概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4

1、第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用；表示，经过一段时间的考察，知；的分布律如下：LP00.710.120.130.1n012p0.50.30.2试比较两台车床的优劣。解：因为 E =0 0.7+1 0.1+2 0.1+3 0.1=0.6;E =0 0.5+1 0.3+2 0.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。2. 连续型随机变量'的概率密度为f (x) = *kxa0又知E =0.75，求k, a之值。0 : x : 1其它(k,a 0)解：首先由密度函数性质知二：f (x)dx h,亡xf (x)dx

2、= 0.75,即 Ukxa 1dx =1,即 _kxadx =1, . k 1 亠a +1；k 0.75 a 2£-1023P求 E 匕 E(3t-2)，1/8Eif, E(1-©21/4。3/81/4又E =0.75，即有由上述两式可求得k=3, a=2。3.已知随机变量'的分布律为解：E =(-1) (1/8)+0 (1/4)+2 (3/8)+3 (1/4)=11/8;2 2 2 2 2E =(-1)(1/8)+0(1/4)+2(3/8)+3(1/4)=31/8;尹 2222_E(1-勺=(1-(-1) x(1/8)+(1-0)龙(1/4)+(1-2)工(3/8

3、)+(1-3)疋(1/4)=17/8 或者， E(1- )2=E(1-2 + 2)=1- (E2 )+E 2=17/8。f(X)=e*24.若的概率密度为2 。求(1)E，(2)E 2。严'dx2 -! dx中因e-xi为偶函数，x为奇函数，故xe-|x|为奇函数，且积分区该积分又绝对收敛，事实上E ： =1 ©xe解：(1)间关于原点对称，x|f(x)dx= _二一 |x |e*dx = 0 xedx =丨(2) =1 ：E =0。E5.轮船横向摇摆的随机振幅2f(x)dx=；伶纭= 0化x2e飞=(3)=2! = 2。的概率密度为x2f (x)二 Axe 灯0x兰0求(1

4、)确定系数A； (2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？1二 A =2a2x2解：(i)由密度函数性质知(x)dx =1,即 _；Axe 2；'dx =1,f(x) =*xe0,x2x 0.二 _. _xf(x)dx = 0 "x-eCjx2 22 二 dx = _xex22?x20 一 0匚5x2x2x 一2/42 e 2； dx 二e 2二；.-e丁26. 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度 '为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：91011p0.30.50.2n67p0.40.6试求 E( + ), E( )。解：因为 E

5、 =9 0.3+10 0.5+11 0.2=9.9 , E =6 0.4+7 0.6=6.6, E( + )=E +E =9.9+6.6=16.5;和为两个相互独立的，因此有 EC )=E E =9.9 6.6=65.34。7.已知(，)的联合概率密度为f4xyf (x,y)二 00 ： x : 1其它试求 E( 2+ 2)。解: E( 2+ 2)= m(x2 y2)f (xyxdy0 0(8. 一民航送客车载有 20位旅客自机场开出，旅客有2y )4xydxdy =1。10个车站可以下车，如到达一个 车站没有旅客下车就不停车。 以 表示停车的次数，求E (设每位旅客在各个车站下车是等 可能的

6、，并设各旅客是否下车是相互独立的)。：0,在第i站没有人下车，解：引入随机变量1,在第i站有人下车.易知， =12* 10，现在求E '由题设，任一游客在第i站不下车的概率为 9/10，因此，20位游客都不在第i站下车的 概率为(9/10)20，在第i站下车的概率为1-(9/10)20。也就是P i=0=(9/10) 20， P i=1=1-(9/10) 20(i "2 ,10)，因此， E©=1-(9/10) 20( i =1,2，10)。故 e =E =E( 1；0)= E 1 E ； E 10 =10 (1-(9/10)20) = 8.784(次)9.圆的直径

7、用度量，而且在a，b上服从均匀分布， 试求圆的周长和圆的面积的数 学期望和方差。解：由于服从a，b上的均匀分布，因此的分布密度为1一”Jif (x)=b -a0,其它而圆的周长L=吨 圆的面积Af¥/4,故有a咗x弐b,E©=(b+a)/2,D =(b_a)2 /12.EL=E(二)=：E =：(a b)/ 2，2 2DL = D(二)=2D =二(ba)/12 ；d .,2 二 b 21二 222 Ea x dx (a ab b )EA=：2/4=44 a b-a 12，11432 234dx (a ba b a ba b ) 54 X b -a2Jt1622 E(:呼)

8、；(a2 +ab+b2)2DA = EA-(EA)= 4122兀 1 /4 丄3 丄一2234.(a ba b a ba b )-=16 51442"i222(b -a)2(4a2 7ab 4b2)72010.设随机变量'，相互独立，其概率密度分别为：，因此2E 4 一 二(a2 ab b2)2 1442(a2 ab b2)2xf gx) = «2 - x0试求 EC )，D( + )。0乞x空11 ： x _ 2其它fn( y)= “eyy _ 0其它E - _ _xf (x)dx = 0 x2dx j x(2 - x)dx = 1-_ .x2 f (x)dx 二

9、 0 x3dx ：x2 (2 -x)dx = 7/ 6解：因为E 2:=VE = _-yf (y)dx = 0 ye dy =1，E2 = fy2 f讯y)dx = 0层y2edy = 2，又与是独立的，故有E)=E，E =1 1=1 ；D( +)=D +D =E 2 -(E )2 E 2 (E )2 =7/6-1 2-1 =7/6。 11.设随机变量与 相互独立，且 E =E =0，D =D =1，求E( + )2。 解：E( + )2= E( 2+2 + 2)= E，2+2E)+E 2，又 与 相互独立，因此 E(5= EXE"，而 dC=E. -(E匸 E2 =北+律)2 ,E

10、 2 二 D (E )2E( + )2=E( 2+2 + 2)= E 2+2 E E +E 2=D (E )2+2 e e +D (E )2=1+仁2。12.若连续型随机变量的概率密度是同理故有ax2 bx c0 x ： 1其它10且已知 E =0.5，D =0.15，求系数 a, b , c 。解：因为 J：f(x)dx=1，即有 Rax2 +bx+c)dx = 1,即 a/3 + b/2+c=1 又 E=0.5，故.0x(ax2 +bx +c)dx =0.5,即又 E =0.5，D =0.15，因而 E 2=0.4，因此0x2(ax2 bx c)dx=0.4,即a/4 b/3 c/2 =0

11、.5a/5 b/4 c/3 二 0.4解、组成的方程组，解得a=12，b=-12，c=3。13.设随机变量有分布函数F (x)=0,求 E(2 +1)，D(4 )。解：先求的分布密度函数f (x)览dx(x)0,二xf(x)dx =0严x3 »xdx =(-xe »x) |严x_0,其它.1e |产 ，=亡x2 f(x)dx=rx2Ae»xdx=D2 -(E J2 码因此。从而有2 1 2E(2 +1)=2E + 仁，D(4 )=16D ='。1614.解:证明：当k=E 时，E( -k)2的值最小，且最小值为D。E( -k)2=E( -E )+(E -k

12、)f= E( -E )2+2E( -E )(E -k)+E(E -k)2=E(巴E+E(E：-k)2=D ® E(E：k)2启 D :。E 时，E( -k)2取得最小值 D。如果与相互独立，不求出C )的分布，直接用的分布和的分布能否计算出即当k=15.Df )，怎样计算？解：因为与 相互独立，故 D)=E)2- EC )2= E( 2 2)-(E 'E )2 =丘血巧-伍竽伍巧2。16. 一台仪器有10个独立工作的元件组成，每一个元件发生故障的概率为 生故障的元件数的方差。0.1,试求发解:易知，17.0,在第i个元件不发生故障，J,在第i个元件发生故障.=1210， D

13、i =0.1 (1-0.1) =0.09，故=D( 1210) = D 1 D 2 D 10 =10 0.09 =0.9。设随机变量服从瑞利(Rayleigh)分布，其概率密度为_i引入随机变量x2上尹二 2e0(二 0)-hoE 匕=f xf (x Jtix =解：-：:x22x22：二-2右-xe 2U-Ld0-beE 2 =. x2f x dx = x2-: 02x2h dx: 2-.-e dx0x2e 噫=、2-e 宙 2xdx-一 x2 严_2cj2 e 2分=2cr2= -10D 二E 2 E 2 =2；-22 =42二 2 2 。18. 若1,2,3为相互独立的随机变量，且E =

14、9, E 2 =20, E 3 = 12E 2 =83, E 2 =401, E 2 二 148试求：-2 25 3的数学期望和方差。解：E二E( 1 -2 25 3) =E 1 2E 2 5E 3 =9 2 20 5 12 =29E 2 =E( 12 25 3)2=E 12 4E 2 25E ； - E 1 E 2 10E 1 E 3 - 20E ： E 3 =83 4 401 25 148 -4 9 20 10 9 12 -20 20 12 =947 故D =E 2 -(E )2 =947 292 =106 o-101n-1013/82/83/8p.j3/82/83/8Pl卩产pi. p.

15、j, (i,j=1,2,3)故与 不独立。19. 设二维随机变量(，)的联合分布律为n-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8计算宀，并判断与是否独立。 证明：由题得，)的边际分布律各为匕3323E 八 xp. =(-1)010,y888十吐323e yjP.j 十 1)010,j 壬888E="" xi y j pij =0,i jCov( , ) =E( ) -E( ) E( ) =0 -0 0 =0，即与不相关。20. 设二维随机变量(，)的联合概率密度为：I1x2+y1f(x,y):0其它试验证和是不相关的，但和 并不相互独立。解：先求 f

16、 (x),f (y):X "公22JI1d2.J_x20,其它.2 1 - y2,JI0,其它.同理 显然，f(x, y)pf(x)f (y)，故与 不独立。12 f%?卫-y2dy =0.7111 x2Cov(©“)=E(旳)EEC1) =E(® = .dx口1 2 2E - .一xf (x, y)dx 二x：. 1-x dx = 0.E 二 _.-yf (y)dy 二1xy dy = 0.ji_1-xf (x J. f (x, y)dy =X " Cov( , )00，即匕与H不相关。21.设随机变量(，)的联合概率密度为：f (x, y) = &#

17、171;1y £ x, 0 c x c 10其它求:解：E，E ，Cov(，)。E：(x, y)dxdyE D(=律f gx)dx = 0 * xdy dx = 0 2x2 dx = ?3X, y)dxdy = Jyf m(y)dx = 0 丄 ydy dx = 0,=0.22 .解：由于E(® =(x, y)dxdy =0 xydy2Cov( , ) = E( ) -(E )(E ) =0 - § 0=0.设有随机变量 和，已知D =25，D =36, r =0.4,计算D( + )，D(-)。D( _ )二 D( ) D( ) _2Cov(,)=25 36 _

18、 >, D D=25 36 _ 24=61 _ 24, 故 D(X+Y)=61+24=85，D(X-Y)=61-24=37。23. 证明：当，不相关时，有：(1) E( )=E E(2) D( 土 )=D +D。p _E()-(E岂E©证明：(1)因为；d：d，由题知，是不相关的，故=0,因此，有 E( )=E E 。(2)D( ± )=E( ± )2-E( ± )2=E 2± 2 + 2-(E )2± 2(E )(E )+(E )2 =E 乎-(E ¥+ E ”-(E口)2 ± 2(Ef)(En) *2(E

19、 ©(E9= D ©+D 口。24. 设(.0在G =°兰x兰10兰y x上服从均匀分布。试求pg解：因为(，)在G二0乞x乞10 < y < x上服从均匀分布，故联合密度为20兰x兰1,0兰y兰x,0,其它.E E =戊於f (x, y)dxdyf 2xdy dx =彳,E J J；必f (x, y)dxdy = 0 S 2ydy dx 諾,， E®)*xy 2dydx=£,E2 =02x2dydx 冷 EH2D 二E 2 -(E )2 =1/2 (2/3)2 =1/18,2 2 2D=E 2 -(E )2 =1/6-(1/3)2

20、 =1/18 E(旳)(E©(E925.设(，)的联合概率密度为1+xy402与 2独立。f(x, y)hf(x, y)=证明：与不独立，但 解：与的边际概率密度为f (x)=亡f (x,y)dy 二-11f (x)二 J- f (x, y)dy 二!o,= j2y2dydx，61/4-(2/3) (1/3),1/18,1/181 xy dy0,其它同理显然,其它.f(x, y)pf(x)f (y)，故与不独立。- - 2 ”21 二,1 二，贝yF,z) =P 1 注 =P 2 Ez =0当ZW 0时,当0<z<1时,当z> 1时,故类似地可求得|y|”：1x :

21、 1,其它.F(z) =P 1 z =P 2 乞 z =p_.z _- z二 Jz f 1 (x)dx 二 _zz1d z ；2 ；F,z) =1丄f 2 二0,0 ： z : 1,其它.1的分布密度函数为0 ： w :：: 1,其它令(1,1)的分布函数为F(z, w)，则有当 z< 0,或 w > 0,易知 F(z, w)=0;当 0<z<1 , 0< w<1 时，F( z, W)=P 1 込 Z, 1 三 W=P 2 巴 z, 2 込 w=P-'、Z_、Z,-'、w_ w三二 w 1 xy一zdx ._w 厂dy 二 zw .当 z> 1, 0< w<1 时，