2018版高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.2古典概型试题理北师大版

1、第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 古典概型试题 理 北师大版基础知识自主学习基础知识自主学习U知识梳理-1.基本事件的特点(1) 任何两个基本事件是互斥的;(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1) 试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果;(2) 每一个试验结果出现的可能性相 _3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个1m基本事件的概率都是 孑 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A) = -4 古典概型的概率公式p

2、A事件A包含的可能结果数P(A)=试验的所有可能结果数-【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(X)(2) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(X)(3) 从市场上出售的标准为500 土 5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型.(X)(4) 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能1性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为；(V)3(5) 从 1,2,3,4,5中任取

3、出两个不同的数，其和为5 的概率是 02(V)(6) 在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,且集合A中的元素个数为-所有的2基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m则事件A的概率为-.(V)m3概率为 10 = 5.5.(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为答案56解析掷两个骰子一次，向上的点数共 6X6- 36(种)可能的结果，其中点数相冋的结果共有6 个,65所以点数不同的概率P= 1-=.6X66考点自测1.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（1A.21B.31C.41D.6答案 B解析基本事件的总数为 6,构

4、成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为2,所以所求概率P=2 16=3,故选 B.2 . （2016 北京）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（A.5B.58C.25答案 B解析 从甲、乙等 5 名学生中随机选 2 人共有 10 种情况，甲被选中有 4 种情况，则甲被选中42的概率为不1053. （2015 课标全国I）如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数, 从 1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为答案解析1B.-5C.11D.1020从 1,2,3,4,5

5、 中任取3 个不同的数共有 C1 * 3 * 5= 10（个）不同的结果，其中勾股数只有一组,4题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一 基本事件与古典概型的判断例 1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x,y)表示结果，其中x表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数，y表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数试写出：1试验的基本事件；2事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件；3事件“出现点数相等”包含的基本事件.(2)袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从 中摸出一个球.1有多

6、少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？2若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)这个试验的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3) ,(1,4)(2,1),(2,2),(2,3) ,(2,4)(3,1),(3,2),(3,3) ,(3,4)(4,1),(4,2),(4,3) ,(4,4)2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1.3), (1,4) ,(2,2) , (2,3) , (2,4),(3,1) , (3,2) , (3,3),(3.4), (4,1) ,(

7、4,2) , (4,3) , (4,4).3事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1),(2,2) ,(3,3) , (4,4).(2)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法.5又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球”，B： “摸 到黑球”，C:“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为石，而白球有 5 个，5故一次摸球摸到白球的可能性为讦显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为

8、划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.思维升华一个试验是否为古典概型， 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点一一有限 性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.心喋匚 1%：下列试验中，古典概型的个数为（）1向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；2向正方形ABC呐，任意抛掷一点P,点P恰与点C重合；3从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2 的概率；4在线段0,5上任取一点，求此点小于 2 的概率.A. 0 B . 1 C . 2 D . 3答案 B解析 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件, 所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概

9、型；符合古典概型的特点，是古典概型.题型二古典概型的求法例 2 （1）（2015 广东）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，则所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）（2015 江苏）袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 _ .我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列同理可知摸到黑球、红球的可能性均为1151

10、0A.21 B. 21 C.1121 D .6中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为 _751答案B(2)6(3)他解析从袋中任取 2 个球共有 C25= 105(种)取法，其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 CcCi=(2)基本事件共有 C4= 6(种),设取出两只球颜色不同为事件A,A包含的基本事件有 CC+ CC = 5(种).5故P(A) = 6.(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A= 120,满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水

11、属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有c5d= 10(种)可能，所以事件A出现的概率10120引申探究1本例(2)中，若将 4 个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4 的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.解 基本事件数仍为 6.设标号和为奇数为事件 A,则A包含的基本事件为(1,2) ,(1,4) ,(2,3),(3,4) ，共 4 种，42所以 R 耳=6=亍2 .本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率. 解 基本事件数为C4C4=16，颜色相同的事件数为 dC+dc2= 6，63所求概率为 16=.思维升华求古典

12、概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具 体应用时可根据需要灵活选择.跟踪训练倉(1)(2016 全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()50(种)取法，所以所取的球恰好1 个白球 1 个红球的概率为50 _ 10105_2181A.3B.答案 C解析 从 4 种颜色的花中任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有（红黄）,（白紫） ） ,（白紫），（红黄）,

13、（红白），（黄紫）,（黄紫），（红白）,（红紫），（黄白） ） ,（黄白），（红紫）,共 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有 （ （红黄），（白紫） ） ,4（白紫），（红黄）,（红白），（黄紫）,（黄紫），（红白），共 4 种，故所求概率为F= 6= 23，故选 C.3（2） 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.1求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；2求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解 由题意知，（a,b, c）所有的可能

14、为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c” 为事件A,则事件A包括（1,1,2）, （1,2,3） , （2,1,3），共 3 种.31所以R耳=27= 9

15、.1因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为9.设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括（1,1,1） , （2,2,2）,(3,3,3)，共 3 种.3所以F(E) = 1 P(B) = 1-27因此，“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为题型三古典概型与统计的综合应用例 3 （2015 安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50 名职工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：40,50） , 50,60），80,90） , 90,100.9（1）求频率分布直方图中a的值

16、；估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；从评分在40,60）的受访职工中，随机抽取2 人，求此 2 人的评分都在40,50）的概率.解 （1）因为（0.004 +a+ 0.018 + 0.022x2+ 0.028）x10= 1，所以a= 0.006.由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于80 的频率为（0.022 + 0.018）x10=0.4 ,所以该企业职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为 04受访职工中评分在50,60）的有 50 x0.006x10= 3（人），记为A, A,A;受访职工中评分在40,50）的有 50 x0.004x10= 2（人），记为

17、B, R,从这 5 名受访职工中随机抽取2 人，所有可能的结果共有10 种，它们是A, A, A,A3,A,B , A, B, A, A, A,B , A, B , A,B , A, B , B, B 又因为所1 抽取 2人的评分都在40,50）的结果有 1 种，即B, B,故所求的概率为P=石.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考 查的热点概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎 叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，贝吐匕类问题即可解决.跟踪训练 3 海关对同时从A,BC三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测

18、，从各地区 进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取 6 件样品进行检测.地区ABC数量50150100（1）求这 6 件样品中来自A,B,C各地区商品的数量；（2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.解（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是6 150 + 150+ 100= 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是11150 x =1,150 x =3,100 x =2.50505010所以A B, C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.（2）设 6 件来自A B, C三个

19、地区的样品分别为A;B,R,B?；C,G.则从 6 件样品中抽取的这2 件商品构成的所有基本事件为 A, Bi , A,B, A,R,C,A,C2,Bi, B ,B,B3,B,C,B,C2,B,B,B,C,B,C2,Ci, B3,C2 , C,C2,共 1 5 个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件 D: “抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有B,B,B3, B2,B3 , G,C2,共 4 个所以审题路线图系列六审细节更完善典例（1 2 分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1 ,2,3,4.（1 ）从袋中随机取两个球

20、，求取出的球的编号之和不大于4 的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求nm2 的概率.（1 ）基本事件为取两个球J（两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示）把取两个球的所有结果列举出来1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4J两球编号之和不大于 4（注意：和不大于 4 ,应为小于 4 或等于 4）1,2 , 1,3J利用古典概型概率公式求解A,B3,B ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为415.4P(D)=后,11（2）两球分两次取，且有放回J（两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示21

21、2基本事件的总数可用列举法表示(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)J(注意细节，m是第一个球的编号，n是第 2 个球的编nm+ 2 的情况较多，计算复杂J(将复杂问题转化为简单问题)计算n2 的概率nm 2 的所有情况为(1,3) , (1,4) , (2,4)1注意细节,R=屠是nmVr2 的概率，需转化为其对立事件的概率规范解答解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2 , 1,3 , 1,4,2,3 , 2,4 , 3

22、,4,共 6 个.从袋中取出的球的编号之和不大于4 的事件有1,2 , 1,3,2 1共 2 个因此所求事件的概率P= =-.4 分63(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n,其一切可能的结果有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1),(3,2), (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4),共 16 个 6 分又满足条件nm 2 的事件为(1,3) , (1,4) , (2,4),共 3 个，所以满足条

23、件nm2 的事件的概率为R=2.1分16故满足条件nm 2 的事件的概率为313八1-P=1-亦=二乔12分n0,所以f(x)在 R 上递增，若f(x)在1,2上有零点，f1=1+a-bw0,则需经验证有(1,2) , (1,4) , (1,8) , (2,4) , (2,8) , (2,12),f /= 8 + 2a-b0,(3,4), (3,8) , (3,12) , (4,8) , (4,12)，共 11 对满足条件，而总的情况有 16 种,1611故所求概率为.5 .有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互同的结果，由于是随

24、机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的设事件A为“取出球8亓故选 D.的行与列的取法共有C C= 6（种），所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.7从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（)1A.亦1 1 1B. 8 C. 6D.5答案D解析如图所示，从正六边形ABCDE的 6 个顶点中随机选 4 个顶点，可以看作随机选 2 个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A B,A、C, A D,A、EA、F,BC, B、D, B E,B、F,C D, C E,C F,DE,D F,E F,共 15 种若要构成矩形，只要选相对顶点即不相同的

25、概率为（)5218A.：B 匚C. - D.217321答案D解析从编号分别为1,2,3,4,5 的 5 个红球和5 个黑球中随机取出4 个，有 Cw = 210（种）不的编号互不相同”，贝U事件A包含了 C5CCC=80（个）基本事件，所以P（A）=802106 .如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i=1,2,3j= 1,2,3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是ana12a13xa21a22a231a32a33.y4B.713D弔答案 D解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C9= 84（种），因为取出的三个数分别位于不)17可，有A D,B E,C F,共 3

26、种，故其概率为8._若A B为互斥事件，RA) = 0.4 ,P(A+B) = 0.7，贝 UP(B) =_ .答案 0.3解析因为A、B为互斥事件，所以RA+B) =RA) +P(B),故P(B =RA+E) P(A) = 0.7 0.4 = 0.3.9.(2016 成都模拟)如右图的茎叶图是甲、 乙两人在4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 _.答案 0.3解析依题意，记题中的被污损数字为X,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8 + 9+ 2 + 1) (5 + 3+x+ 5) 7,即此时x的可能取值是 7,8,9，因此甲的平均成绩不超

27、过乙的平均成绩的概率3P=矿0310.10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 _1答案 2解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 C0种取法，取到 1 件次品的取法为CC7种，由古典概型概率计算公式得RCC33X351P=莎210 2.11 .设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n,令平面向量a= (m n) ,b= (1 , 3).(1) 求事件“a丄b”发生的概率；(2) 求事件a| |b| ”发生的概率.解(1)由题意知，me 1,2,3,4,5,6,n 1,234,5,6，故(m n)所有可能的取法共36种.因为a丄b,所以m 3n

28、= 0,即卩 m= 3n,有(3,1) , (6,2)，共 2 种，2 1所以事件a丄b发生的概率为= =7；.3618182 2由 |a| |b|，得m+nw10,19112.袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为-,现有甲、乙两人从袋 中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球 时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求取球 2 次即终止的概率；(3) 求甲取到白球的概率.解(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取 2 个球都是白球的结果数为止，从袋中任取 2 个球的所有可能的结果数为C21由题意知从袋中任取 2 球都是白球的概率P=C?=-则n(n 1) = 6,解得n= 3(舍去n= 2)，即袋中原有 3 个白球.(2)设事件A为“取球 2 次即终止”.取球 2 次即终止，