第五章大数定律及中心极限定理

1、第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理1 1 大数定律大数定律2 2 中心极限定理中心极限定理退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理1 1 大数定律大数定律大数定律的定义大数定律的定义切比晓夫大数定律切比晓夫大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理问题：问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？次数足够多，

2、总可以达到要求的精度？我们把这问题给出数学表达：我们把这问题给出数学表达：,nn 次次测测量量误误差差为为第第 就就是是一一个个独独立立同同分分布布，则则n 的的随随机机变变量量序序列列。均均值值为为 0,nnaXn 次次测测量量值值就就是是第第 的的随随机机变变量量序序列列。就就是是均均值值为为 aXn这里反映了什么样的客观统计规律呢？这里反映了什么样的客观统计规律呢？,a如果工件的真值为如果工件的真值为退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理即大量测量值的算术平均值具有稳定性。即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。这就是大数定律所阐述的。次次

3、的的平平均均测测量量值值充充分分大大时时，当当nn)(11nXXnX 很很接接近近。应应该该和和真真值值 a测量的经验就是：测量的经验就是：退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定义定义1, 1|lim aYPnn若对任意若对任意是是一一个个常常数数；是是随随机机变变量量序序列列，设设aYYn,1，有，有0 , 0|lim aYPnn或或记记为为依依概概率率收收敛敛于于则则称称,1aYYn. aYPn想想：想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。收敛性的区别。一、定义一、定义退 出前一页后一页目 录第五章

4、 大数定律及中心极限定理服服从从大大数数定定律律。则则称称nX, 011 PnnkkaXn即即,11 nkknEXna其中其中, 111lim11 nkknkknEXnXnP定义定义2是是随随机机变变量量序序列列，设设nXX ,1对任意对任意有有,0 , 011lim11 nkknkknEXnXnP或或1 大数定律退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理).,(),(bagYXgPnn则则定理定理1，若若aXPn. bYPn连连续续，在在点点函函数数),(),(bayxg回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。退 出前一页后一页

5、目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定理定理2 2（契比雪夫契比雪夫大数大数定律定律） 且具有相同的数学且具有相同的数学期望及方差，期望及方差，相相互互独独立立，设设随随机机变变量量nXX ,1, 2 , 1,2 kDXEXkk 有有即即对对任任意意的的0 , 1|1|lim1 nkknXnP. 0|1|lim1 nkknXnP或或,服服从从大大数数定定律律则则nX)(大大数数定定律律Chebyshev退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由切比晓夫不等式得：由切比晓夫不等式得：|1|1 nkkXnP0|1|1 nkkXnPn时，时，当当证：证： nkk

6、EXn1)(1 nkkXnE1)1( nkn1)(1 nkkDXn12)(1 nkkXnD1)1( nkn122)(1 n2 22 n 22/| XP思考：思考：能否把定理中独立性条件减弱？能否把定理中独立性条件减弱？退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理定理定理3（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律大数定律)发生的次数，发生的次数，重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件为为设设AnnA发发生生的的概概率率，是是事事件件Ap, 1|lim pnnPAn. 0|lim pnnPAn或或证：证：令令., 2 , 1,0, 1nkAkAkXk 不发生不发生次

7、试验中次试验中，第，第发生，发生，次试验中次试验中第第有有则则：对对任任意意的的0 1 大数定律退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理由定理由定理2有有, 1|1|lim1 pXnPniin. 1|lim pnnPAn即即该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。，则则： nkkAXn1.,1分分布布相相互互独独立立同同服服从从于于两两点点nXX, 2 , 1)1(nkppDXpEXkk ，且且1 大数定律退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理注：注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。贝努里大数定律是辛

8、钦大数定律的特殊情况。, 2 , 1nkEXk ， 定理定理4（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）. 1|1|lim1 niinXnP相相互互独独立立同同分分布布，设设随随机机变变量量nXX ,1且具有数学期望且具有数学期望有有则则：对对任任意意的的0 思考：思考：比较辛钦大数定律与比较辛钦大数定律与切比晓夫切比晓夫大数定律条件的大数定律条件的 差别及强弱。差别及强弱。退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理2 2 中心极限定理中心极限定理定义定义独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛德莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理用频率估计概率时误差

9、的估计用频率估计概率时误差的估计退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理一、定义一、定义)(21lim22xdtexZPxtnn 有有若若对对任任意意1Rx 且且独立的随机变量序列，独立的随机变量序列，设设,1nXX存存在在，令令：kkDXEX,/ )(111 nkknkknkknDXEXXZ服服从从中中心心极极限限定定理理。则则称称nX.)1 , 0(,分布分布近似服从近似服从较大时较大时即当即当NZnn退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理定理1 （独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）), 2 , 1( ,

10、 02 kDXEXkk ，lim1xnnXPnkkn ).(2122xdtext 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。是统计学中处理大样本时的重要工具。二、中心极限定理二、中心极限定理序序列列，且且独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量设设,1nXX即即：服服从从中中心心极极限限定定理理则则,nX退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理定理2 （李雅普诺夫定理）（李雅普诺夫定理），相互独立，且相互独立，且设设), 2 , 1( , 0,21 kDXEXXXkkkkn 0|1 1

11、22 nkkknXEBn 时，时，使得当使得当(Liapunov定理定理)，若存在正数若存在正数设设 ,122 nkknB则则 服从中心极限定理，即：服从中心极限定理，即：nX/ )(lim121xXPnkkknkkn xtdte2221 ).(x 退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理由定理由定理1有结论成立。有结论成立。定理定理3（德莫佛（德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）),10(), 2 , 1)(,( pnpnBn 设设随随机机变变量量 xtnkkndtexnnXP21221lim (De Moivre-Laplace)limxnpqnpPnn 证明：证明：由二项分

12、布和两点分布的关系知由二项分布和两点分布的关系知 nkknX1, 其中其中 相互独立且都服从于两点分布，且相互独立且都服从于两点分布，且nXX,1pqDXpEXkk ，).(x xtdte2221 2 中心极限定理有有若若对对任任意意1Rx 退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理推论：推论：baPn 说明：说明：这个公式给出了这个公式给出了n 较大时二项分布的概率较大时二项分布的概率 计算方法。计算方法。 npqnpbnpqnpnpqnpaPn )()(npqnpanpqnpb )(limxxnpqnpPnn ),10(), 2 , 1)(,( pnpnBn 设

13、随机变量设随机变量充充分分大大时时，有有则则当当n退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例例1 车间有车间有200台车床，它们独立地工作着，开台车床，它们独立地工作着，开工率为工率为0.6,开工时耗电各为开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保的概率保证这个车间正常生产。证这个车间正常生产。设至少要供给这个车间设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以千瓦电才能以99.9%的概的概率保证这个车间正常生产。由题意有率保证这个车间正常生产。由题意有解：解： 记某时刻工作着的车床数为记某

14、时刻工作着的车床数为 X， 则则 X B(200,0.6).999. 0 rXP退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理)32.17()48120( r即供给即供给141千瓦电就能以千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车的概率保证这个车间正常生产。间正常生产。, 1 . 348120-r 查表得查表得141.r 所以所以rXP 而而baPn )()(npqnpanpqnpb )4 . 06 . 02006 . 0200()4 . 06 . 02006 . 0200( r)48120( r ,999. 0 退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理用频率

15、估计概率时误差的估计：用频率估计概率时误差的估计：由上面的定理知由上面的定理知 nnpPn pnPn pqnnpqnppqnPn 用这个关系式可解决许多计算问题。用这个关系式可解决许多计算问题。 pqnpqn )(limxxnpqnpPnn 12 pqn 退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理第一类问题是第一类问题是，求求概概率率已已知知 , pn; pnPn第二类问题第二类问题是是的的概概率率的的差差异异不不大大于于定定数数与与要要使使 pnn, 不不小小于于预预先先给给定定的的数数问最少应做多少次试验？问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的这时只需

16、求满足下式的最小的 n, 12pqn第三类问题第三类问题是是., 求求，及及已已知知pn pnPn12 pqn 退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例例2 今从良种率为今从良种率为1/6的种子中任取的种子中任取6000粒，问能粒，问能以以0.99的概率保证在这的概率保证在这6000粒种子中良种所占的粒种子中良种所占的比例与比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？粒数在哪个范围内？解：解：，设设良良种种数数为为 X，则则应应有有：设设不不超超过过的的界界限限为为 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理

17、),(pnBX则则99. 061-6000P X. 6/1,6000 pn其其中中退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理 61-6000P X故近似地有故近似地有,99. 016/56/1600060002 .6/1,6000 pn)(limxxnpqnpPnn 6/56/1600060006/56/160006/16000P X 6/56/1600060006/56/160006000 16/56/1600060002 退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理,995. 06/56/160006000 即即,58. 26/56/160006000

18、 查查表表得得.0124. 0 解解得得良种粒数良种粒数X的范围为的范围为,6000)0124. 06/1(6000)0124. 06/1( X.1075925 X即即 61-6000X退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例例3 系统由系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。个部件正常工作，求系统正常工作的概率。解：解：由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有 15XP.952. 0359 . 0

19、1 . 01001 . 010015 9 . 01 . 01001 . 0100159 . 01 . 01001 . 0100XP.15 X则则 XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当则整个系统能正常工作当且仅当设设X是损坏的部件数，是损坏的部件数，退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理例例4 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压，个噪声电压，)20, 2 , 1( kVk 201kkVV105 VP 387. 0)12/10(20100-VP348. 0)387. 0(1 解：解： 12/1020520-10512/1020520-22VP设它们是互相

20、独立的随机变量，且都在区间设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上上服从均匀分布，记服从均匀分布，记 的近似值。的近似值。求求105 VP2 中心极限定理, 5 kEV),20, 2 , 1( k,12/102 kDV退 出前一页后一页目 录 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为千克，标准差为5千千克。若用最大载重量为克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于障不超载的概率大于0.977。例例5解：解： 设最多可装设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于箱，保障不超载的概率大于0.977。., 1niXii 千克，千克，箱重量为箱重量为第第977. 050001 niiXP且且niDXEXii, 1,25,50 则则由中心