椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式4..

1、目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式1引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的 ，在变分过程中增加了未知函数导 数的阶数.反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函，使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说，变分法最终寻求的是极值函数，它

2、们使得泛函取得 极大或极小值变分原理在物理学中，尤其是力学中有着广泛运用，如著名的虚功原理、极 小位能原理、余能原理和哈密顿原理等，几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以 表达在当代变分已成为有限元法的理论基础，是求解边值问题的强力工具2椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：(k v)= f, (x, y) G, (1.2)u = G ,其中丨是边界,G是平面区域k 二 k (x, y) c1(G ), min . 0,G定义：(I)f E L2(I), f u L2(I)2i =(a,b) (klu)/(k:x?)+(krx:y在解决第一边值问题的变分形式的过程中5 三

3、 C(G),匚 _0, f L2(G ), g C G ),我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式，再运用虚功原理建立等价的变分形式为此我们需要考虑如下结果：极小位能原理，虚功原理,格林第一公式.格林第一公式:G是xy平面上的一有界区域，其边界-为分段的光滑曲线，n为曲线:的单位外法向量，-是u沿n的方向导数，则有-：u : v;：ur - )dxdy-vds.:y ;yn(2.1.3)一 .：u 二 f (x, y), (x, y) G,U = 0,(2.1.4)1定义：J(u) a(u,u) -( f ,u).2一 2 .2其中厶是Laplace算符-.ex2cy22 极小

4、位能原理：设uC (G)是边值问题(2.1.3), (2.1.4)的解，则u*使J(u)达到极小，反之，若u* C2(G)nH0(G)使J(u)达到极小，则u*是边值问题(2.1.3)，( 2.1.4)的解.虚功原理： 设uC2(G)，则u满足(2.1.3)，( 2.1.4)的充要条件是：u壬hE且对于任意VhE满足变分方程，a(u,v) -( f, v) =0.2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理(1)极小位能原理：设uoC2(G)为一特定函数，u=g令v=uuo，则得到(2.1)，( 2.2)的等价问题:u (k、v)亠'v = F = f 厶(k 0)-利0v|0构造v的二次

5、泛函J讪内 W 外,1 2W内(_'、(k，v) v - v )dxdy2 GW外二-! IFvdxdyG1 2J(-(k'v)v ；v -2Fv)dxdy2 G1 (-'、(k，v) ；v,v) -(F, v).在C2中,2(F,v)二 FvdxdyG1J (- i (ki v) ；v, v) -(F, v)21 1 2 (ki v)vdxdy v dxdy 11Fvdxdy.2 G2 GG、(ki v)vdxdyG一 v 一 v (k ) (k ) vdxdy if if I I尸.rmtG |x:-x:-y:y.k :v2vk :vv k vG | x :x: x

6、: y :y.I k :v:k :vvv dxdy -(一G :x :x : y :y| G : x2vv k 2 v dxdy:y；：2v ；：2vTkv 2kv)dxdy .运用格林第一公式“ ck cvck cvvV v 11nrv rvG | x :x:y :y| :v 2:v,.r/Gv ckv cv £kv、i i . dv ,vdxdy1G£WRdxdy*mkvdsu :V ；u :V令a(u,v)二 k()dxdyy 亠 11- uvdxdy.G ex Sx cy cyGA1则 J(v) a(v,u) -(F, v).2下面回到原问题1J a(v,v)-(F

7、,v)2k(二2 g _：x-fG -1 :U、2rrIS、2uJUo、2 , ,1、2 ,0) k(o) dxdy(u-u°)dxdyx:y:y2 gPo-'uo(k o) (k-)- -uo (u-u°)dxdy:x:x:y:y-0)dxdy 亠 11' u dxdy y寿g七 H k(A)2+kF)2dxdy+"kU .2g0G <x ex-J7°uuodxdy - JJ fudxdy -|(7°) dxdy.GGG-依据极小位能原理:Av* =v*(x)是下列变分问题的解，J(v*) = mi nJ(v).变分问题

8、表述为：求 u* 二 H E 使 J (v*)二 min J (v).v田E(H E是所有满足非齐次边值(2.2)的函数类构成 H 1(1 )的子空间)2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的 v H E ,有a(u,v) -(f, v) = 0.证明：以v乘(2.1)的两端并在G上积分，得L、. (k、v)v cv - Fv dxdyGvv(k)(k)vdxdy - FvdxdyG ILjx :x:yyG:k :v :k : vvv v dxdy - ( 2G : x ；x ； y : y| G :xu ；:v；:u ；:v ,kvf1 kv) dxdy - JJ FvdxdyG=JJ

9、|k(+ dxdy+ "cruvdxdy- FvdxdyG 泳 dxdydy二a(u,v) -(f,v).原问题的变分问题变为:求u , UC2hE，满足变分方程 a(u,v)-(F,v) =0,对任意的v HE.3椭圆型方程的第二边值问题在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时，我们考虑如下模型 poisson方程.我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poiss on方程第二边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形式.就poisson方程:(3.1.1)- v = f (x, y),(x, y) G.G是xy平面上的一有界区域，其边界-为分段的光滑曲线，n为曲线】的单位外

10、法向量.在】上u满足第二边值条件：n3.1建立第二边值条件的极小位能原理取一特定函数 u° 三 C2 (u) ,=., 令 V = U u0，则一 = 0.3ndn(3.1.2)3.1.1)，( 3.1.2)的等价问题,:v.:n(3.1.2)(3.1.3)构造二次泛函J二内亠W外,其中，W外二 Fvdxdy,GI i(r：v)vd x d yG所以，J(v) =W内 W外1(r v)vdxdy 亠 11 Fvdxdy2 GG1(-：v,v) -(F,v)21(v,v) -(F,v)211 (洱2 G L x.| 3 2 儿匚)+ G _ xdv 2+ ()2 dxdy:y:v 2(

11、一 )dxdy:y1 2av ds iiFvd xdy2 ： u丨 u :U0；：u :U0-Hr +dxdy + u :x :x: y :y12-1 auu0ds - fudxdy -：u0udxdy 常数1 au2ds2 :u. . I :. u :u0: u ：u0 Iu=J (u)- dxdy0ds -：u°udxdy 吊数.u 卫 ex£y gyf £nu其中，J(u)=出岂J(u) 飞dxd帘ds。昨.先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到(又由格林第一公式知道Ilu0udxdy =u. .丨：u ;:Uouh.:U ;:Uoydxdy

12、- Q)ds r(3.1.6)原问题的变分问题的变分形式为：求 u* H E(u)，使得 J(u*)二 min J(u)J(u) = 2 口 |竺型 + 凹凹 hdy " fudxdy.2 g & <xcy cy3.2建立第二边值条件的虚功原理1对任意的 V He,有 a(u, V)-( f ,v) = 0以v乘(1.1)的两端并在G上积分，得| | (匚u)v - fv dxdy = 0,( 3.2.1)G利用公式(1.2.3)及关于u,v的边值条件()()得.:uu :v ；u :vu ,(-：u)vdxdy=()dxdy vdsGG :x :x :y : y:n“

13、 ；:u :v ;:u :：v、,11 ()dxdy.G : x : x : y : y定义双线性形式： cu cv cu cv , a(u,v) = . . ()dxdyG Sx exdy cy则(3.2.1)写成 a(u,v) -( f ,v) =0.设 u C2(G),v HE，则由(3.1.6)得到，a(u,v)-( f ,v) =( _ ：u - f )vdxdy,G则原问题的变分问题的变分形式还可以表述为：求 u，u C2(G) hE，对任意 v HE,a(u,v) -(f, v) = 0.4椭圆型方程的第三边值问题：在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时，我们考虑如下模型 poi

14、sson方程.我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson方程第三边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形就 poisson方程-'u = f（x, y）,（x,y） G.（4.1.1）uG是xy平面上的一有界区域，其边界丨为分段的光滑曲线，n为曲线丨的单位外法向量，是u沿n点n的方向导数.在】上u满足第三边值条件:uu = -： _ 0（ 4.1.2）ineVV=uu0，贝U一+ av=0,点n4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理取一特定函数u0C2（u），昱u0 =:，令cn'则得到（3.3,1），（ 3,3,2）的等价问题(4.1.3)；：V；:n1

15、所以,J(v)(- v,v) -(F,v)1= 2(v,v)-(F,v)冷已22 G _ ：xeV)22 G _ "1(4.1.4)2()2:y2()2:y1 2 dxdy + av ds "Fvdxdy2t u：u ：u° 生辿 d I x : x :y ； ydxdy - “uxdy - au2ds2 'auu0ds 11 fudxdy -u0udxdy 常数2 '= J(U)uu二驚 壮氐八（碁心 5厂常数一公式和极小位能原理建立poisson方程第三边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形一公式和极小位能原理建立poisson方程第

16、三边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形其中,'u讥J(u)=s讥：:y ：yxdy.隽:)ds I I、u0udxdyua盘 盘又由格林第一公式知道-u0udxdy卫u -uuu Lx :x :y :yudxdy - f ()ds.y cn原问题的变分问题的变分形式为：1求 u* ：=HE(u)，使得 J(u*) = min J(u)J(u)m： dxdy+； gfdxdy JJ fudxdy jBuds2 G空泳词词2yuY4.2建立第三边值条件等价的虚功原理依据虚功原理，对任意的 V hE ,有,a(u, v) 一( f ,v) =0证明：以v乘(4.1.1)的两端并在

17、G上积分，得I I ( lu)v - fv dxdy = 0(4.2.1)G利用公式(1.2.3)及关于u,v的边值条件(4.1.2)得1 i(r u)vdxdy二G：()dxdyvdsG :x :x :y :y:n(4.1.3)：()dxdy:uvds-G :x :x :y :y定义双线性形式：_u ;v ；:u ;vua(u,v) -()dxdy亠 i(u)vdsG ex ex £y cyp cn则(4.2.1)写成，a(u,v) -( f ,v) =0：u:n心 u)vds.设 u，C2(G),V hE，则由(4.1.3)得到a(u,v) -(f ,v) ： i i(- u -

18、 f )vdxdy亠 i( gr边值问题的另一变分形式是：求u U，对任意的v U ,使a(u, v) =( f ,v).结束语经过两个多月的努力， 论文终于完成 在整个设计过程中， 出现过很多的难题， 但都在老师和同学的 帮助下顺利解决了， 在不断的学习过程中我体会到：写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对变分问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识，我体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。总之，通过毕业设计，我深刻体会到要做好一个完整的事情，需要有系统的思维方式和方法，对待要解 决的问题，要耐

19、心、要善于运用已有的资源来充实自己。同时我也深刻的认识到，在对待一个新事物时，一定要从整体考虑，完成一步之后再作下一步，这样才能更加有效参考文献1 李荣华偏微分方程的数值解法M北京.高等教育出版社，2010.11:P1-223 文川强数学分析M.广西广西民族出版社，2006:P125在本文完成之际，无论我的论文是否能够真的运用，这里面每一个公式的书写，每一行语句的修改，每 一段文本的输入之中都有我辛勤的汗水。半年的设计时间虽然短暂，我却从中学到了很多的东西。我由衷地 感谢关怀、教诲、帮助、支持和鼓励我完成学业的老师、朋友和亲人。特别感谢我的导师张现强老师，这小半年来他在学习、科研上一直对我悉心指导，严格要求、热情鼓励，为 我创造了很多锻炼提高的机会。张老师洞察全局、高屋建瓴，为我的论文的顺利完成指岀了很好的方向，张 老师渊博的知识、宽广无私的胸怀、夜以继日的工作态度、对事业的执著追求、诲人不倦的教师风范和对问 题的敏锐观察力，都将使我