的函数关系1、已知点 A （ x， y）在第一象限内，且x+y=10 ，点 B（ 4， 0）， OAB 的面积为S.（ 1）求 S 与 x 的函数关系式，直接写出x 的取值范围，并画出函数的图像；（ 2） OAB 的面积为6 时，求 A 点的坐标；2、如图，直线ykx6 与 x 轴、 y 轴分别交于点E、F，点

17、E 的坐标为（ -8，0），点 A 的坐标为（ -6，0）。（ 1）求 k 的值；（ 2）若点 P（ x ， y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出OPA 的面积 S与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；;.（ 3）探究：当点P 运动到什么位置时，OPA 的面积为 278，并说明理由。yFEoAx4、如图 (1), 在矩形 ABCD中 ,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发 , 沿 AB CD路线运动 ,到 D停止 ; 点 Q从 D出发 , 沿 DCBA路线运动 , 到 A停止. 若点 P、点 Q同时出发 , 点 P的速度为 1cm/s,

18、点 Q的速度为 2cm/s,as时点 P、点 Q 同时改变速度 , 点 P 的速度变为 bcm/s, 点 Q的速度变为 dcm/s . 图 (2) 是点 P 出发 x 秒后 APD的面积 S1(cm2) 与 x(s)的函数关系图象 ; 图 (3)是点 Q出发 x 秒后 AQD的面积 S2(cm2) 与 x(s)的函数关系图象 .(1)参照图 (2), 求 a、 b 及图 (2)中 c 的值 ;(2)求 d 的值 ;(3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm), 点 Q到 A 还需走的路程为y2 (cm), 请分别写出动点P、 Q改变速度后 y1、 y2 与出发后的运动时间x(s) 的函数关系式 , 并求出 P、 Q 相遇时 x 的值 ;(4)当点 Q出发 _s 时 , 点 P、点 Q在运动路线上相距的路程为25cm.D QCS1(cm2)S2(cm2)404020A PBOa 8c x( 秒)Ox( 秒)(2)22(1)(3)8如图，直线 l 1过 A （ 0， 2），B（ 2，0）两点，直线 l 2 ： ymx b 过点（ 1，0），且把 AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角