九年级数学竞赛辅助圆辅导教学案

1、九年级数学竞赛辅助圆辅导教学案【例题求解】【例 1】如图，直线 AB 和 Ac 与Oo 分别相切于 B、c, P 为圆上一点， P 到 AB Ac 的距离分别为 4c、 6c,那么 P 到 Bc 的距离为.思路点拨连 DF, EF,寻找PDPE PF 之间的关系， 证 明厶 PDFAPFE,而发现 P、D B、F 与 P、E、c、F 分别共 圆，突破角是解题的关键.注：圆具有丰富的性质：圆的对称性；等圆或同圆中不同名称量的转化；与圆相关的角；圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆， 就为圆的丰富性质的运用创造 了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可 谓“图中无圆，心中有圆”.例 2】

2、如图，若 PA=PB / APB=2/ AcB, Ac 与 PB 交于 点P,且 PB=4, PD=3 贝 AD?Dc 等于A. 6B. 7c. 12D. 16思路点拨作出以 P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交 弦定理的应用创设了条件.注：至 L 个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利 用圆的定义添辅助圆的最基本方法.【例 3】如图，在 ABc 中，AB=Ac 任意延长 cA 到 P， 再延长 AB 到 Q,使 AP=BQ 求证： ABc 的外心 o 与 A P， Q 四点共圆.思路点拨先作出厶 ABc 的外心 o,连 Po、oQ,将问题转 化为证明角相等.【例 4】如图，P 是Oo

3、外一点，PA 切Oo 于 A, PBc 是Oo 的割线，AD 丄 Po 于 D.求证：.思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定 PBD 与 PcD 相似证明.PA2=PDPo=PB?Pc, B、c、o、D 共 圆，这样连 oB,就得多对相似三角形，以此达到证明的目的.注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要 的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重 要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的 条件集中或转移，而且可直接运.用圆的性质为解题服务.【例 5】 如图， 在 ABc中， 高 BE、 cF相交于 H,且/ BHc=135,GABc 内的一点，且 G

4、B=GcZBGc= 3/A 连结 HG 求证：HG 平分ZBHF.思路点拨经计算可得ZA=45, ABE BFH 皆为等腰 直角三角形，只需证ZGHBZGHF=22.5.由ZBGc=3/ A=135 =ZGHc,得 B、G H、c 四点共圆， 运用圆中角转化灵活的特点证明.注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.学力训练.如图，正方形 ABcD 的中心为 0,面积为 1989c2 , P 为 正方形内一点，且/ oPB=45, PA PB=5: 14,则 PB 的长 为.如图，在 ABc 中，AB=Ac=2 Bc 边上有 100 个不同 的点Pl、P2,P

5、100,记，则=.设 ABc 三边上的高分别为 AD BE、cF,且其垂心 H 不与任一顶点重合，则由点 A、B、c、D E、F、H 中某四点 可以确定的圆共有A. 3 个 B. 4 个 c. 5 个 D. 6 个 4.女口图，已知 oA=oB=oc, 且/ AoB=ZBoc,则/ AcB 是/ BAc 的A.倍 B.是倍 c. D.如图，在等腰梯形 ABcD 中，AB/ cD, AB=998, cD=1001,AD=1999,点 P 在线段 AD 上，满足条件的/ BPc=90的点 P 的个数为A. 0B. 1c. 21D.不小于 3 的整数 6.如图，AD BE 是 锐角三角形的两条高，SAABc=18, SADEc=2 贝 U coSc 等于A. 3B.c. D.如图；已知 H 是厶 ABc 三条高的交点，连结 DF, DE,EF,求证：H 是厶 DEF 的内心.如图，已知 ABc 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD 丄 AB, TE 丄 Ac.求证：/ AHD=/ AHE 9 .如图，已知在凸四边形 ABcDE 中，/BAE=3 Bc=cD=DE 且/ BcD=ZcDE=求证：/ BAc=/cAD=ZDA0.如图，P 是Oo 外一点，PA 和 PB 是Oo 的切线，A, B 为切点，Po 与 AB 交于点，过任作Oo 的弦 cD.求