带积分边界条件的二阶非线性边值问题的正解

1、Pure Mathematics 理论数学.2014.4,57-63Hans汉斯http:/ dx doi orQLO L2677/pm 20L4 41009 Published Online January 204(http:八vww haapub org purnal/pm btml)Positive Solutions for Second-Order Nonlinear BoundaryValue Problems with Integral Boundary ConditionsJian Liu. Hanying FengDepartment of Basic Courses, Sh

2、ijiazhuang Mechanical Engineering College, ShijiazhuangEmail gannil990l63comReceived: Dec. 31： 2013; revised: Jan 9* 2014; accepted: Jan 15* 2014CopTight 2014 Jian Liu. Hanying Feng This is an open access article distrbuted under the Creathr Commons Attnbution License, which periats unrestneted use.

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4、ns as a guardian.Abstract: In this article, a second-ord er nonlinear boundary value problem with, integral boundary conditions is investigated By calculating, the Greens function for boundary value problem subject to homogeneous boundary conditions and its properties are given. By using the fixed p

5、oint theory in cones, the existence results for at least one positive solution for the problem are established when/is superlinear or sublinear.Keywords: Positive Solution, Integral Boundary Condition, Fixed Point Theory带积分边界条件的二阶非线性边值问题的正解刘健，封汉潁石家圧机械工程学院基础部石家圧Eimil fian_lni 1990 163 com收稿日期：2013年12

6、月31 0：修冋日期：2014年1月9日；录用日期：2014年1月15日摘 要：研究一类带积分边界条件的二阶非线性边值问题，通过计算给出齐次边界条件下边值问题的 格林函数及性质。利用锥上的不动点定理，得到了当/满足超线性或次线性时边值问题正解的存在性 结果。关fit词：iE解；枳分边界条件；不动点定理1.引言在物理学、生物学和工程实践等领域中，许多问题都可以扌H象为常微分方程边值问题进行研究。近年，非 线性常微分方程边值问题正解存在性及多解性成为一个重要研究领域，特别是对二阶非线性常微分方程边值问 题的研尢已有许多丰硕的成果【口。文献3利用不动点指数定理，研尢了一类二阶三点非线性常微分方程边值

7、问题，获得了正解存在性的结果；文 献4利用锥上的不动点定理研兜了一类非线性二阶常微分方程积分边值问题，得到J边值问题正解存在的充分条件。受此启发，本文研允以下二阶非线性边值问题正解的存在性：- x(f) - (r) = /j(f)/(r,x(r),0 / O,0e(0,n/2),7e(0,1), heC(0,l-(0,-wo), f e C(0,lx(0,+oo)-0,-wo), a,be C0,l为正。在适当 条件下，运用锥上的不动点定理研究边值问题一个正解的存在性.下而给出证明本文结果所用的工具：引理1.115-61:设K UE为Banach空间E中的一个锥，第是E中的有界开集，令 4：k

8、CI(C2cJtk是一个全连续算子使得1) 当“我门壮,有M“卜制及当ueKdQ.,有|则绯|卜或者2) 当“eKCiaQi，有|A|/|/|及当ueKdQ.,有简匕前。则A在KClQjCj)中有一个不动点。2.预备知识和引理首先，介绍有关槪念和引理引理2丄对于以下边值问题G(/,5)为格林函数:-x*(/)-2-t(r)=P(/),0/l, x(0)=0, x(l) =&(),其解 A(/) = |( G(/,s)p(5)ds,r e 0,1，sLa0(l-s) + 5sm.0(s-77)sin. 0/,Qtsrj,=0(sui0-5sui0；7)sui0(1 - $)sui0人(21丿an

9、.0ssin/?(l-/) + Jsinpssin0(fstsrjy ts.r/s,an.0$sui0(l-/) + /sin.0sin.0(/-), 7 5/ 0, Jcosprj -cos/? 0 :(Hj SLH0(l_)_5sin0 0, an Pa - J an0, Jt 中 aw (0.1/2) 引理2.2：存在一个连续函数:0,1 T 0严)和一个常数(0,1使得:1) 若(HJ成立,对于任意(r,s)e0,lx0,l.有0o(r,5)0成立。接下來给出连续函数($)和常数7令g(s) = s(l-s), H(/9s) = g(s)-G(f,s).先给出格林函数的匕界。只需证存在

10、“0使H(r,s)血0, H(/,$)川0, Me0,1情形1： se0,对。如果$=0,则有G(t9s) = 0,g(s) = 09结矗成立。如果5e(0,7则0(sin 0_ n 一(1 一 ) (sin 0 _ 5 sin. 0“)0f/(1一$)OPEN ACCESS#刘健.封汉颖I带枳分边界条件的二阶非线性边值问题的止解OPEN ACCESS#刘健.封汉颖I带枳分边界条件的二阶非线性边值问题的止解u0(D(l-7)(sia 0_6sia 的)因此对八“ x q ； a、我们有(M)Pf0o(l-7)(sin 0_5sin pr)sLn0(l-/) + 6an0(f-)sm0$(l +

11、 5)sin0(l-s)sui0s0(sm0-jsin 0”)(1 +J)sin 0(1-s) sin /3s7)az aa. a“)_“$( 7)0(sm0-6sLn077)(1一3)(l + $)sm0(l-)(sin. 0-Jan Prj)(l-T)情形2： 5e7Uo如果“1,则有G(M)= O,g(j)=O,结论成立。如果$如)则同情形1易得知如分别 使 H(U)血 0,H (t,s)jSl 2 0 成立.取“ =“，对(G-r)e0,lx0,l,有 二0 ,相应地“g(s)nG(f,s)。设。($) =则 G(/,j) (5), r,5 e0,1同理,可证存在“二0使H(G5)ji

12、z 0, H 0, (r,3)e a,l- ax 0,1.由此即得格林函数下界.取0 v “ S nun“$“q 心“如，对 “有 H (“) 以下边值问题-十- 0，x(/) = p(f),O vf 1,证明：设工是边值问题U.2)OPEN ACCESS59刘健.封汉颖I带枳分边界条件的二阶非线性边值问题的止解OPEN ACCESS#刘健.封汉颖I带枳分边界条件的二阶非线性边值问题的止解的一个解.则边值问题(2.2丿等价于(24丿设亍二C|cos0/ + C2sm0/。由边界条件得到代入(2.4)易得证引理成立。定义辅助函数(M)= | l-tanfflCS/?Jc0S/?7 k/(5)+

13、竺也一b(s). 0sS】+竺b()9 0/,5 1 .C0,l为实Banach空间，英范数定义卜卜sup |.v(r)|。锥xe C0: x(/)20八0,1 (2.5)(Hj a.be C(0,0K)使辅助函数0(人$)满足OS? = mm0(/,$) 0/,5 1 A/ := max(人$)】0 /,5 1| 1(26)定义线性算子S C01tCO川(27丿引理24：线性算子S有界，S(P)UP另外，S可|(/-S)-，|y-L-.证明：1)由S的立义得其线性，由(2.6八2.7丿知对VxeCO,l有|(Sx)卜J；0(/,$)|x(s)|d$S M |卜|,这即证明 了其有界性。2)

14、因为对V乍eO,l有旳,$)亠0,故对V.veP有(Sx)20,因此S(F)uP3) 由(2.6)与(2.7)知对 V.r C0,l有卜丫卜册汹)卜席“心)卜($)血“卜1卜lb由此&出l|s|SM 1, /-s可逆。对 re 04,当且仅当 x(t)=y(t)+(Sx)(t) ttf x(t) = (/-S)1 y(t) S 的定义表明x(=)，+ J：0(/异)x)ds(2.8)由M1知1不为孩0(人$)的特征值，故(2.8)对任意连续函数y有唯一解x逐次代入得x(/)二 y+ J；H,s)y($)d$(2.9)预解核 H (/,$) =U，$), 0 S /,$ S1,札(/,$) =

15、0(f)，A ，$) = J； 0(y )0“(G$)d r,(j = 2,3,)./-I|(M)|/n亦可得到/(M).11_M1-wi因此由(2.8) (2.9)有(/-Sy(/)=y(f) + J；H(f,$)y(s)d$(2.10)所以我们得到|(/7)“)，(*艸)|+吕4；心)(占卜|。如下定义算子A.KIP(2.11)(Ax)(/) =(7x)(r)+J H (/,x)(7x)(5)dj(7k)(f) = J；G(/,s)/i(s”(s,x(s)ds则边值问题(11)正解的存在性问题等价于K中算子A不动点的存在性及个数问题。3主要结果下而给出主要结果及英证明。 定义：/0=lun

16、supZ(, Aim inf 也：人mf 如：/-Lunsup 仝2mtO诚Uu*ut 试u定理3.1：假设(HjrHs丿成立则边值问题(11淮和几=8(超线性丿或=00和宀 X次线性丿时至 少存在一个正解。(31)(3.2)Ax(r)= f*G(G5)A(j)/(s,x(j)dj+JoIA/(z,5)G(5,t)/i(r)/(r,A(r)drd5, t e 0,1由引理22及引理2.4可得0Zk2L|Av|,这说明AK u K。从而易证A.KK全连续。电21-zn111首先考虑超线性情形：/=0, L=a)a因为= 0,选取H, 0使对任意t,u e 0,lx(0,/J,有/(/,“) S刃

17、,梵中& 0满足：占仙(讪唇1因此,如果xeK且卜卜绚,由(3.2)和(3.4)有山(f)s 詁討;e($)M$”i：$，H$)ds(5)A(5)X(5)d5占氏心卜dN (34丿(3.5)取&卜|耳,（3.5）表明(3.6)|Ar|0使当（r,u）ea,l-ax/f,-K）,有/（/,“）王p“，其中q0的选取满足（）他艸）2(3.7)xeE.l川V 。则对于X K且卜|二日2有f ea,l-a 故对/eaj-al 有山二占抽(sM(s)/(s,x(s)ds7P1 一 m(s)h(s)x(s)ds，晋呻5（讪訓故有|Av|.v|,xe/CAdQ,（3.8）根据定理1.1的第一部分知A有一个不

18、动点Ze/cn（n,Q1）也是边值问题（1.1丿的正解。接着.我们考虔次线性情形：/0=8和广=0。OPEN ACCESS63刘健.封汉颖I带枳分边界条件的二阶非线性边值问题的止解(3.9)(310)(32)(3.13)因为人=8 首先选取他0使当(f,)ea-ax0,H3，有/(M)h6f 中o 0满足 :丁了)胆力】(1-加)对于xeK 且|.v|= H3,由(3.9),对/ea,l-a有A)n 土万 J；e(s)/】(s)y(s,x($)ds工21耳纠肌朴心皿环II(1-加)因此取QJ=xe |.v|x|, xeKPlOj因为 s 则存在片0使当uH,有z o英中u满足希胆(讪艸s】考虑两种情形：1)若f有界,即对VxeO,g),有/(/,x)SN。在该情形下选取/ umaxpH?，丁冷J；(s)力(s)ds使对于 Pxe K 及卜|=比,N心OJ因此，|AH|n|o2)若/无界，选取巧=max方丄巧使/(/,x)/(r,/4), 0x/4 对 xeK 及 |.v| = H4,由(3.2)、(3.11)和(3,(心($，仏)山S笆汀(讪(s)dsSH严卜|,呵0,1即得冏I邙卜因此 从两方而均可取Q4-.teE,| v|/4使得|Aj| |.r|,